2017中考数学《计数方法》专题复习考点讲解(含答案)

1 计数方法 考 点图解 技法透析 1计数 计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来在计数时应遵循的原则是：既不重复也不遗漏 2计数问题中常运用的方法 (1)穷举计数法：当研究对象比较简单数目也不大时，穷举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，最后再求出总数 (2)分类计数法：将研究对象按一定标准分类，然后逐步计数，得出总数，这种方法要用到加法原理 (3)分步计数法：当研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，我们需要将其分成若干步，然 后将每一步的方法数相乘，便可得出总数，这种方法要用到乘法原理 (4)递推过渡法：当研究的对象数目较多又比较复杂时，我们常通过对较少数量对象的观察，采用从简单到复杂，从特殊到一般，探究其变化的规律，最后计算出总数 (5)加法原理和乘法原理：当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理： 加法原理：完成一件事情，共有 n 类办法，第一类办法中又有 不同的方法，第二类办法中有 三类办法中又有 ，第 n 类办法中有 不同的方法，那么 完成这件事情共有： 乘法原理：完成一件事情，共分 n 个步骤，第一步中又有 二步中又有 三步中又有 第 n 步中有 2 那么完成这件事情共有： 3几何计数问题 (1)简单图形个数的计算：这类问题中出现的图形的组成一般比较简单，没有过多的限制条件，但图形数量和计算量都很大，此类计数问题通常需要根据具体问题寻求一定的规律和运用一定的计数方法来解决 (2)条件图形个数 的计算：这类问题的图形数目较多且较复杂，所求的是满足某种限制条件的几何图形的个数，解决此类问题的关键是对限制条件的分析，这些条件的要求往往决定了所求图形的不同情况和种类，此为分类计数的重要依据 (3)分割或包围图形个数的计算：它们是指用一类几何图形（如直线）去分割另一类几何图形（如平面或其他封闭图形），或者一类封闭图形包含另一类封闭图形，解决此类问题，除了掌握必要的分割与包含的几何知识之外，还需要借助有关统计的方法和技巧 名题精讲 考 点 1 分类枚举法计数 例 1 在 1 到 300 这 300 个自然数中 ，不含有数字 3 的自然数有 _个 【切题技巧】 利用分类枚举法，按数的位数分类；即不含有数字 3 的一位数有几个；不含数字 3 的两位数有几个；不含数字 3 的三位数有几个，最后求出总数 【规范解答】 不含有数字 3 的一位数有 8 个；不含有数字 3 的两位数有 72 个；不含有数字 3 的三位数有 162 个不含有数字 3 的自然数共有 8 72 162 242 个 【借题发挥】 分类枚举法就是将所研究对象按某一标准分类，然后把研究对象的各种可能一一列举出来，最后数出总数的方法，这种方法要用到加法原理 在运用枚举法时，必须无一重复，无一遗漏，且枚举法常与分类讨论结合运用，故称为分类枚举法 【同类拓展】 1在 1000 以内的自然数中，各位数字之和等于 16 的有多少个？ 考 点 2 分步法计数 例 2 某城市街道如图，一个居民要从 A 处前往 B 处， 如果规定，只能沿从左向右或从上向下的方向走，那么该居 民共有几条可选择的路线？ 【切题技巧】 本例看起来复杂，但可以从简单情况入手 寻找规律，按从上向下，从左向右的顺序，从简单情况分步来 看复杂问题如先考虑简单情况如图 (1)中的正方形，可知以 A 到 C 的 方法有 2 种，再考虑如图 (2)中的情况，可以从 A 到 D 的方法共有 3 种 【规范解答】 从简单情况入手，先考虑如图 (1)中的小正方形，不难发现，从 A 到 种方法；再考虑如图 (2)中的情况，同样可知：从 A 到 D 共有 3 种方法从而可总结出下述规律：到右下角终点的走法等于它所在小正方形右上角和左下角走法之和，故依次标出每个小正方形的走法不断累加，即可得到答案 3 由图 (3)可知共有 40 种走法 【借题发挥】 (1)分步计数法就是指当所研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，将问题分成若干步， 最后求出各步的总数 (2)在利用分步法计数时，要克服盲目性和随意性，一定要按照法则或顺序进行、从简单情况人手分步来思考复杂问题是解决问题的常用技巧 (3)分步法常与分类法结合求解 【同类拓展】 2在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名，在期末考试中，他们又是班上的前四名，如果他们当中只有一位的排名与期中考试的排名相同，那么排名情况有 _种可能；如果他们排名都与期中考试中的排名不同，那么排名情况有 _种可能 考 点 3 递推过渡法计数 例 3 小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级或两级，若她要从地面（ 0 级）步行到第 9 级，问她共有多少种不同的上楼梯的方式 【切题技巧】 因为楼梯台阶较多，我们可以先考虑以简单入手 (1)若只有 1 级台阶，则只有唯一上楼梯方式； (2)若有 2 级台阶，则有两种上楼梯的方式：一级一级地上；一步两级地上； (3)若有 3 级台阶，则有三种上楼梯的方式：一级一级地上，先一级后2 级地上，先 2 级后 1 级地上如此类推 【规范解答】 设小美上第 n 级楼梯有 过分析易知 1， 2， 5，2 1 n 1， 2， 3，从而递推可得： 8， 13， 21， 34， 55所以小美共有 55 种不同的上楼梯的方式 【借题发挥】 (1)当研究对象比较复杂时，要很自然地想到从特殊到一般的思维方式即从特殊的简单的情况人手探索变化的规律， (2)用递推过渡法计数时先要从最简单情况和特殊情况入手分析，发挥观察、归纳猜想的思想方法，最终探索出变化规律，且在探索一般的规律时，应注意抓住问题的实质为最后计数提供依据 【同类拓展】 3平面上 n 个圆（ n 为正 整数），最多能把平面分成多少个部分？ 考 点 4 加法原理和乘法原理法计数 例 4 观察如图所示的图形： 根据图 (1)、 (2)、 (3)的规律，则图 (4)中三角形的个数为 _ 4 【切题技巧】 通过观察知：图 (1)中三角形的个数为： 1 4 5（个）；图 (2)中三角形的个数为： 1 4 3 4 17（个）；图 (3)中三角形的个数为 1 4 3 4 32 4 53（个），由图 (1)(2)(3)中三角形的个数的规律，可知图 (4)中三角形的个数为 1 4 3 4 32 433 4 1 4 12 36 108 161（个） 【规范解答】 161 个 【借题发挥】 (1)按本例中图 (1)、 (2)、 (3)的图形规律，则图（ n）中三角形的个数为： 1 4 3 4 32 4 33 4 3n 1 4（个） (2)当研究对象为比较复杂的计数问题中，我们常需要用到加法原理与乘法原理，而且还需要对研究对象进行分析，从简单情形入手，通过观察、归纳、猜想，最后找出其变化规律，再依据规律计算其个数 【同类拓展】 4一个三角形最多将平面分成两部分，两个三角形最多将平面分成 8个 部分， 10 个三角形最多将平面分成多少个部分？ n 个三角形呢？ 例 5 分正方形 每条边为四等分，取分点（不包括正方形的四个顶点）为顶点可以画出多少个三角形？ 【切题技巧】 显然构成三角形的 3 个顶点不可能共线，即 3 个顶点不可能在正方形的同一边上，故最多有 2 个顶点在正方形的同一边上；又因为三角形顶点只能取分点，故必须在正方形的边上因此只有两种情况： (1)三角形的顶点分别在正方形的三边长； (2)三角形的顶点分别在正方形的两条边上 【规范解答】 分两类计算： (1)第一类：如图 (1)三角形的顶点分别在正方形的在三条边上首先，从 4 条边中取 3条有 4 种取法；其次从每条边上取一点，各有 3 种取法，故总共计有 4 3 3 3 108（个）三角形 (2)第二类如图 (2)，三角形的两个顶点位于正方形的一条边上，而第三个顶点在正方形的另一条边上首先，从 4 条边取 1 条有 4 种取法，在这边 3 个分点中取 2 点，也有 3 种取法；其次，从其余 3 边中的 9 点中取 1 点，有 9 种取法，故共有 4 3 9 108（个）三角形 综上所述，两类合计，共有 216 个三角形 【借题发挥】 (1)在使用加法原理 和乘法原理时一定要明确两者的不同之处：在用加法原理时，完成一件事有 n 类方法，都能完成这件事，而用乘法原理时，完成一件事情可分为 n 步，只有每一步都完成了，这件事情才得以完成 (2)运用加法原理的关键在于合理适当地进行分类，使所分类既不重复又不遗漏