人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件(1).ppt

第三章不等式,1.熟练掌握基本不等式并会证明.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.,问题导学,题型探究,归纳总结,学习目标,该图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,问题导学1：,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S=,、S与S有怎样的不等关系？,SS,那么它们有相等的情况吗？,(ab),猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立,适用范围：,a,bR,替换后得到：,即：,即：,问题一,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.,分析法,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式定义,适用范围：,a0,b0,观察下图，你能得到不等式,的几何解释吗？,问题导学2：,当且仅当a=b时取等号.,基本不等式,在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,比较重要不等式和基本不等式：,题型一基本不等式与最值,二、题型探究,一正,二定,三相等,二定凑项：使和成定值,一正,三相等,解x2，x20，,二定凑项：使积成定值,一正,三相等,即x4，y12时，上式取等号.故当x4，y12时，(xy)min16.,“1”的代换,反思与感悟,在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正：二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件.,口诀：一正、二定、三相等,f(x)的最小值为12.,解x3，x30.,f(x)的最大值为1.,题型二基本不等式在实际问题中的应用例2(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy100，篱笆的长为2(xy)m.,等号当且仅当xy时成立，此时xy10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.,(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xym2.,当且仅当xy，即xy9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.,利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.,反思与感悟,练习2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为xm，,又设水池总造价为y元，根据题意，,答水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为297600元.,归纳总结基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为；求和xy的最小值时，应看积xy是否为；(3)等号成立的条件是否满足.,正数