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文档简介

第三章中值定理及导数的应用,3.1中值定理,3.2罗必塔法则,3.3函数的单调性,3.4函数的极值,3.5函数的最值,3.6函数的凹凸性及拐点，函数的图像,一、主要内容,中值定理,1.罗尔定理:P63,满足条件:,如果函数,2.拉格朗日定理：P64,满足条件:,如果函数,例题：P66例1，2,罗必塔法则：P67,68,则,1.认真掌握课本P68-69的例题,2.独立完成P70的习题（用罗必塔法则求极限）,（2）,解：,（1）,解：,例求下列极限,（3）,解：,（4）,解法1：(对数法）,设,所以,解法2：(指数法）,导数的应用,1.切线方程和法线方程：,2.曲线的单调性:P71定理1,求单调区间的4个步骤：,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定,在每个区间的符号,（4）判断：,注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间,掌握P71例题1-4,证明：（采用函数的单调性证明）,例3.证明:,证明:设,所以,从而,因此,解：设,所以,从而,因此,3.函数的极值,极值的定义：P72,极值存在的必要条件：P72定理2,（3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。,极值存在的充分条件：,定理1(极值的第一充分条件）：P73定理3,定理2：(极值的第二充分条件）P74定理4,（4）求极值的4个步骤：P73,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定,在每个区间的符号,（4）判断（2）中的点是否是极值点，是极大值还是极小值,理解教材P71-74的例题5至例题7,例求函数,的单调增减区间和极值。,4.函数的最大值和最小值,(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值。,(2)当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。,(3)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。,理解P75-76的例题8-11,例欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/m，其余三面所用材料的造价为3元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？,解：设：场地的正面长为x米,5曲线的凹向及拐点：P78,(3),求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：P80,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出二阶导数等于0和二阶导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定,在每个区间的符号,（4）判断
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