华师大版九年级数学下26.3.4二次函数综合题（一）课文练习含答案解析

次函数综合题 1 农安县合隆中学 徐亚惠 一选择题（共 8 小题） 1如图， 顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y= 点 O 顺时针旋转 90，得到 该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A（ ， ） B（ 2， 2） C（ ， 2） D（ 2， ） 2如图， 边长为 1 的正方形， x 轴正半 轴的夹角为 15，点 B 在抛物线 y=a 0）的图象上，则 a 的值为（ ） A B C 2 D 3如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），其顶点 P 在线段 移动若点 M、 1， 2）、（ 1， 2），点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A 的横坐标的最小值为（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 4下列图形中，阴影部分的面积为 2 的有（ ）个 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 5正方形 长为 1， E、 F、 G、 H 分别为边 的点，且 F=H设小正方形面积为 y， AE=x则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 6如图，两条抛物线 ， 与分别经过点（ 2， 0），（ 2， 0）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ） A 8 B 6 C 10 D 4 7如图，二次函数 y= 2x 的图象与 x 轴交于点 A、 O，在抛物线上有一点 P，满足 S ，则点 P 的坐标是（ ） A（ 3， 3） B（ 1， 3） C （ 3， 3）或（ 3， 1） D（ 3， 3）或（ 1， 3） 8如图 ，点 A（ m， n）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点， 直于 x 轴，垂足为 B，那么三角形 面积 S 关于 m 的函数关系的图象大致为（ ） A B C D 二填空题（共 6 小题） 9如图，矩形 长 O 是 中点， 半圆的直径分别为 物线 y=、 D 两点，则图中阴影部分的面积是 _ _ 10如图，正方形 x 轴上，且坐标分别为 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若抛物线经过 A， B 两点，将正方形绕 A 点顺时针旋转 30后 D 点转到 D位置，且 D在抛物线上，则抛物线的解析式为 _ 11已知：如图，过原点的抛物线的顶点为 M（ 2， 4），与 x 轴负半轴交于点 A，对称轴与 x 轴交于点 B，点 点 P 作 点 Q （ 1）抛物线解析式为 _ （ 2）若 似，则满足条件的点 P 的坐标为 _ 12如图，将 2 个正方形并排组成 矩形 别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上正方形 边 B 上，过点 M、 N 的二次函数的图象也过矩形的顶点 B、 C，若三个正方形边长均为 1，则此二次函数的关系式为 _ 13下列图形中阴影部分的面积相等的是（填序号） _ 14如图，平面直角坐标系 ， A（ 0， 2）， M 经过原点 O 和点 A，若点 M 在抛物线 上，则点 _ 三解答题（共 6 小题） 15如图，在平面直角坐标系内，已知直线 y=x+4 与 x 轴 、 y 轴分别相交于点 A 和点 C，抛物线 y=x2+kx+k 1 图象过点 A 和点 C，抛物线与 x 轴的另一交点是 B， （ 1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及 B 点坐标； （ 2）若在 y 轴负半轴上存在点 D，能使得以 A、 C、 D 为顶点的三角形与 似，请求出点 D 的坐标 16如图，抛物线 y= x+4 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 D 在抛物线上且横坐标为 3 （ 1）求 值； （ 2）点 P 为抛物线上一点，且 5，求点 P 的坐标 17如图，经过点 A（ 0， 6）的抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于 B（ 2， 0）， C 两点 （ 1）求此抛物线的函数关系式和顶点 D 的坐标； （ 2）将（ 1）中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m（ m 0）个单位长度得到新抛物线 新抛物线 顶点 P 在 ，求 m 的取值范围； （ 3）在（ 2）的结论下，新抛物线 是否存在点 Q，使得 以 底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的 m 的取值范围 18在平面直角坐标系 ，抛物线 y=2x 与 x 轴正半轴交于点 A，顶点为 B （ 1）求点 B 的坐标（ 用含 m 的代数式表示）； （ 2）已知点 C（ 0， 2），直线 交于点 D，与该抛物线对称轴交于点 E，且 m 的值； （ 3）在由（ 2）确定的抛物线上有一点 N（ n， ）， N 在对称轴的左侧，点 F， G 在对称轴上， F 在 G 上方，且，当四边形 周长最小时： 求点 F 的坐标； 设点 P 在抛物线上，在 y 轴上是否存在点 H，使以 N， F， H， P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 19如图所示，抛物线 y=bx+c 的顶点为 M（ 2， 4），与 x 轴交于 A、 B 两点，且 A（ 6， 0），与 x 轴交于点 C （ 1） 求抛物线的函数解析式； （ 2）求 面积； （ 3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 P，使 面积最大？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 20如图，二次函数 y=a 0）的图象过坐标原点 O，与 x 轴的负半轴交于点 A，过 A 点的直线与 y 轴交于B，与二次函数的图象交于另一点 C，且 C 点的横坐标为 1， ： 1 （ 1）求点 A 的坐标； （ 2）设二次函数图象的顶点为 F，其对称轴与直线 x 轴分别 交于点 D 和点 E，若 似，求此二次函数的关系式 次函数综合题 1 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题） 1如图， 顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y= 点 O 顺时针旋转 90，得到 该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A （ ， ） B（ 2， 2） C（ ， 2） D （ 2， ） 考点： 二次函数综合题 专题： 综合题 分析： 首先根据点 A 在抛物线 y=B 的长，从 而求得点 D 的坐标，根据点 P 的纵坐标和点 D 的纵坐标相等得到点 P 的坐标即可； 解答： 解： 顶点 A（ 2， 4）在抛物线 y=， 4=a（ 2） 2， 解得： a=1 解析式为 y= 顶点 A（ 2， 4）， D=2， 点 O 顺时针旋转 90，得到 x 轴， 点 D 和点 P 的纵坐标均为 2， 令 y=2，得 2= 解得： x= ， 点 P 在第一象限， 点 P 的坐标为：（ ， 2） 故选： C 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，解题过程 中首先求得直线的解析式，然后再求得点 D 的纵坐标，利用点 P 的纵坐标与点 D 的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可 2如图， 边长为 1 的正方形， x 轴正半轴的夹角为 15，点 B 在抛物线 y=a 0）的图象上，则 a 的值为（ ） A B C 2 D 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： 连接 B 作 x 轴于 D，若 x 轴正半轴的夹角为 15，那么 0；在正方形，已知了边长，易求得对角线 长，进而可在 求得 值，也就得到了 B 点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数 a 的值 解答： 解：如图，连接 B 作 x 轴于 D； 则 5， 0； 已知正方形的边长为 1，则 ； ， ， 0，则： ， ； 故 B（ ， ）， 代入抛物线的解析式中，得： （ ） 2a= ， 解得 a= ； 故选 B 点评： 此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与 所求相关的直角三角形，是解决问题的关键 3如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），其顶点 P 在线段 移动若点 M、 1， 2）、（ 1， 2），点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A 的横坐标的最小值为（ ） A 3 B 1 C 1 D 3 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： 根据顶点 P 在线段 移动，又知点 M、 N 的坐标分别为（ 1， 2）、（ 1， 2），分别求出对称轴过点 M 和 N 时的情况，即可判 断出 A 点坐标的最小值 解答： 解：根据题意 知，点 B 的横坐标的最大值为 3， 即可知当对称轴过 N 点时，点 B 的横坐标最大， 此时的 A 点坐标为（ 1， 0）， 当可知当对称轴过 M 点时，点 A 的横坐标最小，此时的 B 点坐标为（ 1， 0）， 此时 A 点的坐标最小为（ 3， 0）， 故点 A 的横坐标的最小值为 3， 故选 A 点评： 本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般 4下列图形中，阴影部分的面积为 2 的有（ ）个 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 考点： 二次函数综合题 专题： 压 轴题；图表型；数形结合 分析： 分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； 把 x=1 代入函数解析式求出对应的 y，然后利用三角形的面积公式即可求解； 首先求出平稳性与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； 根据反比例函数的性质即可求解 解答： 解： y= x+2， 当 x=0， y=2， 当 y=0， x=2， S 阴影部分 = 22=2； y=4x， 当 x=1， y=4， S 阴影部分 = 14=2； y=1， 当 x=0， y= 1， 当 y=0， x=1， S 阴影部分 = 12=1； y= ， ， S 阴影部分 = 4=2； 故阴影部分的面积为 2 的有 故选 B 点评： 此题主要 考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，同时也利用了三角形的面积公式，解题时要求学生熟练掌握三种函数的图象和性质才能解决问题 5正方形 长为 1， E、 F、 G、 H 分别为边 的点，且 F=H设小正方形面积为 y， AE=x则 y 关于 x 的函数图 象大致是（ ） A B C D 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： 由已知得 F=H=1 x，根据 y=S 正方形 S S S S 函数关系式，判断函数图象 解答： 解：依题意，得 y=S 正方形 S S S S 1 4 （ 1 x） x=22x+1， 即 y=22x+1（ 0x1）， 抛物线开口向上，对称轴为 x= ， 故选 C 点评： 本题考查了二次函数的综合运用关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量 取值范围，开口方向及对称轴 6如图，两条抛物线 ， 与分别经过点（ 2， 0），（ 2， 0）且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ） A 8 B 6 C 10 D 4 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： 两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积 解答： 解： 两解析式的二次项系数相同， 两抛物线的形状完全相同， （ 1） =2； S 阴影 =（ |2（ 2） |=24=8， 故选 A 点评： 本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题 7如图，二次函数 y= 2x 的图象与 x 轴交于点 A、 O，在抛物线上有一点 P，满足 S ，则点 P 的坐标是（ ） A （ 3， 3） B（ 1， 3） C（ 3， 3）或（ 3， 1） D （ 3， 3）或（ 1， 3） 考点： 二次函数综合题 分析： 根据抛物线的解析式，即可确定点 A 的坐标，由于 定长，根据 面积即可确定 P 点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得 P 点的坐标 解答： 解：抛物线的解析式中，令 y=0，得： 2x=0，解得 x=0， x= 2； A（ 2， 0）， ； S 3， |3； 当 P 点纵坐标为 3 时， 2x=3， x+3=0， =4 12 0，方程无解，此种情况不成立； 当 P 点纵坐标为 3 时， 2x= 3， x 3=0， 解得 x=1， x= 3； P（ 1， 3）或（ 3， 3）； 故选 D 点评： 能够根据三角形面积来确定 P 点的坐标，是解答此题的关键 8如图，点 A（ m， n）是一次函数 y=2x 的图 象上的任意一点， 直于 x 轴，垂足为 B，那么三角形 面积 S 关于 m 的函数关系的图象大致为（ ） A B C D 考点： 二次函数综合题；二次函数的图象 专题： 压轴题 分析： 因为 A（ m， n）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点，所以 n=2m根据三角形面积公式即可得出S 与 m 之间的函数关系，根据关系式即可解答 解答： 解：由题意可列该函数关系式： S= |m|2|m|= 因为点 A（ m， n）是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点， 所以点 A（ m， n）在第一 或三象限， 又因为 S 0， 所以取第一、二象限内的部分 故选 D 点评： 应熟记：二次函数的图象是一条抛物线且注意分析题中的 “小细节 ” 二填空题（共 6 小题） 9如图，矩形 长 O 是 中点， 半圆的直径分别为 物线 y=、 D 两点，则图中阴影部分的面积是 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： 根据抛物线的对称性易知阴影部分的面积实际是一个半圆的面积，且半圆的半径为 一半， 四 分之一，由此可求出阴影部分的面积 解答： 解：由题意，得： S 阴影 =S 半圆 = （ ） 2= （ 点评： 此题并不难，能够发现阴影部分与半圆面积之间的关系是解答此题的关键 10如图，正方形 x 轴上，且坐标分别为 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若抛物线经过 A， B 两点，将正方形绕 A 点顺时针旋转 30后 D 点转到 D位置，且 D在抛物线上，则抛物线的解析式为 y= （ x+1）（ x 1）（或 y= ） 考点： 二次函数综合题 分析： 如图，过点 D作 DE x 轴于点 E根 据旋转的性质推知直角 的 2， D0，通过解该直角三角形即可求得 DE 的长度，从而求得点 D的坐标，然后将其代入二次函数解析式 y=a（ x+1）（ x 1）（ a0），从而求得 a 的值 解答： 解：根据题意，可设该二次函数解析式为 y=a（ x+1）（ x 1）（ a0）， 如图，过点 D作 DE x 轴于点 E A（ 1， 0）， B（ 1， 0）， 四边形 正方形， D=2， 0 又 由旋转的性质知， 30， D=2， 在直角 ， D2 =1， DE=AD2 = ， D（ 2， ） 点 D在抛物线上， =a（ 2+1）（ 2 1）， 解得， a= ， 该二次函数解析式是： y= （ x+1）（ x 1）（或 y= ） 故答案是： y= （ x+1）（ x 1）（或 y= ） 点评： 本题综合考查了旋转的性质，点的坐标与图形的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式在求点 D的坐标时，也可以在直角 利用 “勾股定理、 30角所对的直角边是所 对的斜边的一半 ”进行解答 11已知：如图，过原点的抛物线的顶点为 M（ 2， 4），与 x 轴负半轴交于点 A，对称轴与 x 轴交于点 B，点 点 P 作 点 Q （ 1）抛物线解析式为 y= 4x （ 2）若 似，则满足条件的点 P 的坐标为 （ ， ）、（ ， ） 考点： 二次函数综合题 专题： 计算题；压轴题；数形结合；分类讨论 分析： （ 1）设抛物线的解析式为： y=a（ x+2） 2+4，因为抛物线过原点，把（ 0， 0）代入，求出 a 即可 （ 2）由于 0；所以只要满足 ，先找出点 B 关于直线 对称点（设为点 C），显然有 B=2、 B=4，可根据该条件得到点 C 的坐标，进而求出直线 直线 解析式，联立抛物线的解析式即可得到点 P 的坐标； ，若设直线 x 轴的交点为 D，那么 为等腰三角形，即 D，根据此条件先求出点 D 的坐标，进而得出直线 解析式，联立抛物线的解析式即可得解 解答： 解：（ 1） 过 原点的抛物线的顶点为 M（ 2， 4）， 设抛物线的解析式为： y=a（ x+2） 2+4， 将 x=0， y=0 代入可得： 4a+4=0， 解得： a= 1， 抛物线解析式为： y=（ x+2） 2+4， 即 y= 4x； （ 2） 0； 若 似，那么需满足下面的其中一种情况： 时 角平分线，如图 ； 取点 B 关于直线 对称点 C，则 B=2， B=4，设点 C（ x， y），有： ，解得 （舍）， 点 C 的坐标为（ ， ）； 设直线 解析式： y=kx+b，代入 M（ 2， 4）、（ ， ）得： ，解得 直线 y= x+ 联立抛物线的解析式，有： ，解得 ， 点 P 的坐标（ ， ）； 右图 ，此时 等腰三角形，且 D，若设点 D（ x， 0），则有： （ x+4） 2=（ x+2） 2+（ 0 4） 2，解得： x=1 点 D（ 1， 0）； 设直线 解析式： y=kx+b，代入 M（ 2， 4）、 D（ 1， 0）后，有： ，解得： 直线 y= x+ 联立抛物线的解析式有： ，解得： ， 点 P 的坐标（ ， ） 综上，符合条件的 P 点有两个，且坐标为（ ， ）、（ ， ） 故答案：（ 1） y= 4x；（ 2）（ ， ）、（ ， ） 点评： 该题虽然是一道填空题，但难度不亚于压轴题；主要的难度在于第二题，在 “相似三角形 相等角 确定关键点 得到直线 析式 ”的解题思路中，综合了相似三角形、等腰三角形的性质、轴对称图形、坐标系两点间的距离公式、函数图象交点坐标的求法等重点知识，这就要求同学们有扎实的基础功底和良好的数形结合的思考方法 12如图，将 2 个正 方形并排组成矩形 别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上正方形 边 B 上，过点 M、 N 的二次函数的图象也过矩形的顶点 B、 C，若三个正方形边长均为 1，则此二次函数的关系式为 y= x+1 考点： 二次函数综合题 专题： 代数几何综合题 分析： 根据正方形的性质求出点 B、 C 的坐标，再根据二次函数图象的轴对称性确定出点 M 的坐标，然后利用待 定系数法求二次函数解析式解答即可 解答： 解： 正方形的边长为 1， +1=2， ， 点 B（ 2， 1）、 C（ 0， 1）， 正方形 两顶点 M、 N 在抛物线上， 根据二次函数图象的轴对称性，点 M 的横坐标为 1 1=1 = ， 纵坐标为 1+1=2， 点 M（ ， 2）， 设二次函数解析式为 y=bx+c， 则 ， 解得 ， 所以，二次函数的关系式为 y= x+1 故答案为： y= x+1 点评： 本题是二次函数综合题型，主要涉及正方形的性质，二次函数图象的轴对称性，待定系数法求二次函数解析式，综合题但难度不大，确定出点 B、 C、 M 的坐标是解题的关键 13下列图形中阴影部分的面积相 等的是（填序号） 考点： 二次函数综合题 分析： 首先根据各图形的函数解 析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系 解答： 解： ：直线 y=x+2 与坐标轴的交点坐标为：（ 2， 0），（ 0， 2），故 S 阴影 = 22=2； ：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（ 0， 0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积； ：该抛物线与坐标轴交于：（ 1， 0），（ 1， 0），（ 0， 1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积 S= 21=1； ：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为： S= 2=1； 因此 的面积相等， 故答案为： 点评： 此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键 14如图，平面直角坐标系 ， A（ 0， 2）， M 经过原点 O 和点 A，若点 M 在抛物线 上，则点 （ ， 1），（ ， 1） 考点： 二次函数综合题 分析： 根据 M 经过原点 O 和点 A，得出 M 在 垂直平分线上，进而得出垂直平分线解析 式为 y=1，再求出两图象交点即可 解答： 解： A（ 0， 2）， M 经过原点 O 和点 A， ， M 在 垂直平分线上， 垂直平分线解析式为 y=1， 两图象交点为： 1= 解得： x= ， 点 M 的坐标为：（ ， 1），（ ， 1） 故答案为：（ ， 1），（ ， 1） 点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知得出 M 在 垂直平分线上是解题关键 三解答题（共 6 小题） 15如图，在平面直角坐标系内，已知直线 y=x+4 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A 和点 C，抛物线 y=x2+kx+k 1 图象过点 A 和点 C，抛物线与 x 轴的另一交点是 B， （ 1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及 B 点坐标； （ 2）若在 y 轴负半轴上存在点 D，能使得以 A、 C、 D 为顶点的三角形与 似，请求出点 D 的坐标 考点： 二次函数综合题 专题： 综合题 分析： （ 1）先求出 A、 C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程 x= 求出抛物线的对称轴，根据抛物线上点的坐标特征求出点 B 的坐标； （ 2）易得 此根据条件即可得到 后运用相似三角形的性质可求出 长，由此可得到 长，就可解决问题 解答： 解：（ 1）由 x=0 得 y=0+4=4，则点 C 的坐标为（ 0， 4）； 由 y=0 得 x+4=0，解得 x= 4，则点 A 的坐标为（ 4， 0）； 把点 C（ 0， 4）代入 y=x2+kx+k 1，得 k 1=4， 解得： k=5， 此抛物线的解析式为 y=x+4， 此抛物线的对称轴为 x= = 令 y=0 得 x+4=0， 解得： 1， 4， 点 B 的坐标为（ 1， 0） （ 2） A（ 4， 0）， C（ 0， 4）， C=4， 0， ， A=4， =4 ， A 1=3 点 D 在 y 轴负半轴上， 90 又 90， 由条件 “以 A、 C、 D 为顶点的三角形与 似 ”可得 = ，即 = ， 解得： ， D 4= ， 点 D 的坐标为（ 0， ） 点评： 本题主要考查了用待定系数法求二次 函数的解析式、解一元二次方程、相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的对应关系是解决第（ 2）小题的关键 16如图，抛物线 y= x+4 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 D 在抛物线上且横坐标为 3 （ 1）求 值； （ 2）点 P 为抛物线上一点，且 5，求点 P 的坐标 考点： 二次函数综合题；勾股定理；锐角三角函数的定义 专题： 数形结合 分析： （ 1）如图，连接 点 D 作 点 E利用抛物线解析式可以求得点 A、 B、 C、 D 的坐标，则易推知 以 5利用直角等腰直角三角形的 性质和图中相关线段间的和差关系求得 ， C 由正切三角函数定义知 = ； （ 2）过点 P 作 x 轴于点 F由点 B、 D 的坐标得到 x 轴， 用（ 1）中的结果得到：设 P（ x， x+4），则利用锐角三角函数定义推知 = ，通过解方程求得点 P 的坐标为（ ， ） 解答： 解：（ 1）令 y=0，则 x+4=（ x+1）（ x 4） =0， 解得 1， A（ 1， 0）， B（ 4， 0） 当 x=3 时， y= 32+33+4=4， D（ 3， 4） 如图，连接 点 D 作 点 E C（ 0， 4）， 5 在直角 ， B=4， 在直角 ， D= ， C = ； （ 2）过点 P 作 x 轴于点 F 5， 设 P（ x， x+4），则 = ， 解得 ， （舍去）， P（ ， ） 点评： 本题主要考查了二次函数综合型题目，其中涉及到了坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点解题时，要注意数形结合的数学思想方法 17如图，经过点 A（ 0， 6）的抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴相交于 B（ 2， 0）， （ 1）求此抛物线的函数关系式和顶点 D 的坐标； （ 2）将（ 1）中求得的抛物线向左 平移 1 个单位长度，再向上平移 m（ m 0）个单位 长度得到新抛物线 新抛物线 顶点 P 在 ，求 m 的取值范围； （ 3）在（ 2）的结论下，新抛物线 是否存在点 Q，使得 以 底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的 m 的取值范围 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题 分析： （ 1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式； （ 2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定点 P 的坐标，然后求得点 C 的坐标，从而利用待定系数法确定直线 解析式，然后确定 m 的取值 范围即可； （ 3）求出 此点且垂直于 直线在 x=1 的交点应该为顶点 P 的临界点，顶点 P 继续向上移动，不存在 Q 点，向下存在两个点 P 解答： 解：（ 1）将 A（ 0， 6）， B（ 2， 0）代入 y= x2+bx+c， 得： ， 解得： ， y= 2x 6， 顶点坐标为（ 2， 8）； （ 2）将（ 1）中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m（ m 0）个单位长度得到新抛物线 （ x 2+1） 2 8+m， P（ 1， 8+m）， 在抛物线 y = 2x 6 中易得 C（ 6， 0）， 直 线 y2=x 6， 当 x=1 时， 5， 5 8+m 0， 解得： 3 m 8； （ 3） A（ 0， 6）， B（ 2， 0）， 线段 中点坐标为（ 1， 3），直线 解析式为 y= 3x 6， 过 中点且与 直的直线的解析式为： y= x ， 直线 y= x 与 y= （ x 1） 2 8+m 有交点， 联立方程，求的判别式为： =64 12（ 6m 29） 0 解得： m 当 3 m 时，存在两个 Q 点，可作出两个等腰 三角形； 当 m= 时，存在一个点 Q，可作出一 个等腰三角形； 当 m 8 时， Q 点不存在，不能作出等腰三角形 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，题目中还渗透了分类讨论的数学思想，这也是中考中常常出现的重要的数学思想，应加强此类题目的训练 18在平面直角坐标系 ，抛物线 y=2x 与 x 轴正半轴交于点 A，顶点为 B （ 1）求点 含 m 的代数式表示）； （ 2）已知点 C（ 0， 2），直线 交于点 D，与该抛物线对称轴交于点 E，且 m 的值； （ 3）在由（ 2）确定的抛物线上有一点 N（ n， ）， N 在对称 轴的左侧，点 F， G 在对称轴上， F 在 G 上方，且，当四边形 周长最小时： 求点 F 的坐标； 设点 P 在抛物线上，在 y 轴上是否存在点 H，使以 N， F， H， P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题 分析： （ 1）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点 B 的坐标； （ 2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M先由 y 轴，得出 据相似三角形对应边的比相等得出 = = ，于是 再根据 到 E=2，于是 E+，即 = 3，进而求出 m 的值； （ 3）由（ 2）得抛物线的解析式为 y= 2x，其对称轴是 x=3， A（ 6， 0） 将 N（ n， ）代入 y= 2x，求出 n 的值，得到 N 点坐标由于四边形 ，边 定值，所以当 F 最小时，四边形 周长最小于是可将点 N 向上平移 1 个单位得到 N（ 1， ），连结 与对称轴的交点即为所求点 F在对称轴上将点 F 向下平移 1 个单位得到点 G，连结 据两点之间线段最短可知此时得到的四边 形 周长最小运用待定系数法求出直线 解 析式，将 x=3 代入，求出 y 的值，进而得到点 F 的坐标； N（ 1， ）， F（ 3， ），设 H（ 0， y）分两种情况讨论： ）当 平行四边形的边时， 如果 平行四边形，由点 F 向左平移 3 个单位横坐标为 0，求得点 P 的横坐标为 1 3= 2，将 x= 2 代入y= 2x， 求出 P 点坐标（ 2， ），那么 N 点先向左平移 3 个单位，再向上平移 （ ） =7 个单位到点 P，依此求出H 点纵坐标为 +7= ，进而得到 H 点坐标为（ 0， ）； 如果 平 行四边形，同理求出 H 点坐标为（ 0， ）； ）当 平行四边形的对角线时，先求出 中点坐标，再根据 H 与 P 关于这个中点坐标对称，求出 H 点坐标为（ 0， ） 解答： 解：（ 1） y=2x=m（ x ） 2 ， 顶点 B 的坐标为（ ， ）； （ 2） 点 C（ 0， 2）， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M y 轴， = = ， E=2， E+， = 3， m= ； （ 3）由（ 2）得抛物线的解析式为 y= 2x，其对称轴是直线 x=3， A（ 6， 0） 点 N（ n， ）在此抛物线上， = 2n， 解得 ， 点 N 在对称轴的左侧， n=1， N（ 1， ） 将点 N 向上平移 1 个单位得到 N（ 1， ），连结 与对称轴的交点即为所求点 F在对称轴上将点 F 向下平移 1 个单位得到点 G，连结 知此时得到的四边形 周长最小（由 NF+ 可得 F） 设直线 解析式为 y=kx+b， 把 N（ 1， ）， A（ 6， 0）代入， 得 ，解得 ， y= x 点 F 是 对称轴是直线 x=3 的交点， F（ 3， ）； N（ 1， ）， F（ 3， ），设 H（ 0， y） 分两种情况讨论： ）当 平行四边形的边时， P 如果 平行四边形， 点 F 向左平移 3 个单位横坐标为 0， 点 P 的横坐标为 1 3= 2， 当 x= 2 时， y= 2x= （ 2） 2 2（ 2） = ， P（ 2， ）， N 点先向左平移 3 个单位，再向上平移 （ ） =7 个单 位到点 P， H 点纵坐标为 +7= ， H 点坐标为（ 0， ）； 如果 平行四边形， 点 N 向左平移 1 个单位横坐标为 0， 点 P 的横坐标为 3 1=2， 当 x=2 时， y= 2x= 22 22= ， P（ 2， ）， F 点先向左平移 1 个单位，再向下平移 （ ） = 个单位到点 P， H 点纵坐标为 = ， H 点坐标为（ 0， ）； ）当 平行四边形的对角线时， 中点坐标为（ 2， ）， 中点坐标为（ 2， ）， H（ 0， y）， 点 P 的横坐标为 4， 当 x=4 时， y= 2x= 42 24= ， P（ 4， ）， H 点纵坐标为 2（ ）（ ） = ， H 点坐标为（ 0， ）； 综上所述，所求 H 点坐标为（ 0， ）或（ 0， ）或（ 0， ） 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线的顶点坐标求法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，轴对称的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识，综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键 19如图所示，抛物线 y=bx+c 的顶点为 M（ 2， 4），与 x 轴交于 A、 B 两点，且 A（ 6， 0），与 x 轴交于点 C （ 1）求抛物线的函数解析式； （ 2）求 面积； （ 3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 P，使 面积最大？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 考点： 二次函数综合题 分析： （ 1）根据顶点坐标公式即可求得 a、 b、 c 的值，即可解题； （ 2）易求得点 B、 C 的坐标，即可求得 长，即可求得 面积，即可解题； （ 3）作 x 轴于点 E，交 点 F，可将 面积转化为 面积之和，而这两个三角形有共同的底 一个底上的高的和又恰好是 A、 C 两点间的距离，因此若设设 E（ x， 0），则可用 x 来表示 到关于 x 的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题 解答： 解：（ 1）设此函数的解析式为 y=a（ x+h） 2+k， 函数图象顶点为 M（ 2， 4）， y=a（ x+2） 2 4， 又 函数图象经过点 A（ 6， 0）， 0=a（ 6+2） 2 4 解