大学数学竞赛-华南理工大学2010年数学竞赛试卷

华南理工大学2010数学竞赛试卷注意事项1考前请将密封线内填写清楚；2所有答案请直接答在试卷上；3考试形式闭卷；4本试卷共8大题，满分100分，考试时间120分钟。一、计算下列各题（每小题6分，本大题共36分）求极限1LIMNNE解原式1LN20011LNLN1LIIIMLI2NXXEEEEE求极限10LIMNXDE解由于,01NX故,从而由夹逼准则100LILILIM0NXNEDX10LIMNXED求极限,其中为不超过的最大整数0LIMXTTT解由于100011221XXXTDTTDTDTX故由夹逼准则0LIM2XTT在原点附近,试用一个二次多项式近似代替函数201SIN3XTFD解由于222COSSI1SIN1103,0,02XXXFFFFF从而可用泰勒多项式近似为2201314FFFXFXX_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线计算42COS1XDE解由0AAFFFXD可得44220COS31COS126XDE计算,其中为球面与平面的交线CZY2XYZR0XYZ解,由曲线的轮换对称性可得22CDSYDS222231110333CCCCZYZXZXDSDSR二、（本题8分）设在点附近有定义，且在点可导,F,求。10,2FF20SINCOLMTAXX解原式222200SINCOS1SINCO1SINCO1LLMSTATAXXXFXFXF三、（本题10分）证明满足关系式2,2NNNDPXX21210NNNXP证设,则,02ZX122,1NNZXXZZ两边再求阶导数,得1212212NNNNNXZZXZXZZ从而20NNN因为1,NNNZPXZXZPX故212X四、（本题10分）设函数在上连续，在内可微,且FX0,101。证明1存在使得2存在10,2FFF,2F使得,FF证1设,则在上连续，FXXF0,1且,从而有零点定理,存在使得110,21,2F2设,则在上连续，在内可微,XGXFEG0,10且1XF由罗尔定理,存在使得,即0,1FF五、（本题10分）已知满足22,LNUFTXYZ,求3222UXYZXYZFT解22222,XXXYZXFTUFTFTZYZ从而322222UFYZYZ,从而代入,1TFTFTXE2120,TRRYAE解之得12,TTAC六、（本题10分）设在区域上有连续偏导数,且满足关系式,FXYD,证明（1）等式成立，其中220FXY22CFFFDSDXYNXA曲线为区域的边界，为的外法线方向；（2）若在上恒等于零，CDN,FC则在区域内也恒等于零,FXY证（1）设单位切向量为，则外法线单位法向量为COS,T，COS,INN从而COSXYFF等式左边COSXYYXCCCFDFFDFFDNAA由格林公式，等式左边22XYXYDDFFFFX再由已知可得，左边右边（2）由已知220DCFFFDXYDSXNA从而为常数，再由于边界上，220,FFFFXYY,0FXY因此,F七、（本题8分）计算。其中是222XDZYDZXDXY的上侧2210XYZABC解取下侧21,XYZAB则原式21212XYABXYZDVDXY222001COSCXYABZZDVDZRABRDC314C七、（本题8分）假定一个半径为的雪球，其融化时体积的变化率正比于雪球R的表面积，比例常数为。已知两小时内融化其体积的四分之一，问剩余部0K分需要多少小时才能全部融化。解由已知，234,DVDRKRKTCTT令时，则0T0R0T由已知时，得，2T