不等式选讲

不等式选讲柯西不等式目的要求理解二维形式、向量形式柯西不等式及其几何背景，会用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值。重点难点重点用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值；难点向量形式柯西不等式及其几何背景。教学过程一、引入除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式定理1（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则DCBA,，其中等号当且仅当时成立。222DCBABCAD证明，22CC其中等号当且仅当时成立。BA（1）推广形式设均为实数，则；D,22ABDACB；其中等号当且仅当时成立。22ABC（2）几何意义设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，,DC,BDAC而，2|BA2|DC所以柯西不等式的几何意义就是，|其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成|立。3、定理3（三角形不等式）设为任意实数，则321,YXYX2312312322121YXYX22222211121122222111XXYYXYXY证明思考三角形不等式中等号成立的条件是什么三维形式的三角不等式22222211111XYZXYZXYZ二、典型例题例1、已知，求证。2BA2|BA例2、已知均为正数，且，求证。C,1CBA91C方法1；1AB3ABCAB32CA方法2（应用柯西不等式）原不等式成立。2119ABC例3、求函数的最大值。50YXX解函数定义域为，且1,Y。2YXX22251563XX当且仅当，即时，函数取最大值。7变式引申231,49,XYXY若求的最小值并求最小值点解22131,49XYXY由柯西不等式22413,2136149,46XYXYXY当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为例4若，求证ABCCABA1分析初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了CBACCA0C结论改为41证明21114CBCABCABC例5，求证RC,23C分析左端变形11BABA，只需证此式即可。C2923111912932ACCBCCBABABCABABCC证明注柯西不等式、，则RA推论其中、2141BARB其中、9CBAC练习与与作业1、已知，,证明。1222NM2BNAM提示本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、设，求证。RDCBA,2222DCDCBA3、236,_XYYPXY设实数满足则的最大值是4、21,AB若则的最小值是5、,YXYBRXX已知且求的最小值6、2231,49,若求的最小值并求最小值点7、设为平面上的向量，则。,|8、若，且，求证RZYXZYXA22ZYX1A0ZYX,都是不大于的非负实数。A32证明由代入YXZ22ZYX可得012A0即RX021842AYY化简可得023AY0A3同理可得，X0Z32由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。9、设AB为不相等的正數，试证ABA3B3A2B22。10、设X，Y，Z为