点估计(PPT 22).PPT

,参数的点估计,一、参数的点估计设总体X的分布函数的形式为已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题.例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数是一个随机变量,假设它服从以0为参数的泊松分布，参数为未知。设有以下的样本值，试估计参数。,着火次数k0123456发生K次着火的天数nk75905422621=250,解由于X()故有=E(X).我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X).现由已知数据计算得到,得估计E(X)=的估计值为1.22。点估计问题的一般提法：设总体X的分布函数F(X;)的形式为已知,为待估参数。X1,X2,.,Xn是X的一个样本，x1,x2,.,xn是相应的一个样本值.点估计问题就是要构造一个适当的统计量(X1,X2,.,Xn),用它的观察值(x1,x2,.,xn)来估计未知参数,我们称(X1,X2,.,Xn)为的估计量，(x1,x2,.,xn)为的估计值.在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计。并都简记为。,如在例1中，用样本均值估计总体均值。即有估计量,估计值,二、矩估计法设X为连续型随机变量,其概率密度为f(x;1,2,.,k),或X为离散型随机变量,其分布规律为PX=x=p(x;1,2,k)其中1,2,k为待估参数,X1,X2,.,Xn是来自X的样本,假设总体X的前k阶距,(X连续型),或,(X离散型),l=1,2,k(其中R(x)是x可能取值的范围)存在.一般来说,它们是1,2,.,k的函数。基于样本矩,依概率收敛于总体矩l(l=1,2,k)样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩函数，故用样本矩作为总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种方法称为矩估计法，具体,作法是：令l=Al，l=1,2,k这是包含k个未知参数1,2,.,k,的联立方程组，用解1,2,k作为估计量,这种估计量称为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。,例2设总体X在a,b上服从均匀分布,a,b未知.X1,X2,.,Xn是一个样本,试求a,b的矩估计值。,令,解上述联立方程组，得到a，b的矩估计量为,例3设总体X的均值m及方差s2都存在，且有s20.但m,s2均未知。又设X1,X2,Xn是一个样本。试求m,s2的矩估计量。,或即,解m1=E(X)=m,m2=E(X2)=D(X)+E(X)2=s2+m2,令m=A1,s2+m2=A2.解上述方程组，得m和s2的矩估计量分别为,所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异。例如，XN(m,s2),m,s2未知，即得m,s2的矩估计量为,三、极大似然估计法例1某学员与一位神枪手一同进行实弹射击,各打一发,同一靶,仅中一发,试问认为这一发是谁打中较合理？例2假设在一罐中放有许多白球和黑球，并知两种球的数目之比是1:3;但不知那种球的颜色多.(现抽一球,为黑的概率可能是3/4，也可能是1/4)。今连抽两球，全为黑球。问袋中黑球多还是白球多？解直观上可以回答。现以概率的角度考虑。设抽一球为黑球的概率为p，抽n个而出现x个黑球的概率服,从b(n,p).,这就是说，罐中黑球多时，出现两个全黑的的概率比白球多时出现两个全黑的概率大的多,或说使n=2的样本来自p=1/4的总体的可能性大的多。用到“概率最大的,事情最可能出现”原理,从参数角度，对总体p有,供选择者较多，自然选最大者作p的估计，此方法称为极大似然估计法。,设X为离散型,分布律为PX=x=px;q,(连续型,其概率密度f(x,q),qQ的形式已知,q为待估参数，Q是q可能取值的范围。设X1,X2,Xn是来自X的样本，则X1,X2,Xn的分布律(联合密度)为,易知样本X1,X2,Xn取到观察值x1,x2,xn的概率即事件X1,=x1,X2,=x2,Xn=xn发生的概率,这一概率随q的取值而变化，它是q的函数。L(q)称为样本的似然函数,由Fisher引进的极大似然估计法，就是固定样本观察值x1,x2,xn，在q的可能取值的范围Q内挑选使概率L(x1,x2,xn;q)达到最大的参数值q，作为参数q的估计值。即取q使,若总体X为连续型，设x1,x2,xn是相应于样本X1,X2,Xn的一个样本值,则随机点(X1,X2,Xn)近似地落在点(x1,x2,xn)的邻域(边长为dx1,dx2,dxn的n维立方体)内的概率近似为,这样得到的q与样本观察值x1,x2,xn有关，记作,称为参数q的极大似然估计值，称统计量,类似，引入函数,为q的极大似然估计量。,则L(q)称为样本的似然函数。若,为q的极大似然估计值，称,求法：若p(x;q)或f(x;q)可微,这时可从方程,求得，也可从,为q的极大似然估计量。,求得,例4设XB(1,p).X1,X2,Xn是来自X的一个样本，试求参数p的极大似然估计量。解设x1,x2,xn是来自X1,X2,Xn的一个样本值。的分布律为PX=x=px(1-p)1-x,x=0,1.故似然函数为,而,令,解得p的极大似然估计值,p的极大似然估计量为,极大似然估计法适用于多个参数。若似然函数为L(q1,q2,qk)，则求关于qi的偏倒数即可。例5设XN(m,s2),m,s2为未知参数,x1,x2,xn是来自X的一个样本值。求m,s2的极大似然估计量。解X的概率密度为,似然函数为,而,令,因此得m,s2的极大似然估计量分别为,它们与相应的矩估计量相同。例6设总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知，x1,x2,xn是一个样本值,试求a,b的极大似然估计量。解记x(1)=min(x1,x2,xn),x(n)=max(x1,x2,xn).X的概率密度是,于是对于满足条件ax(1),bx(n)的任意a,b有,由于ax1,x2,xnb，等价于ax(1),x(n)b.作为a,b的函数的似然函数为,即L(a,b)在a=x(1),b=x(n)时取到最大值(x(1)-