华师大版九年级数学下27.4正多边形和圆课文练习含答案解析

多边形和圆 农安县合隆中学 徐亚惠 一选择题（共 8 小题） 1正多边形的中心角是 36，那么这个正多边形的边数是（ ） A 10 B 8 C 6 D 5 2圆内接正六边形的周长为 24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ） A 12 B 6 C 12 D 6 3如图，由 7 个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点 ，已知每个正六边形的边长为 1， 顶点都在格点上，则 面积是（ ） A B 2 C D 3 4半径为 8圆的内接正三角形的边长为（ ） A 8 4 8 4正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ） A B C D 6正六边形的边长等于 2，则这个正六边形的面积等于 （ ） A 4 B 6 C 7 D 8 7 O 的半径等于 3，则 O 的内接正方形的边长等于（ ） A 3 B 2 C 3 D 6 8同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ） A B C D 二填空题（共 6 小题） 9正六边形的中心角等于 _ 度 10正 n 边形的边长与半径的夹角为 75，那么 n= _ 11已知正六边形的半径为 2么这个正六边形的边心距为 _ 12如图， O 的半径为 1六 边形 接于 O，则图中阴影部分面积为 _ 结果保留 ） 13半径为 1 的圆内接正三角形的 边心距为 _ 14如图，正六边形 接于 O，若 O 的半径为 4，则阴影部分的面积等于 _ 三解答题（共 6 小题） 15如图，正五边形 ，点 F、 G 分别是 中点， 交于 H （ 1）求证： （ 2）求 度数 16如图，正六边形 ，点 M 在 上， 20， 六边形外角的平分线 于点 H （ 1）当点 M 不与点 A、 B 重合时，求证： （ 2）当点 M 在正 六边形 边 运动（点 M 不与点 B 重合）时，猜想 数量关系，并对猜想的结果加以证明 17如图，分别求出半径为 R 的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积 18正六边形的边长为 8，则阴影部分的面积是多少？ 19如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上 （ 1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？ （ 2）设圆 O 的半径为 2，求圆中阴影部分的面积之和 20如图，某圆形场地内有一个内接于 O 的正方形中心场地，若 O 的 半径为 10 米，求图中所画的一块草地的面积（计算结果保留 ） 多边形和圆 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题） 1正多边形的中心角是 36，那么这个正多边形的边数是（ ） A 10 B 8 C 6 D 5 考点： 正多边形和圆 分析： 设这个正多边形的边数是 n，再根据正多边形的中心角是 36求出 n 的值即可 解答： 解：设这个正多边形的边数是 n， 正多边形的中心角是 36， =36，解得 n=10 故选 A 点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多 边形每一边所对的圆 心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键 2圆内接正六边形的周长为 24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ） A 12 B 6 C 12 D 6 考点： 正多边形和圆 分析： 根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可 解答： 解： 圆内接正六边形的周长为 24， 圆内接正六边形的边长为 4， 圆的半径为 4， 如图， 连接 O 作 D， 则 0， B4 =2 ， ； 该圆的内接正三 角形的周长为 12 ， 故选 A 点评： 本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键 3如图，由 7 个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为 1， 顶点都在格点上，则 面积是（ ） A B 2 C D 3 考点： 正多边形和圆 分析： 延长 后作出过点 C 与格点所在的直线，一定交于格点 E，根据 S S 解答： 解：延长 后作出过点 C 与格点所在的直线，一定交于格点 E 正六边形的边长为 1，则半径是 1，则 ， 中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是： ，则 边 的高是： ， 的高是： ， 则 S S 4（ ） =2 故选： B 点评： 本题考查了正多边形的计算，正确理解 S S 4半径为 8圆的内接正三角形的边长为（ ） A 8 4 8 4点： 正多边形和圆 分析： 欲求 边长，把 当弦，作 垂线，在 ，求 长；根据垂径定理知： 而求正三角形的边长 解答： 解：如图所示： 半径为 8圆的内接正三角形， 在 ， 0， BD= 8=4 （ D， 故它的内接正三角形的边长为 8 故选： A 点评： 本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出， 0是解题关键 5正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ） A B C D 考点： 正多边形和圆 分析： 作出正三角形的边心 距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形解直角三角形即可 解答： 解：正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径； 因为等边三角形的边长为正六边形的外接圆的半径， 所以内切圆面积与外接圆面积之比 =（ 2= 故选： D 点评： 本题考查了正多边形和圆，利用正六边形可以 分六个全等等边三角形进而得出是解题关键 6正六边形的边长等于 2，则这个正六边形的面积等于（ ） A 4 B 6 C 7 D 8 考点： 正多边形和圆 分析： 边长为 2 的正六边形可以分成六个边长为 2 的正三角形，计算出正六边形的面积即可 解答： 解：连接正六变形的中心 O 和两个顶点 D、 E，得到 60 =60， 又 E， 180 60） 2=60， 则 正三角形， E=， S M= E 22 = 正六边形的面积为 6 =6 ， 故选 B 点评： 本题考查了正多边形的计算，理解正六边形倍半径分成六个全等的等边三角形是关键，此题难度不大 7 O 的半径等于 3，则 O 的内接正方形的边长等于（ ） A 3 B 2 C 3 D 6 考点： 正多边形和圆 分析： 根据正方形与圆的性质得出 C，以及 而得出正方形的边长即可 解答： 解：如图所示： O 的半径为 3， 四边形 正方形， B=90， O 的直径， 3=6， C， 6， 解得： ， 即 O 的内接正方形的边长等于 3 ， 故选 C 点评： 此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出 C 2=题难度一般 8同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ） A B C D 考点： 正多边形和圆 分析： 根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可 解答： 解：设圆的 半径为 R， 如图（一），连接 O 作 D， 则 0， B R， 故 R； 如图（二），连 接 O 作 E， 则 等腰直角三角形， 2 R， 故 R； 故圆内接正三角形、正方形的边长之比为 R： R= ： = ： 2 故选： A 点评： 本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键 二填空题（共 6 小题） 9正六边形的中心角 等于 60 度 考点： 正多边形和圆 分析： 根据正六边形的六条边都相等即可得出结论 解答： 解： 正六边形的六条边都相等， 正六边形的中心角 = =60 故答案为： 60 点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键 10正 n 边形的边长与半径的夹角为 75，那么 n= 12 考点： 正多边形和圆 分析： 先根据正 n 边形的边长与半径的夹角为 75求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于 n 的方程，求出 n 的值即可 解答： 解： 正 n 边形的边长与半 径的夹角为 75， 一个内角的度数 =150，即 =150解得 n=12 故答案为： 12 点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键 11已知正六边形的半径为 2么这个正六边形的边心距为 考点： 正多边形和圆 分析： 根据正六边形的特点，通过中心作边的垂 线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决 解答： 解：如图，连接 点 O 作 点 G 在 ， 0， A0=2 = （ 故答案为： 点评： 本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图 形，利用数形结合求解是解答此题的关键 12 如图， O 的半径为 1六边形 接于 O，则图中阴影部分面积为 结果保留 ） 考点： 正多边形和圆 专题： 计算题 分析： 根据图形分析可得求 图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可 解答： 解：如图所示：连接 正六边形 接于 O， C=， 20， 等边三角形 ， 在 ， 图中阴影部分面积为： S 扇形 = 故答案为： 点评： 此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积 =S 扇形 13半径为 1 的圆内接正三角形的边心距为 考点： 正多边形和圆 专题： 几何图形问题 分析： 作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距 解答： 解：如图 ， O 的内接等边三角形， ， 等边三角形的内心和外心重合， O B 平分 0； ， 故答案为： 点评： 考查了等边三角形的性质注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径 14如图，正六边形 接于 O，若 O 的半径为 4，则阴影部分的面积等于 考点： 正多边形和圆；扇形面积的计算 专题： 压轴题 分析： 先正确作辅助线，构造 扇形和等边三角形、直角三角形 ，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积 解答： 解：连接 M， N，过 O 作 Z， 六边形 正六边形， D=F， 0， 由垂径定理得： M， N， 在 ， ， 0， B2 ， B2， ， 面积是 M= 4 2=4 ， 同理 面积是 4 ； 0， D=4， 等边三角形， 0， 在 ， ， C2 ， S 扇形 S 42 = 4 ， 阴影部分的面积是： 4 +4 + 4 + 4 = ， 故答案为： 点评： 本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中 三解答 题（共 6 小题） 15如图，正五边形 ，点 F、 G 分别是 中点， 交于 H （ 1）求证： （ 2）求 度数 考点： 正多边形和圆；全等三角形的判定与性质 专题： 综合题 分析： （ 1）利用正五边形的相等的角和相等的边得到证明全等三角形的条件后证明全等即可； （ 2）将 度数转化为正五边形的内角的度数求解 解答： （ 1）证明： 五边形 正五边形， C= 2 分） F、 G 分别是 中点， G，（ 4 分） 在 ， C， G，（ 5 分） 6 分） （ 2）解：由（ 1）知 7 分） 正五边形的内角为 108， 08（ 9 分） （注：本小题直接正确写出 08不扣分） 点评： 本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正五边形中相等的元素 16如图，正六边形 ，点 M 在 上， 20， 六边形外角的平分线 于点 H （ 1）当点 M 不与点 A、 B 重合时，求证： （ 2）当点 M 在正六边形 边 运动（点 M 不与点 B 重合）时，猜想 数量关系，并对猜想的结果加以证明 考点： 正多边形和圆；全等三角形的判定与性质 专题： 探究型 分析： （ 1）先有正多边形的内角和定理得出六边形 角的度数，再根据 20， A、 M、B 在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可 得出结论； （ 2） 当点 M 与点 A 重 合时， 20， 交点 H 与点 B 重合，故可直接得出结论； 当点 M 与点 A 不重合时，连接 延长到 G，使 H，连 接 全等三角形的判定定理可得出 根据全等三角形的性质即可得出结论 解答： （ 1）证明： 六边形 正六边形， 每个内角均为 120 20， A、 M、 B 在一条直线上， 0， （ 2）解：猜想： H 证明： 当点 M 与点 A 重合时， 20， 交点 H 与点 B 重合，有 H 当点 M 与点 A 不重合时， 证法一：如图 1，连接 延长到 G，使 H，连接 20， B， 0， 80 30=150 六边形外 角的平分线 于点 H， 60=30， 20+30=150， 50 ， G， 0， 0， 0， G= 证法二：如图 2，在 截取 B，连接 B， B， M A=120， （ 180 120） =30， 有 50， 分 20+30=150， 由（ 1）知 H 点评： 本题考查的是正多 边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大 17如图，分别求出半径为 R 的圆内接正三角形圆内 接正方形的周长和面积 考点： 正多边形和圆 分析： 如图 1，连接 O 作 D，求出中心角 直角三角形求出 据垂径定理求出 可得出答案；连接 出中心角 据勾股定理求出 可得出答案 解答： 解：如图 1，连接 O 作 D， O 是正三角形 外接 圆， =120， B， 0， 在 ， ， R， R， R， 正 周长是 3 R；面积是 3 D=3 R R= 如图 2，连接 O 是正方形 外接圆， =90， C=R，由勾股定理得； = R， 正方形 周长为 4 R=4 R，面积为 R R=2 点评： 本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正多边形的性质的应用，解此题的关键是求出正多边形的边长，主要考查学生的计算能力，难度适中 18正六边形的边长为 8，则阴影部分的面积是多少？ 考点： 正多边形和圆 分析： 如图，作辅助线；首先证明 为等边三角形，得到 0，借助扇形的面积公式和三角形的面积公式即可解决问题 解答： 解：如图，连接 由题意知： =60， B= 为等边 三角形， 0， = ； =32