线性代数-02-03学年第二学期线性代数（a）重修课考试试卷答案

北方交通大学20022003学年第二学期线性代数（A）重修课考试试卷答案一填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中14阶行列式_10应填32已知向量组，41，5432，6543，7654，则该向量组的秩是_应填23已知线性方程组031213XA无解，则_A应填14设是阶矩阵，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵若有特征值，则AN0AENA必有特征值是_E2应填125已知三维线性空间的一组基底为，01，102，103，则向量在上述基底下的坐标是_02，U应填1，二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，则必有ANAK0K1【】K；B1NKCNKD1AK应选2设是4阶矩阵，且的行列式，则中【】A0A必有一列元素全为0；必有两列元素成比例；B必有一列向量是其余列向量的线性组合；C任意列向量是其余列向量的线性组合D应选3已知，963421TQ为3阶非零矩阵，且满足，则【】POP时，的秩必为1；时，的秩必为2；A6TBTP时，的秩必为2；时，的秩必为1CD6应选D4阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【】NNA充分必要条件；充分而非必要条件；AB必要而非充分条件；既非充分也非必要条件CD应选B5设，1A04B则与【】AB合同且相似；合同但不相似；B不合同但相似；不合同且不相似CD应选A三（本题满分10分）已知，10A且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵IAB2B解由，得，而且2IA0101因此矩阵可逆，且，1021A所以，由，得，因此，IBA10210101四（本题满分10分）问为何值时，线性方程组3246321X有解，并求出解的一般形式解将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵A（第1行乘以、后分别加到第2、3行）34210324160A46（第2行乘以后加到第3行）0所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为当时，其增广矩阵的秩为，因此AR1A3R此时原线性方程组无解当时，故线性方程组有解此时，上面的阶梯矩阵为12R0121因此，原线性方程组的通解为1231X其中是任意实数3X写成基础解系的形式，有，012321KX其中是任意实数K五（本题满分10分）设4阶矩阵，1025A求的逆矩阵A1解记矩阵，1251122A则矩阵21AO这是一个分块对角矩阵，因此，121而，5211A，31212所以，3102501A六（本题满分15分）已知，其中PBA，10120P求及5解先求出14021P因为，两端右乘，得PBA116021402021同样，A511111PBPBP15B11602七（本题满分15分）设3阶实对称矩阵的特征值是；矩阵的属于特征值的特征向量分别是A321，A21，112求矩阵的属于特征值的特征向量；3求矩阵A解设矩阵属于特征值的特征向量为由于实对称矩阵的属于不同3TX3213，A特征值的特征向量相互正交，因而有，031T032T由此得齐次线性方程组，0231X解此线性方程组，得基础解系因此矩阵属于特征值的特征向量为T0，A3TK3，其中为非零常数K令矩阵102321P，则有，或者31A132PA由于210631P所以，13250631PA八（本题满分10分）问取何值时，二次型32312232144XXXF为正定二次型解的矩阵为F421A因此，二次型为正定二次型矩阵为正定矩阵F矩阵的各阶顺序主子式全大于零A而矩阵的各阶顺序主