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文档简介

导数,一、导数定义式的几种等价形式,左导数、右导数：,二、判定函数在某点是否可导的主要方法,1.根据可导的定义,2.根据可导的充要条件,3.根据可导的必要条件,直接由定义考虑,或,是否存在,考虑左右导数,是否都存在且相等,考虑是否不连续,（连续不一定可导，但不连续一定不可导！）,三、必须用定义求导数的情形,1.分段函数在分段点处的导数,2.含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数,3.仅知函数在一点可导，,【注】,某些“乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。,不知在该点的附近（一个邻域）是否可导,四、常数和基本初等函数的求导公式,特别地：,4.隐函数的求导法则,5.由参数方程所确定的函数的求导法则,6.对数求导法,7.分段函数的求导法非分段点处按法则求导，分段点处按定义求导,1.导数的+、-、运算法则,2.复合函数的求导法则,3.反函数的求导法则,五、求导数的主要法则,六、导数的几何意义,在点,的切线斜率,切线方程:,法线方程:,注：,七、求高阶导数的主要方法,（1）逐次求导归纳法；,（2）n阶导数的公式及求导法则；,注：求一点处高阶导数的好方法,-函数的幂级数展开（以后学）,常用的n阶导数公式,(1),(2),(3),(4),（k为正整数。）,（a为常数）,都有n阶导数,则,(C为常数),上式称为莱布尼兹(Leibniz)公式。,2.高阶导数的运算法则,八、可微、可导、连续、极限的关系,可微,可导,连续,极限存在,九、奇函数、偶函数、周期函数的导数,单调函数的导数不一定是单调函数。,【注】,可导奇函数,的导数,是偶函数,可导偶函数,的导数,是奇函数,可导周期函数,的导数,是周期函数,且,与,有相同的周期,例1,在有定义.,当,是否可导？,时，,？,在R上定义，,证明：在R上,例2.,对任意,例3.,是偶函数，在,求,处可导，,下列解法错误：,的导数,是奇函数,代入,例4.,正确思路：,导数定义。,在,处连续,且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导。,例5.设,故,存在,解:因为,例6.设,求,所以,。,例7,设,，求a，b，c,处,使,在,一阶导数连续，二阶导数不存在.,存在的最高阶数n=？,例8.,，,例9.设,求,解:,方法1利用乘法公式.,方法2利用乘法公式.,方法3利用导数定义.,例9.设,求,例10.设,，证：在,.,处,例11,设,处二阶可导，求,处处可导，在,例12.求,的导数.,例13.,，,设曲线的极坐标方程为,处的切线方程.,求曲线上,思路：,把极坐标方程转化为参数方程，,求出导数,例14.,证明：两条心形线,在交点处切线互相垂直.,确定,例15.设,由方程组,求,例16.设,求,例17.,求,处的100阶导数。,例18.设,求,。,例19.,求,例20.,求,例21.设,，求,三阶可导，,用,表示,例22.,，,，,作变换,
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