2016年桂林、百色、崇左五市高考数学理科模拟试卷含解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（理科）（ 5 月份） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x|0 x 6，集合 B=x|3x 8 0，则 A B=（ ） A 0， B 2， C 0， 6 D 2， 6 2 i 是虚数单位，若复数 z 满足 1+i，则复数 z 的实部与虚部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3命题 “ x R， x+1 0”的否定是（ ） A x R， x+1 0 B xR， x+1 0 C xR， x+1 0 D x R， x+1 0 4某年级有 1000 名学生，随机编号为 0001， 0002， ， 1000，现用系统抽样方法，从中抽出 200 人，若 0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A 0116 B 0927 C 0834 D 0726 5设向量 ， 满足 =（ 1， 2）， | |=5， =5，则 ， 的夹角为 ，则 ） A B C D 6已知函数 f（ x） = ，则 f（ 0） +f（ =（ ） A 19 B 17 C 15 D 13 7若函数 y=x+ （ x 0）有两个零点，则实数 t 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ 2， +） C（ ， 2） D（ ， ） 8将双曲线 =1 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的 “黄金三角形 ”，则双曲线 C： 的 “黄金三角形 ”的面积是（ ） A 1 B 2 2 C 1 D 2 9给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的 个数是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 1 B 2 C 3 D 4 10某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A 8+2 B 10+2 C 6+2 D 12+2 11已知函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减，则 的取值不可能为（ ） A B C D 12设定义在 R 上的偶函数 y=f（ x），满足对任意 t R 都有 f（ t） =f（ 2 t），且 x （ 0，1时， f（ x） = ， a=f（ ）， b=f（ ）， c=f（ ），则（ ） A b c a B a b c C c a b D b a c 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13二项式 展开式中的常数项为 _（用数字作答） 14在长方体 ， ， ， ，点 M， N， P 分别是棱 C， 中点，则三棱锥 体积为 _ 第 3 页（共 20 页） 15已知点 P 在圆 x2+2x+4y+1=0 上，点 Q 在不等式组 ，表示的平面区域内，则线段 的最小值是 _ 16在四边形 ， A+ C=180， D=2， ， ，则四边形 面积为 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和 ， n N+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 4数列 前 n 项和 18如图，在三棱锥 S ， 平面 D 是 中点，且平面 平面 （ 1）求证： （ 2）若 二面角 S A 的正弦值 19已知篮球比赛中，得分规则如下： 3 分线外侧投入可得 3 分，踩线及 3 分线内侧投入可得 2 分，不进得 0 分；经过多次试验，某生投篮 100 次，有 20 个是 3 分线外侧投入， 30 个是踩线及 3 分线内 侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件 （ 1）求该生在 4 次投篮中恰有三次是 3 分线外侧投入的概率； （ 2）求该生两次投篮后得分 的分布列及数学期望 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），过右焦点且垂直于 x 轴的直线截椭圆所得弦长是 1 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设点 A， B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过点（ 1， 0） 的直线 l 与椭圆交于 M， N 两点（ M， N 与 A， B 不重合），证明：直线 直线 点的横坐标为定值 21已知函数 f（ x） =x|x+a| （ 1）当 a=0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 a 0，讨论函数 f（ x）的极值点 选修 4何证明选讲 第 4 页（共 20 页） 22已知点 P 是圆 O 外的一点，过 P 作圆 O 的切线 点为 A， B，过 P 作一割线交圆 O 于点 E， F，若 2F，取 中点 D，连接 延长交圆于 H （ 1）求证： O， A， P， B 四点共圆； （ 2）求证： H 选修 4标系与参数方程 23已知在直角坐标系 ，圆锥曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），定点 A（ 0， ）， 圆锥曲线 C 的左、右焦点，直线 l 过点 A， （ 1）求圆锥曲线 C 及直线 l 的普通方程； （ 2）设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E， F 两点，求弦 长 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a|+|x+2| （ 1）当 a=1，解不等式 f（ x） 5； （ 2）对任意 x R，不等式 f（ x） 3a 2 都成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷（理科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x|0 x 6，集合 B=x|3x 8 0，则 A B=（ ） A 0， B 2， C 0， 6 D 2， 6 【考点】 并集及其运算 【分析】 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解：集合 A=x|0 x 6=0， 6， B=x|3x 8 0=（ x| 2 x = 2， A B= 2， 6， 故选： D 2 i 是虚数单位，若复数 z 满足 1+i， 则复数 z 的实部与虚部的和是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的乘法求出复数 z，然后求解结果即可 【解答】 解：复数 z 满足 1+i， 可得 z= = =1+i 复数 z 的实部与虚部的和是： 1+1=2 故选： C 3命题 “ x R， x+1 0”的否定是（ ） A x R， x+1 0 B xR， x+1 0 C xR， x+1 0 D x R， x+1 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 “ x R， x+1 0”的否定是： x R， x+1 0 故选： D 4某年级有 1000 名学生，随机编号为 0001， 0002， ， 1000，现用系统抽样方法，从中抽出 200 人，若 0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A 0116 B 0927 C 0834 D 0726 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义求出样本间隔即可 第 6 页（共 20 页） 【解答】 解：样本间隔为 1000 200=5， 因为 122 5=24 余 2，故抽取的余数应该是 2 的号码， 116 5=23 余 1， 927 5=185 余 2， 834 5=166 余 4， 726 5=145 余 1， 故选： B 5设向量 ， 满足 =（ 1， 2）， | |=5， =5，则 ， 的夹角为 ，则 ） A B C D 【考点 】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的夹角公式计算即可 【解答】 解：向量 ， 满足 =（ 1， 2）， | |=5， =5， | |= ， = = ， 故选： A 6已知函数 f（ x） = ，则 f（ 0） +f（ =（ ） A 19 B 17 C 15 D 13 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用函数的解析式，真假求解函数值即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 0） +f（ =+ =2+1+ =19 故选： A 7若函数 y=x+ （ x 0）有两个零点，则实数 t 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ 2， +） C（ ， 2） D（ ， ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 函数 y=x+ （ x 0）有两个零点，构造函数 h（ x） =y=x+ （ x 0）和 g（ x）= t，相当于函数在 x 0 时，图象有两个交点， 结合函数 h（ x）的图象可知只需使 t 大于函数 g（ x）的最小值即可 【解答】 解：函数 y=x+ （ x 0）有两个零点， h（ x） =y=x+ （ x 0）和 g（ x） = t 有两个交点， h（ x） =x+ 2 = ， 第 7 页（共 20 页） t ， t 故选 D 8将双曲线 =1 的右焦点、右顶点、 虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的 “黄金三角形 ”，则双曲线 C： 的 “黄金三角形 ”的面积是（ ） A 1 B 2 2 C 1 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可 【解答】 解：由 得 =1， 则 a2=，则 a=2， b=2， c=2 ， 则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（ 2 ， 0），（ 2， 0），（ 0， 2）， 故所求 “黄金三角形 ”的面积 S= （ 2 2） 2=2 2， 故选： B 9给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 选择结构 第 8 页（共 20 页） 【分析】 由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分 x 2， 2 x 5， x 5 三种情况分别讨论，满足输入的 x 值与输出的 y 值相等的情况，即可得到答案 【解答】 解：当 x 2 时，由 x2=x 得： x=0， 1 满足条件； 当 2 x 5 时，由 2x 3=x 得： x=3，满足条件； 当 x 5 时，由 =x 得： x= 1，不满足条件， 故这样的 x 值有 3 个 故选 C 10某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A 8+2 B 10+2 C 6+2 D 12+2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了 个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表 面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了 个半圆柱， 球的半径是 1， 圆柱的底面圆半径是 1，母线长是 3， 几何体的表面积 S= + 1 3+ 1 2+ 12+2 1 =8+2， 故选： A 11已知函数 f（ x） = 0）在（ ， ）上单调递减，则 的取值不可能为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得 f（ x）的减区间，结合条件可得， ，且 ，由此求得 的范围，从而得出结论 第 9 页（共 20 页） 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+ ）（ 0）在（ ， ）上单调递减， 2x+ 2，求得 + x + （ k Z） f（ x）在（ ， ）上单调递减， ，且 ， 求得 0 ， 故选： D 12设定义在 R 上的偶函数 y=f（ x），满足对任意 t R 都有 f（ t） =f（ 2 t），且 x （ 0，1时， f（ x） = ， a=f（ ）， b=f（ ）， c=f（ ），则（ ） A b c a B a b c C c a b D b a c 【考点】 函数的值 【分析】 由已知得 f（ 2+t） =f（ 2 2 t） =f（ t） =f（ t），求出函数的周期性，结合函数 f（ x）在 0， 1的表达式求出 f（ x）的单调性，从而比较 a， b， c 的大小即可 【解答】 解： 定义在 R 上的偶函数 y=f（ x），满足对任意 t R 都有 f（ t） =f（ 2 t）， f（ 2+t） =f（ 2 2 t） =f（ t） =f（ t）， f（ x）是以 2 为周期的函数， x 0， 1时， f（ x） = ， f（ x） = 0 在 0， 1恒成立， 故 f（ x）在 0， 1递增， 由 a=f（ ） =f（ 1+ ） =f（ ） =f（ ）， b=f（ ） =f（ 1+ ） =f（ ） =f（ ）， c=f（ ） =f（ ）， c a b， 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13二项式 展开式中的常数项为 540（用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由 = （ 3x） 6 r（ x 1） 时， r=3，从而可得二项式展开式中的常数项 【解答 】 解： 由 = （ 3x） 6 r（ x 1） r= 36 r（ 1） r2r， 第 10 页（共 20 页） 当 6 2r=0 时得 r=3， 二项式 展开式中的常数项为 33 （ 1） = 540 故答案为： 540 14在长方体 ， ， ， ，点 M， N， P 分别是棱 C， 中点，则三棱锥 体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 V =V = 【解答】 解： M， N， P 分别是棱 中点， S = = = 平面 V =V = = = 故答案为： 15已知点 P 在圆 x2+2x+4y+1=0 上，点 Q 在不等式组 ，表示的平面区域内，则线段 的最小值是 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 化简 x2+2x+4y+1=0 为（ x 1） 2+（ y+2） 2=4，从而作图，利用数形结合的思想方法求解 【解答】 解： x2+2x+4y+1=0， （ x 1） 2+（ y+2） 2=4， 由题意作图如下， 第 11 页（共 20 页） ， 结合图象可得， Q（ 2， 0） 当 线，如上图时，有最小值； | | 2= 2， 故答案为： 2 16在四边形 ， A+ C=180， D=2， ， ，则四边形 面积为 2 【考点】 余弦定理的应用；三角形的面积公式 【分析】 连结 据余弦定理列出方程解出 进而给出 入面积公式即可 【解答】 解：连结 在 ， 2 4 在 ， 23 12 5 43 12 A+C=180， 第 12 页（共 20 页） 四边形 面积 S=S 故答案为： 2 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和 ， n N+ （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 4数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由数列 前 n 项和 ， n N+利用递推关系即可得出 （ 2） 4n+1 2（ n+1），利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） 数列 前 n 项和 ， n N+ n=1 时， 1=1 n 2 时， n 1= = n=1 时也成立 （ 2） 4n+1 2（ n+1）， 数列 前 n 项和 =（ 22+23+2n+1） 2（ 2+3+n+1） = 2 =2n+2 4 3n 18如图，在三棱锥 S ， 平面 D 是 中点，且平面 平面 （ 1）求证： （ 2）若 二面角 S A 的正弦值 第 13 页（共 20 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）根据线面垂直的判定定理和性质定理即可证明 （ 2）若 立坐标系，求出平面的法向量即可求二面角 S A 的正弦值 【解答】 （ 1）证明： 平面 面 平面 平面 平面 平面 面 面 B， 平面 平面 （ 2）若 设 ，则 ， ， 建立以 A 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 A（ 0， 0， 0）， S（ 0， 0， 6）， C（ 2， 0， 0）， D（ 1， 0， 3）， B（ 0， 3， 0）， 则 =（ 1， 3， 3）， =（ 0， 3， 6）， =（ 0， 3， 0）， 设则平面 法向量为 =（ x， y， z）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 得 ， 即 ，令 z=1，则 y=2， x= 3，即 =（ 3， 2， 1）， 由 得 ，即 ， 令 z=1，则 y=0， x=3，即 =（ 3， 0， 1）， 则 ， = = = = ， 则 ， = = = ， 即二面角 S A 的正弦值是 第 14 页（共 20 页） 19已知篮球比赛中，得分规则如下： 3 分线外侧投入可得 3 分，踩线及 3 分线内侧投入可得 2 分，不进得 0 分；经过多次试验，某生投篮 100 次，有 20 个是 3 分线外侧投入， 30 个是踩线及 3 分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件 （ 1）求该生在 4 次投篮中恰有三次是 3 分线外侧投入的概率； （ 2）求该生两次投篮后得分 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由已知得该生投投篮 3 分线外侧投入的概率 P（ A） =线及 3 分线内侧投入的概率 P（ B） =能入篮的概率 P（ C） =此能求出该生在 4 次投篮中恰有三次是 3 分线外侧投入的概率（ 2）由已知得 的可能取值为 0， 2， 3， 4， 5， 6，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ 1）由已知得该生投投篮 3 分线外侧投入的概率 P（ A） = 踩线及 3 分线内侧投入的概率 P（ B） =能入篮的概率 P（ C） = 该生在 4 次投篮中恰有三次是 3 分线外侧投入的 概率： p= = （ 2）由已知得 的可能取值为 0， 2， 3， 4， 5， 6， P（ =0） = P（ =2） = = P（ =3） = ， P（ =4） = = P（ =5） = = P（ =6） = 的分布列为： 0 2 3 4 5 6 P =0 第 15 页（共 20 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点（ 1， ），过右焦点且垂直于 x 轴的直 线截椭圆所得弦长是 1 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设点 A， B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过点（ 1， 0）的直线 l 与椭圆交于 M， N 两点（ M， N 与 A， B 不重合），证明：直线 直线 点的横坐标为定值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）令 x=c 代入椭圆方程，可得弦长为 =1，点（ 1， ）代入椭圆方程，解方程可得 a=2， b=1，可得椭圆方程； （ 2）设直线 l 的方程为 x=， M（ N（ 将直线的方程代入椭圆方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理，求出直线 方程，求交点的横坐标，代入韦达定理，化简整理可得定值 4 【解答】 解：（ 1）设椭圆 C： + =1 的右焦点为（ c， 0）， 令 x=c，可得 y= b = ， 即有 =1， 又 + =1， 解方程组可得 a=2， b=1， 则椭圆 C 的标准方程为 +； （ 2）证明：由椭圆方程可得 A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， 设直线 l 的方程为 x=， M（ N（ 将直线的方程代入椭圆方程 ，可得 （ 4+3=0， y1+ ， ， 直线 y= （ x+2）， y= （ x 2）， 联立直线 程，消去 y，可得 x= = ， 由韦达定理可得， = ， 即 2 第 16 页（共 20 页） 可得 x= =4 即有直线 直线 点的横坐标为定值 4 21已知函数 f（ x） =x|x+a| （ 1）当 a=0 时，讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 a 0，讨论函数 f（ x）的极值点 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数 的极值 【分析】 （ 1）当 a=0 时， f（ x） =数的定义域为（ 0， +），求导数，断导数的符号，即可判断 f（ x）的单调性； （ 2）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论函数 f（ x）的极值点 【解答】 解：（ 1）当 a=0 时， f（ x） =数的定义域为（ 0， +） f（ x） = ， 令 f（ x） 0，可得 x ， f（ x） 0，可得 0 x ， 函数 f（ x）的单调增区间是（ ， +），单调减区间是（ 0， ）； （ 2）当 a 0 时， f（ x） = x a 时， f（ x） = =0，可得 ， a（舍去） 若 a，即 a ， f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ a， +）上单调递增； 若 a，即 a 0，则当 x （ a， ， f（ x） 0， x （ +），f（ x） 0， f（ x）在 （ a， 单调递减，在（ +）上单调递增 当 0 x a 时， f（ x） = =0，得 421=0 记 =416 0，即 2 a 0， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， a）上单调递减； 第 17 页（共 20 页） 0，即 a 2， f（ x） =0 可得 ， 且 0 a x （ 0， ， f（ x） 0， x （ ， f（ x） 0， x （ a）， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 单调递减，在（ 单调递增，在（ a）上单调递减， 综上所述， a 2 时， f（ x）的极小值点为 ，极大值点为 ； 2 a 时， f（ x）无极值点； a 0 时， f（ x）的极小值点为 选修 4何证明选讲 22已知点 P 是圆 O 外的一点，过 P 作圆 O 的切线 点为 A， B，过 P 作一割线交圆 O 于点 E， F，若 2F，取 中点 D，连接 延长交圆于 H （ 1）求证： O， A， P， B 四点共圆； （ 2）求证： H 【考点】 平行截割定理；圆周角定理 【分析】 （ 1）利用对角互补，证明 O， A， P， B 四点共圆； （ 2）由切割线定理证明出 相交弦定理可得 H=F，即