《线性代数》-代数难题之二

代数难题29题目设N阶可逆矩阵A满足AA，求A的特征值。2知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解因为AA2所以AA02所以DETAADETAAEDETADETAE0A为可逆矩阵，所以DETA0所以DETAE0所以A的特征值为1常见错误设存在，使AXX成立则DETAXDETADETXDETXDETX错误在于向量取行列式N所以有成立DETA又因为AA2DETADETA,即DETA0或DETA12由于A为可逆矩阵，DETA0所以DETA11N当N为奇数时，1当N为偶数时，1相关例题设A为N阶矩阵,若AE，试证A的特征值是1或1210题目设A是奇数阶正交矩阵，且DETA1，证明DETEA0知识点正交矩阵的定义AAET单位矩阵的性质EAAEAEET矩阵运算规律转置矩阵的性质ABABTTDETADETATDETABDETADETBDETA1DETAN解题过程A是正交矩阵EAAAAAAEAAEATTTDETA1DETEADETAEADETAEDETADETAETTTDETEADETEADETEADETAEDETEADETAE1DETAETTTNTN为奇数11NDETAE0TDETEA0常见错误误以为DETEADETEDETA，于是DETEA1DETA110DETA11其中,为A作初等变换变为上三角形1A2N1A2N后对角线上的元素DETEA（1）（1）（1）12NADETEADETAEADETAEDETADETAETTT且DETAE（1）（1）（1）T1A2N（1）（1）（1）（1）（1）（1）1A2N1A2NA1（1）（1）（1）NN为奇数11N（1）（1）（1）0A2NADETEA0以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。相关例题证明若A为正交矩阵，则DETA111题目试就A,B的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。（1）3232113XBAX知识点线性方程组解的结构解题过程解B32BA3021132BA30110BA011当AB0,且A0时，RANKB3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为1,23AXX2当AB0，且A0时，RANKB2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。其解可由，解得，代入第一个方程132BX,132XAB得到；1321X31A一般解为任意）13321XXAB（3）当A0，B为任意数，此时增广矩阵可化为0BA01110B1可见，RANKB2,但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解，12R23R常见错误在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。如，当AB时，就说原方程有唯一解，没有指出A0，当AB时，就说原方程组有无穷多解，没有指出AB0，等等。相关例题确定A,B的值，使下列方程组3232121XBAX（1）有唯一解；（2）无解；有无穷多解，并求出通解。12题目若线性无关，其中全不为0123,4123KK123,K证明线性无关4知识点向量线性相关解题过程证法一（从定义出发）设存在常数，使得123,K12340KK已知，代入上式，得4123123KKK化为330由题意知线性无关123,31230K12,0K全不为3K解得由定义，知线性无关24,证毕证法二（由初等列变换，秩相等）412323423123,KKKK由32231,CK31/231,CK由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由线性无关，知23,231,的秩为3，所以秩也为3，推出线性无关234,234,证法三（反证法）假设线性相关234,则存在不全为0的常数，使得123,K12340KK已知，代入上式，得4123K23123KK化为1330K123,0K全不为23,0K不全为（否则，由得）123K1230K即线性相关,与题目已知条件矛盾23,所以假设不成立,即线性无关234,13题目设是的解且线性无关，试证121,NRAXBRAR的任一解可表示为AXB，121NRKK其中121NRK知识点基础解系方程组解的结构解题过程证明121,NRAXB是的解1,0NRRNRNRAX是的解由1121121,NRNRRCNRR112111,NRRRNRNR因为线性无关，所以12,NR线性无关，1211,RRNRRNR也线性无关，且NRNRRR1211,RNRNRRRN所以是的基础解系12,NRNRNRR0AX因为的任一解可以表示为0AX11211NRNRNRRNRKKK的任一解可以表示为BX其中是的一个特解A扩展式，取，得1NR112111NRNRNRRNRNRXKKK化简得12121NRNRRKKKK令，NRR1,RR则的解可以表示为AXB121NRRXKK且1221NRRNRKK命题得证另外取时1INR1211RNRNRRNRIXKKK化简得1211IIINRKKKKNRR此时令1211,IIIIINRRKKKKK12NRNR则的解可以表示为AXB121NRRKK且12NRK11121IIINRNRKKKK此时命题也成立常见错误不会应用定理不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解14题目设是矩阵A的两个不同的特征值，分别属于的21、21X、21、特征向量，证明不是矩阵A的特征向量21X知识点特征值特征向量解题过程用反证法设是A的对应的特征向量，则有21X12121X已知，X所以221212