线性代数完整版本

第二章线性方程组,第一节高斯消元法,第二节n维向量,第三节矩阵的秩,第四节线性方程组解的一般理论,线性代数第二章线性方程组,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,第一节Gauss消元法,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,例：求解下列线性方程组：,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,用Gauss消元法可以解一般的线性方程组（*），消元的结果得到一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或出现矛盾式，可得如下一般形式：,（其中r为阶梯形方程组中方程式的个数。）,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,由阶梯形方程组知原方程组（*）的解有以下三种情况：,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,分析Gauss消元法的过程，可以看出，我们对方程组作了以下三种变换：（1）将一个方程两边同时乘以一个非零常数；（2）将两个方程位置调换；（3）将一个方程的倍数加到另一个方程上。这三种变换统称为方程组的初等变换，也称为同解变换。,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,为书写方便，可将未知元，加号以及等号省略，只写方程组（*）的系数和常数项，排出如下数表：,增广矩阵,系数矩阵,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,一个线性方程组与其增广矩阵相对应，方程组中的每个方程与增广矩阵的一行相对应，因而方程组的三种初等变换对应于矩阵的下述三种行初等变换：（1）将矩阵的一行乘以一个非零常数，（2）将矩阵的两行互换；（3）将矩阵一行的倍数加到另一行上。,矩阵经初等变换可化为阶梯形矩阵。所谓行阶梯阵，即为满足以下两个条件的矩阵：（1）该矩阵如果有零行（元素全为零的行），那么零行位于最下方；（2）非零行的非零首元（自左至右第一个不为零的元素）的列标随行标递增。,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,将方程组消元成阶梯形方程组就对应为将增广矩阵用行初等变换化为阶梯形矩阵，即：,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,线性代数第二章线性方程组第1节Gauss消元法,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,第二节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,向量加法和数乘统称为向量的线性运算，满足下列八条运算规律：,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,此例的结果表明了向量的线性表出关系具有传递性。,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,二、向量的相关性,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,注：由推论2逆否命题可知，若一个向量组线性无关，那么它的任一部分组均线性无关。,例5、若一个向量组中包含零向量，则这个向量组线性相关。,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,三维空间中向量线性相关性的几何意义。,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,三、向量组的秩,定义、一个向量组的一个部分组称为极大线性无关组。如果这个部分组是线性无关的，而且从这向量组的其余向量（如果有的话）中任取一个添进去，所得的新的向量组都线性相关。,注2：若一个向量组是线性无关的，那么极大线性无关组即为其本身。,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,关于极大线性无关组有如下结论：,1）一个向量组与它的极大线性无关组等价。,2）一个向量组的任意两个极大线性无关组等价。,3）一个向量组的极大线性无关组中必含有相同个数的向量。,定义、一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。,向量组秩的结论：,2）一个向量组的秩必大于或等于它任一部分组的秩。,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,例6、若一个向量组的秩为r，则在向量组内，任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。（书P65/18）,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第2节n维向量,线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩,第三节矩阵的秩,线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,例1试求下列矩阵的秩,线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩,二、矩阵秩的计算,注：一个阶梯形矩阵的秩等于它的不为零的行数。,线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩,定理1、矩阵经过初等变换，它的秩不变。,线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩,三、矩阵的秩与向量组秩的关系,线性代数第二章线性方程组第3节矩阵的秩,定理2、矩阵的秩等于它的行向量组的秩,推论1、矩阵的秩等于它的列向量组的秩,推论2、将矩阵A用行初等变换化为B，则A的列向量组的任一部分组与B的列向量组对应的部分组有相同的线性相关性。,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论,第四节线性方程组解的一般理论,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论,一、线性方程组解的存在定理,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论,特别地对于齐次方程组有如下结论（A为系数矩阵）,例：书第57页例2,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论,二、线性方程组解的性质,将线性方程组(*)的常数项均改为零，未知数系数不变，得一齐次线性方程组(*)：,称之为线性方程组(*)相应的齐次线性方程组，或称为线性方程组(*)的导出组,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论,线性方程组的解有以下性质：,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解的一般理论,线性代数第二章线性方程组第4节线性方程组解