苏科版九年级下6.5相似三角形的性质专题练习含答案

第六章图形的相似（相似三角形的性质） 一选择题 1如果两个相似三角形的面积比是 1： 4，那么它们的周长比是（ ） A 1： 16 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 2 2 相似比为 1： 4，则 周长比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 3如图是由边长相同的小正方形组成的网格， A， B， P， Q 四点均在正方形网格的格点上，线段 交于点 M，则图中 正切值是（ ） A B 1 C D 2 4已知 相似比为 ，则 应中线的比为（ ） A B C D 5在四边形 ， B=90， ， 直平分 H 为垂足设AB=x， AD=y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A B C D 6如图， D、 E 分别是 边 的点，且 交于点 O，若 S S ： 25，则 S S 比是（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 5 D 1： 25 7如图，矩形 边长 ， ， E 为 中点， F 在边 ，且 F 分别与 交于点 M， N，则 长为（ ） A B C D 8如图，在 ， 高， 5，点 F 是 中点， 、 H， 下列结论： E； D=S S 中正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9如图的 有一正方形 中 D 在 ， E、 F 在 ，直线 别交 M、 N 两点若 B=90， ， ， ，则 长度为何？（ ） A B C D 10如图， A， 0，点 D 在边 （与 B、 C 不重合），四边形 正方形，过点 F 作 延长线于点 G，连接 点 Q，给出以下结论： G； S S 四边形 ： 2； Q 其中正确的结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11如图， P 为平行四边形 一点， E、 F 分别是 近点 P）的三等分点， 面积分别为 ， ， A=60，则 2+值为（ ） A B C D 4 12如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中三个多边形（分别标记为， ， ）的顶点均在格点上被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为 m，水平部分线段长度之和记为 n，则这三个多边形中满足 m=n 的是（ ） A只有 B只有 C D 二填空题 13如图，已知 7，则 B= 14如图，在平行四边形 ，点 E 是边 中点， 对角线 点 F，若 S ，则 S 15如图， C， D 是 一点，连接 平分线交于点 E，连接 S ， S ，则 16如图，已知点 C 为线段 中点， B=4，连接 平分线，与 交于点 F， 点 G，交 点 H，则 长为 17如图，已知 面积相等，点 E 在 上， 点 F，2， ，则 长是 18如图，在 ， D、 E 分别是边 的点，且 ： 3， ，则 19如图，已知 4 个全等的等腰三角形，底边 G、 同一直线上，且 ， ，连接 点 Q，则 20如图，矩形 接于 边 在 ，若 ， ，么 长为 21如图，在矩形纸片 ， ， 0，点 E 在 ，将 叠，点 C 恰落在边 的点 F 处；点 G 在 ，将 叠，点 A 恰落在线段的点 H 处，有下列结论： 5； S S F= 其 中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） 三解答题 22如图，在平面直角坐标系 ，直线 y= x+3 与 x 轴交于点 C，与直线 于点 A（ ， ），点 D 的坐标为（ 0， 1） （ 1）求直线 解析式； （ 2）直线 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 一动点（不与点 B 重合），当 似时，求点 E 的坐标 23从三角形（ 不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线 （ 1）如图 1，在 ， 角平分线， A=40， B=60，求证： 完美分割线 （ 2）在 ， A=48， 完美分割线，且 等腰三角形，求 度数 （ 3）如图 2， ， ， ， 完美分割线，且 以底边的等腰三角形，求完美分割线 长 24如图， ， C， E 在 延长线上， 分 （ 1）求证： （ 2）过点 C 作 点 F，交 点 G，若 ，求 长 25如图， 锐角三角形， 上的高，正方形 一边 ，顶点 E、 H 分别在 ，已知 00 （ 1）求证： （ 2）求这个正方形的边长与面积 26如图，在 ，点 D， E 分别在边 ， B，射线 别交线段 点 F， G，且 （ 1）求证： （ 2）若 ，求 的值 27如图，在菱形 ， G 是 一点，连接 延长交 延长线于点 F，交点 E （ 1）求证： G （ 2）求证： E 28如图，在 ， 0， 0，动点 M 从点 B 出发，在上以每秒 2速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 上以每秒速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒（ 0 t 5），连接 （ 1）若 N，求 t 的值； （ 2）若 似，求 t 的值； （ 3）当 t 为何值时，四边形 面积最小？并求出最小值 29如图 ， 等腰直角三角形，直角边 同一条直线上，点M、 N 分别是斜边 中点，点 P 为 中点，连接 （ 1）猜想 数量关系及位置关系，请直接写出结论； （ 2）现将图 中的 着点 C 顺时针旋转 （ 0 90），得到图 ， D 分别交于点 G、 H请判断（ 1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （ 3）若图 中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=CD=图 ，写出 数量关系，并加以证明 30【探究证明】 （ 1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明 如图 1，矩形 ， 别交 点 E， F， 别交 点 G， H求证 ： = ； 【结论应用】 （ 2）如图 2，在满足（ 1）的条件下，又 M， N 分别在边 ，若= ，则 的值为 ； 【联系拓展】 （ 3）如图 3，四边形 ， 0， D=10， D=5， M，N 分别在边 ，求 的值 参考答案与 解析 一选择题 1（ 2016临夏州）如果两个相似三角形的面积比是 1： 4，那么它们的周长比是（ ） A 1： 16 B 1： 4 C 1： 6 D 1： 2 【分析】 根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 【解答】 解： 两个相似三角形的面积比是 1： 4， 两个相似三角形的相似比是 1： 2， 两个相似三角形的周长比是 1： 2， 故选： D 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键 2（ 2016重庆） 相似比为 1： 4，则 周长比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 16 【分析】 由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果 【解答】 解： 相似比为 1： 4， 周长比为 1： 4； 故选： C 【点评】 本题考查了相似三角形的 性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键 3（ 2016淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格， A， B， P， Q 四点均在正方形网格的格点上，线段 交于点 M，则图中 正切值是（ ） A B 1 C D 2 【分析】 根据题意得出 而结合勾股定理得出 ， ， ，进而求出答案 【解答】 解：连接 由网格可得： 0， 又 = ， ， ， ， = ， 解得： ， = =2 故选： D 【点评】 此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确得出 解题关键 4（ 2016兰州）已知 相似比为 ，则 应中线的比为（ ） A B C D 【分析】 根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答 【解答】 解： 相似比为 ， 应中线的比为 ， 故选： A 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 5（ 2016金华）在四边形 ， B=90， ， 直平分 H 为垂足设 AB=x， AD=y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A B C D 【分析】 由 = ，求出 y 与 x 关系，再确定 x 的取值范围即可解决问题 【解答】 解： 直平分 C， C=2， B=90， = ， = ， y= ， x 4， 图象是 D 故选 D 【点评】 本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型 6（ 2016随州）如图， D、 E 分别是 边 的点，且 ，若 S S ： 25，则 S S 比是（ ） A 1： 3 B 1： 4 C 1： 5 D 1： 25 【分析】 根据相似三角形的判定定理得到 据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案 【解答】 解： S S ： 25， = ， = = ， = ， S S 比是 1： 4， 故选： B 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 7（ 2016泸州）如图，矩形 边长 ， ， E 为 中点， F 在边 ，且 别与 交于点 M， N，则 长为（ ） A B C D 【分析】 过 F 作 H，交 O，于是得到 B=2，根据勾股定理得到= =2 ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，由相似三角形的性质得到 = = ，求得 ，根据相似三角形的性质得到= = ，求得 ，即可得到结论 【解答】 解：过 F 作 H，交 O，则 B=2 D=3， H=2， D=1， = =2 ， = = ， ， H = ， = = ， ， = = ， ， N = ， 故选 B 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出 长是解题的关键 8（ 2016丹东）如图，在 ， 高， 5，点 F 是 中点， 别交于点 G、 H， 下列结论： E； D= S S 中正确的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【分析】 由直角三角形斜边上的中线性质得出 明 等腰直角三角形，得出 E，证出 长 E， 正确； 证出 C，得出 C，由 等腰三角形的性质得出 明 出 C=2正确； 证明 出 = ，即 D=E，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出 D= 正确； 由 F 是 中点， D，得出 S S S 正确；即 可得出结论 【解答】 解： 在 ， 高， 0， 点 F 是 中点， 5， 等腰直角三角形， E， 点 F 是 中点， E， 正确； C=90， 0， C， C， 在 ， ， C=2正确； = ，即 D=E， BBD=E=E， D= 正确； F 是 中点， D， S S S 正确； 故选： D 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键 9（ 2016台湾）如图的 有一正方形 中 D 在 ， E、 F 在 ，直线 别交 M、 N 两点若 B=90， ， ， ，则 长度为何？（ ） A B C D 【分析】 由 得 求出 长，由 得 ，将 长代入可求得 【解答】 解： 四边形 正方形， F=， ， ， 由 可得， ，解得： ， 将 代入 ，得： ， 解得： ， 故选： D 【点评】 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出 长是解题的关键 10（ 2016深圳）如图， A， 0，点 D 在边 （与 B、 C 不重合），四边形 正方形，过点 F 作 延长线于点 G，连接 点Q，给出以下结论： G； S S 四边形 ： 2； Q 其中正确的结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 由正方形的性质得出 0， F=出 明 出 G， 正确； 证明四边形 矩形，得出 S G= S 四边形 正确； 由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出 5， 正确； 证出 出对应边成比例，得出 DQ正确 【解答】 解： 四边形 正方形， 0， F= 0， C=90= 在 ， ， G， 正确； C， C， 0， 四边形 矩形， 0， S G= S 四边形 正确； B， C= 0， 5， 正确； E= C=90， E： E=Q正确； 故选： D 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键 11（ 2016日照）如图， P 为平行四边形 一点， E、 F 分别是 近点 P）的三等分点， 面积分别为 ， ， A=60，则 2+值为（ ） A B C D 4 【分析】 先作辅助线 点 D，然后根据特殊角的三角函数值可以求得 长度，从而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得 2+值 【解答】 解：作 点 H，如右图所示， ， ， A=60， D2 = ， SB =6， 3=S ， 又 E、 F 分别是 靠近点 P） 的三等分点 ， ， S 3= ， 即 ， 2+3= ， 故选 A 【点评】 本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题 12（ 2016江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等网格中三个多边形（分别标记为 ， ， ）的顶点均在格点上被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为 m，水平部分线段长度之和记为 n，则这三个多边形中满足 m=n 的是（ ） A只有 B只有 C D 【分析】 利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可 【解答】 解：假设每个小正方形的边长为 1， ： m=1+2+1=4， n=2+4=6， 则 m n； 在 ， = ， ， 在 ， = ， = ， 得 ， ， m=2+ =n= +1+ + = m=n； 由 得： ， ， m=2+2+ +1+ =6， n=4+2=6， m=n， 则这三个多边形中满足 m=n 的是 和 ； 故选 C 【点评】 本题考查了相似多边形的判定和性质，对于有中点的三角形可以利用三角形中位线定理得出；本题线段比较多要依次相加，做到不重不漏 二填空题 13（ 2016宁德）如图，已 知 7，则 B= 37 【分析】 根据相似三角形的对应角相等，可得答案 【解答】 解：由 7，得 B= 7， 故答案为： 37 【点评】 本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键 14（ 2016梅州）如图，在平行四边形 ，点 E 是边 中点， 对角线 ，若 S ，则 S 4 【分析】 根据平行四边形的性质得到 已知条件求出 据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形， C， ， =（ ） 2， E 是边 中点， = ， 面积 = S ， = ， S ； 故答案为： 4 【点评】 本题考查的是平行四边形的性质、相似三 角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方 15（ 2016遵义）如图， C， D 是 一点，连接 平分线交于点 E，连接 S ， S ，则 2 【分析】 设 x，根据面积公式计算，得出 E 作 垂线，垂足分别为 F， G；证明 正方形，然后在直角三角形 ，利用三角形相似，求出正方形的边长（用 x 表示），再利用已知的面积建立等式，解出 x，最后求出 C=4x 即可 【解答】 解：过 E 作 垂线，垂足分别为 F， G， 设 x，则 x， 平分线， G，又 S ， S ， AC=x， x， 四边形 正方形， C， = ，即 = ， 解得， x， 则 4x x= ， 解得， x= ， 则 x=2， 故答案为： 2 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 16（ 2016山西）如图，已知点 C 为线段 中点， B=4，连接 E 平分线，与 交于点 F， 点 G，交 点 H，则 长为 3 【分析】 根据 D=4、 C 为线段 中点可得 C=2、 ，再根据 D 边形 矩形， E=2，继而由 E，设 GH=x 得 +x，由 = ，列式即可求得 x 【解答】 解： D=4， C 为线段 中点， C=2， ， 边形 矩形， E=2， 又 平分线， E， 设 GH=x， 则 E=E=2+x， = ，即 = ， 解得： x=3 ， 即 ， 故答案为 ： 3 【点评】 本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键 17（ 2016舟山）如图，已知 面积相等，点 E 在 上， 点 F， 2， ，则 长是 7 【分析】 根据题意，易得 四边形 面 积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求 长 【解答】 解： 面积相等， 四边形 面积相等， ， 2， ： 12=3： 4， 面积比 =9： 16， 设 面积为 9k，则四边形 面积 =7k， 四边形 面积相等， S k， 同高不同底的三角形， 面积比等于底之比， k： 9k， 故答案为： 7 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积 18（ 2016乐山）如图，在 ， D、 E 分别是边 的点，且 周长之比为 2： 3， ，则 2 【分析】 由 证 相似三角形的性质即可求出 长，进而可求出 长 【解答】 解： 周长之比 为 2： 3， ： 3， ， ， B ， 故答案为： 2 【点评】 此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方 19（ 2016黄冈）如图，已知 4 个全等的等腰三角形，底边 同一直线上，且 ， ，连接 点 Q，则 【分析】 由题意得出 ， ，则 = ，再由 据相似三角形的性质得 = ，求出 据全等三角形性质得到 是得到 到比例式 = = ，即可得到结果 【解答】 解： 三个全等的等腰三角形， B=2， C=1， ， = = ， = ， = ， = ， C， I=4； = = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解 解题的关键 20（ 2016安顺）如图，矩形 接于 边 在 ，若 C=3， ， 么 长为 【分析】 设 x，表示出 示出三角形 边 的高，根据三角形 三角形 似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出 x 的值，即为 长 【解答】 解：如图所示： 四边形 矩形， ， 设 x，则有 x， D 2x， ， 解得： x= ， 则 故答案为： 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质， 以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 21（ 2016安徽）如图，在矩形纸片 ， ， 0，点 E 在 ，将 E 折叠，点 C 恰落在边 的点 F 处；点 G 在 ，将 叠，点 F 上的点 H 处，有下列结论： 5； S S F= 其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上） 【分析】 由折叠性质得 1= 2， E， C=10，则在 利用勾股定理可计算出 ，所以 D ，设 EF=x，则 CE=x， D x，在 6 x） 2+22=得 x= ，即 ；再利用折叠性质得 3= 4，A=6， G，易得 2+ 3=45，于是可对 进行判断；设 AG=y，则 GH=y， y，在 利用勾股定理得到 2=（ 8 y） 2，解得 y=3，则 H=3， ，由于 A= D 和 ，可判断 相似，则可对 进行判断；根据三角形面积公式可对 进行判断；利用 ， ， 可对 进行判断 【解答】 解： 叠，点 C 恰落在边 的点 F 处， 1= 2， E， C=10， 在 ， ， 0， =8， D 0 8=2， 设 EF=x，则 CE=x， D x， 在 ， （ 6 x） 2+22=得 x= ， ， 叠，点 A 恰落在线段 的点 H 处， 3= 4， A=6， G， 2+ 3= 5，所以 正确； F 0 6=4， 设 AG=y，则 GH=y， y， 在 ， 2=（ 8 y） 2，解得 y=3， H=3， ， A= D， = = ， = ， ， 相似，所以 错误； S 63=9， S F= 3 4=6， S S 以 正确； F=3+2=5，而 ， F=以 正确 故答案为 【点评】 本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长 三解答题 22（ 2016广州）如图，在平面直角坐标系 ，直线 y= x+3 与 x 轴交于点 C，与直线 于点 A（ ， ），点 D 的坐标为（ 0， 1） （ 1）求直线 解析式； （ 2）直线 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 一动点（不与点 B 重合），当 似时，求点 E 的坐标 【分析】 （ 1）设直线 解析式为 y=kx+b，用待定系数法将 A（ ， ）， D（ 0， 1）的坐标代入即可； （ 2）由直 线 x 轴的交点为（ 2， 0），得到 ，由点 D 的坐标为（ 0， 1），得到 ，求得 ，根据相似三角形的性质得到 或 ，代入数据即可得到结论 【解答】 解：（ 1）设直线 解析式为 y=kx+b， 将 A（ ， ）， D（ 0， 1）代入得： ， 解得： 故直线 解析式为： y= x+1； （ 2） 直线 x 轴的交点为（ 2， 0）， ， 点 D 的坐标为（ 0， 1）， ， y= x+3 与 x 轴交于点 C（ 3， 0）， ， 似， 或 ， = = 或 ， ， ，或 ， F=E， ， =1， E（ 2， 2），或（ 3， ） 【点评】 本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键 23（ 2016宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线 （ 1）如图 1，在 ， 角平分线， A=40， B=60，求证： 完美分割线 （ 2）在 ， A=48， 完美分割线，且 等腰三角形，求 度数 （ 3）如图 2， ， ， ， 完美分割线，且 以底边的等腰三角形，求完美分割线 长 【分析】 （ 1）根据完美分割线的定义只要证明 是等腰三角形， 等腰三角形， 可 （ 2）分三种情形讨论即可 如图 2，当 D 时， 如图 3 中，当 C 时， 如图4 中，当 D 时，分别求出 可 （ 3）设 BD=x，利用 = ，列出方程即可解决问题 【解答】 解：（ 1）如图 1 中， A=40， B=60， 0， 是等腰三角形， 分 0， A=40， 等腰三角形， A=40， 完美分割线 （ 2） 当 D 时，如图 2， A=48， A=48， 6 当 C 时，如图 3 中， =66， A=48， 14 当 D 时，如图 4 中， A=48， A=48， 盾，舍弃 6或 114 （ 3）由已