第8章-主成份分析王斌会

问题：影响因素很多，采用什么方法将多指标化为几个综合指标来分析其影响因素？,问题提出,第8章主成份分析,8.1主成份分析直观解释8.2主成份分析性质8.3主成份分析步骤8.4注意事项,8.1主成份分析直观解释,基本思想：通过降维技术把多个变量化为几个少数主成分的方法，即将原来众多具有一定相关性的指标，重新组合成一组新的相互无关的综合指标。,3、单独提取变量y1而放弃变量y2，丧失的信息也是很微小的。,1、x1和x2都包含较多信息，单独选择x1或者x2都会丧失较多的原始信息。,2、对x1和x2做正交（垂直）旋转，得到新的坐标轴y1和y2。旋转后数据主要是沿y1方向散布，在y2方向的离散程度很低，且相互垂直不相关。,旋转公式：,第一主成份,第二主成份,8.2主成份分析性质,结论：1、uij为第i个成分yi和第j个原先的变量xj之间的线性系数。2、y1，y2，yp分别叫做第1主成分，第2主成分，第p主成分，y1得到最大解释变异能力，y2是能对原始资料中尚未被y1解释的变异部分拥有最大解释能力。3、选择m个yi(i=1,2,，m,mp)，希望m愈小愈好，但解释能力却能达到约80%以上。,1、表示形式,2、主成份推导,基本形式：,其中：,给定条件下，方差最大,拉格朗日乘数：,条件：a1Ta1=1,第1主成份,偏导：,有：,有解充要条件：,结论：是x协方差阵特征根，大则Var(y)大，即应取协方差阵最大的特征根1，a1即为特征根对应的特征向量或因子载荷。第二主成份等依然按次方法完成。,解,例1,2、主成份个数、方差贡献确定,结论：该式子表示yi的方差在全部方差中所占的比重，比重越大，表明yi这个变量综合xi的能力就越强，故可以将该比值作为成分方差贡献率。当累计贡献率超过80%即可。对应的a即为方程系数或因子载荷（主成份yi与变量xi的相关系数）。,8.3主成份分析步骤,标准化原始数据,求标准化数据相关矩阵及其特征根和特征向量,求方差贡献率和累计方差贡献率，并以大于等于80%累计贡献率确定主成份,用原指标线性组合计算主成份得分,计算综合得分,并进行得分排序：,1、分析步骤,问题：使用31个省、市、自治区调查资料对区域消费水平做分析评价，并并根据主成分得分和综合得分对人均消费水平进行综合分析。,2.实例分析,（1）计算相关系数,X=read.table(clipboard,header=T)Y=scale(X)#标准化cor(Y)#计算相关系数,（2）计算特征根和贡献率,summary(PCA)screeplot(PCA,type=lines)PCA=princomp(x,cor=T),结论：前两个主成份累计贡献率为0.84120.8,选择第1和第2个两个主成份,（3）主成份载荷,PCA$loadings#主成分载荷,结论：，主成分C1在、X3(家庭设备及服务)、X5(人均交通和通讯支出)、X6(娱乐教育文化支出)、X7（人均居住支出）、X8（人均杂项商品和服务支出）上的载荷值都很大，可视为非必需消费品主成分；C2在X1(人均食品支出)、X2（人均衣着商品支出）、X4（人均医疗支出）上有较大的载荷，可视为反映日常必需消费的主成分,（4）主成份得分,PCA$scores#主成分得分,（5）主成份排名,library(mvstats)princomp.rank(PCA,m=2)#主成分排名,PC=(5.70*Comp.1+1.03*Comp.2)/(5.70+1.03),8.4主成份分析注意事项,1.主成分分析，可使用样本协方差阵或相关系数矩阵为出发点来进行分析。但大都以相关系数矩阵为主。2.为使方差达到最大，通常主成分分析是不加以转轴。3.成分的保留：Kaiser(1960)主张将特征值小于1的成分予以放弃，而只保留特征值大于1的成分。4.在实际研究里，研究者如果用不超过三或五个成分，就能解释变异之80%，亦算令人满意。5.使用成分得分后，会使各变量之方差为最大，而且各变量之间会彼此独立。,主成份分析步骤,标准化原始数据,求标准化数据相关矩阵及其特征根和特征向量,求方差贡献率