第三章ppt修改后第34章ppt修改后陈佳鑫3-4

3.4向量空间,3.4.1向量空间的概念,3.4.2基、维数与坐标,3.4.3基变换与坐标变换,3.4.1向量空间的概念,定义3.4.1设V是数域P上的n维向量的非空集合，如果，V,kP满足,则称集合V为数域P上的向量空间。,当P为实数域R时,称V为实向量空间,当P为复数域C时,称V为复向量空间。,例3.4.1实数域R上n维向量的全体Rn是一个向量空间，,显然(0,0,0)Rn,所以Rn非空；=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)Rn及任意实数k，有,故Rn,是一个向量空间。,例3.4.2证明,（1）集合,是一个向量空间；,（2）集合,不是一个向量空间。,证（1）显然集合V1非空，对任意=(0,a2,an),=(0,b2,bn)V1及任意实数k，有,所以V1是一个向量空间。,（2）因为对于集合V2中的任意两个向量=(1,a2,an),=(1,b2,bn)，+=(2,a2+b2,an+bn)V2，所以V2不是一个向量空间。,定义3.4.2设V1，V2是数域P上的两个向量空间，如果V1V2，则称V1是V2的子空间。,例3.4.2中的集合V1是n维向量空间Rn的一个子空间；实数域上任何n维向量的集合构成的向量空间都是Rn的子空间。,单独由一个零向量构成的集合0也是一个向量空间，称为零空间。,在n维向量空间V中，零空间和空间V也是它的子空间，称为它的平凡子空间，除此之外，V的其他子空间称为它的非平凡子空间。,设1,2,m为一组n维向量，容易证明它的线性组合,是向量空间，称为由向量1,2,m生成的向量空间，,记为L(1,2,m)。,例3.4.3如果向量组1,2,s与向量组12，r等价，则,L(1,2,s)=L(12，r),证L(1,2,s)，则可由1,2,s线性表示出，又可由1,2,，r线性表示出，所以可由12，r线性表示出，即L(1,2,，r)，因此L(1,2,s)L(12，r),同理可证L(12，r)L(1,2,s),故,L(1,2,s)=L(12，r),3.4.2基、维数与坐标,定义3.4.3设V是数域p上的向量空间，向量1,2,mV，如果,(1)1,2,m线性无关；,(2)V中任一向量都能由1,2,m表示出，,则称1,2,m为空间V的一组基（或基底），m称为向量空间V的维数，记dimVm为，并称V是数域p上的m维向量空间。,零空间的维数规定为零。,注意，向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念。,将向量空间V的基的定义与向量组的极大线性无关组的定义相比较，不难看出，若把向量空间V看作一个向量组，那么它的基就是V的一个极大线性无关组，dimV就是V的秩。,容易证明，若向量空间V的维数是m，那么V中任意m个线性无关的向量都是V的一组基；对于向量空间V的任一子空间V1，dimV1dimV。,对于向量空间Rn，基本单位向量1,2,n就是它的一组基，有dimRn=n,则称Rn为n维实向量空间。,在四维向量空间R4中，向量组1=(0,0,0,1),2=(0,1,0,1),3=(-1,2,0,1),4=(1,0,2,1)线性无关，所以它们也是R4的一组基。,定义3.4.3设1,2,m为向量空间V的一组基，V有,则称有序数组x1,x2,xm为向量在基1,2,m下的坐标。记为(x1,x2,xm)。,由定理3.2.2,向量的表示也是唯一的，因此基下1,2,m下的坐标也是唯一的。,例3.4.4设1=(1,0,2),2=(1,0,1),3=(-1,2,0),证明1,2,3是向量空间R3的一组基，并求向量=(2,-3,5)在这组基下的坐标。,证明以向量1,2,3为列向量做矩阵,A的行列式|A|20，所以1,2,3线性无关,因此它们是R3的一组基。,把1,2,3代入，比较等式两端向量的对应分量，可得线性方程组,设,解之，得,于是向量在基1,2,3下的坐标为,3.4.3基变换与坐标变换,我们知道，向量空间V的基不是唯一的，V中向量在不同的基下的坐标一般是不同的。,下面讨论V中不同的两组基之间的关系与向量在不同的基下的坐标之间的关系。,设1,2,m与12，m是向量空间V的两组基,由基的定义，它们可以互相线性表出。用1,2,m表示12，m，则有,记,由矩阵的乘法,(12,m)=(1,2,m)P（3.4.1）,称P为由基(1,2,m)到(1,2,m)的过渡矩阵，式(3.4.1)称为由基(1,2,m)到基(12,m)的基底变换公式。,过渡矩阵P是可逆的。若不然，齐次线性方程组PX=O有非零解，设其一个解为=(k1,k2,km)T，于是,这意味着12,m线性相关。,前面我们已经指出，同一向量在不同基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之间的关系如何呢？,定理3.4.1设1,2,m与12，m是向量空间V的两组基,由1,2,m到12，m的过渡矩阵为P，如果V中任意元素在这两组基下的坐标分别为(x1,x2,xm)T与(y1,y2,ym)T，则,（3.4.2）,（3.4.2）称为坐标变换公式。,证由题设,由,则,由向量在基1,2,m下坐标的唯一性,得,或,证毕。,例3.4.4已知R3中的二组基,；,。,(1)求由基1,2,3到123的过渡矩阵及坐标变换公式；,(2)求向量21-2-3在基1,2,3下的坐标；,(3)求由基1-22+43在基1,2,3下的坐标。,解（1）取R3中的