通信原理-第2章确知信号2

25傅里叶变换（FOURIERTRANSFORM）251周期信号的傅里叶级数252傅里叶变换253傅里叶变换的基本性质254卷积特性255周期信号的傅里叶变换FOURIERTRANSFORM傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用信号处理中，傅里叶变换的典型应用将信号分解成幅值分量和频率分量251周期信号的傅里叶级数（1）三角函数形式的傅里叶级数（2）指数形式的傅里叶级数（3）周期信号的平均功率（4）频带宽度（带宽）傅里叶级数（FOURIERSERIES）如果一个给定的非正弦周期函数FT满足狄利克雷（DIRICHLET）条件，它能展开为一个收敛的级数任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）（1）三角函数形式的傅里叶级数若FT的周期为T1，角频率12/T1，频率F11/T1，傅里叶级数展开表达式为FTA0A1COS1TB1SIN1TA2COS21TB2SIN21TANCOSN1TBNSINN1TA0ANCOSN1TBNSINN1TN0各次谐波成分的幅度值计算公式为直流分量为A01/T1T0T0T1FTDT余弦分量的幅度为AN2/T1T0T0T1FTCOSN1TDT正弦分量的幅度为BN2/T1T0T0T1FTSINN1TDT其中N1，2，3，傅里叶级数的另一种形式FTC0CNCOSN1T其中A0C0CNAN2BN2ANCNCOSNBNCNSINNTGNBN/ANN1,2,N0或FTD0DNSINN1T其中A0D0DNAN2BN2ANDNCOSNBNDNSINNTANNBN/ANN1,2,N0频谱图幅度谱（幅频特性）相位谱（相频特性）例251周期矩形脉冲信号的傅里叶级数（三角形式）设周期矩形脉冲信号FT的脉冲宽度为,脉冲幅度为E,重复周期为T1,此信号在一个周期内T1/2TT1/2的表示式为FTEUT/2UT/2，其中UT单位阶跃信号FTE0T/2/2T1T1FTA0ANCOSN1TBNSINN1T其中A01/T1T1/2T1/2FTDT1/T1/2/2EDTE/T1AN2/T1T1/2T1/2FTCOSN1TDT2/T1/2/2ECOSN1TDT2E/NSINN/T12E/T1SAN/T1BN0N0周期矩形脉冲信号的傅里叶级数（三角形式）（2）指数形式的傅里叶级数FTFN1EJN1T其中系数FN1（简写作FN）为FN1/T1T0T0T1FTEJN1TDTN为从到的整数。指数表示法是用正交函数集的表示方法（更常用）N公式推导过程FTA0ANCOSN1TBNSINN1T根据欧拉公式COSN1T1/2EJN1TEJN1TSINN1T1/2JEJN1TEJN1T得到令FN11/2ANJBNN1,2,FN11/2ANJBN令F0A0,而N0例252周期矩形脉冲信号的傅里叶级数（指数形式）设周期矩形脉冲信号FT的脉冲宽度为,脉冲幅度为E,重复周期为T1,此信号在一个周期内T1/2TT1/2的表示式为FTEUT/2UT/2FTE0T/2/2T1T1（3）周期性功率信号PARSEVAL（帕塞瓦尔）定理方均值，均方值此式表明周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和，即时域和频域的能量守恒（FT为周期性功率信号）。能量信号PARSEVAL（帕塞瓦尔）定理此式表明时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和，即时域和频域的能量守恒（FT为能量信号）。E|F|2J/HZ，为能量谱密度。（4）频带宽度（带宽）频谱图上第一个零点频率，记作B。信号功率主要部分（90）集中的频率范围（HZ）例对周期矩形脉冲信号，B2/即BF1/B基带信号信号功率集中在零频率附近频带信号信号功率集中在某一载频附近252傅里叶变换傅里叶正变换（频谱密度函数，简称频谱函数）FFTFTEJTDTF|F|EJ傅里叶逆变换FT1F1/2FEJTD傅里叶变换周期函数的傅里叶级数是存在的，非周期函数未必存在傅里叶级数非周期函数的傅里叶变换是存在的，更具有普遍意义重要特性傅里叶变换可以化复杂的卷积运算（时域）为简单的乘积运算（频域），从而提供了计算卷积的一种简单方法；傅里叶变换属于谐波分析；离散形式的傅里叶变换可以利用计算机快速算出（快速傅里叶变换FFT算法）等。RTETHTREH推导过程FN11/T1T1/2T1/2FTEJN1TDTFN1T12FN1/1T1/2T1/2FTEJN1TDTFLIM2FN1/1LIMFN1/T1LIMT1/2T1/2FTEJN1TDTFTEJTDT10T1T1FTFN1EJN1TFN1/1EJN1TN1在极限情况下，N1，N1D1,FN1/1F/2FT1/2FEJTDN1N1N结论非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量；同时，由于周期趋于无限大，因此对任一能量有限的信号，在各频率点的分量幅度趋于无限小。所以频谱不能再用幅度表示，而改用频谱密度函数F来表示，频谱密度函数反映了各分量振幅间的相对比例关系。例253矩形脉冲信号的频谱FTEUT/2UT/2解FFTEJTDT/2/2EEJTDT2E/SIN/2ESA/2FTE0T/2/2例254钟形高斯脉冲信号的频谱FTEET/2T解FFTEJTDTEET/2EJTDTEET/2COSTJSINTDT2E0ET/2COSTDTEE/22FTE0TE/EFTE0TE/EFE02/E/E例255升余弦脉冲信号的频谱FTE/21COST/0T解FFTEJTDTE/21COST/EJTDTE/2EJTDTE/4EJT/EJTDTE/4EJT/EJTDTESAE/2SA/E/2SA/ESIN/1/2ESA/1/2FTE0T/2/2FTE0T/2/2例256冲激信号的频谱FTEJTDT1FT10TF10253傅里叶变换的基本性质（1）对称性（2）线性（叠加性）（3）奇偶虚实性（4）尺度变换特性（5）时移特性（6）频移特性（7）微分特性（8）积分特性（1）对称性若FFT，则FT2F当FT是偶函数时，则FT2F证明FT1/2FEJTDFT1/2FEJTD将变量T与互换,可以得到2FFTEJTDT所以FT2F若FT是偶函数，则FT2F例257对称性实例一例258对称性实例二FTT1020FFT10TF10（2）线性（叠加性）若FITFI（I1,2,N），则AIFITAIFI其中AI为常数，为N正整数。NNI1I1（3）奇偶虚实性若FTF，无论FT为实函数或复函数，都具有以下性质FTFFTFFTF（4）尺度变换特性若FTF，则其中，为非零的实常数。例259尺度变换特性的实例（5）时移特性若FTF，则FTT0EJT0FFTT0EJT0F（6）频移特性若FTF，则FTEJ0TF0FTEJ0TF0根据欧拉公式COSN1T1/2EJN1TEJN1TSINN1T1/2JEJN1TEJN1T有FTCOS0T1/2F0F0FTSIN0TJ/2F0F0例2510矩形调幅信号的频谱FTGTCOS0TGGTE0T/2/2例2511余弦和正弦信号的频谱0F110JF11（7）微分特性若FTF，则时域微分特性为DFT/DTJFDFNT/DTNJNF频域微分特性为1DF/DJTFT1DFN/DNJTNFT（8）积分特性若FTF，则时域积分特性为TFDF/JF0频域积分特性为1FDFT/JTF0T例2512三角脉冲信号的频谱2254卷积定理若F1TF1F2TF2时域卷积定理F1TF2TF1F2频域卷积定理F1TF2T1/2F1F2例2513利用卷积定理求三角脉冲的频谱FTG1TG2TFG1G2GT例2514利用卷积定理求有限长余弦信号的频谱。卷积性质交换律分配律结合律时延特性与冲激函数卷积时延特性与冲激函数卷积255周期信号的傅里叶变换令周期信号FT的周期为T1，角频率12/T1FTF（N1）EJN1TFTF（N1）EJN1TF（N1）EJN1TEJN1T2N1则FT2FNN1NNNN例2515周期单位冲激序列的傅里叶变换TTTNT1FNEJN1TFN1/T1T1/2T1/2TTEJN1TDT1/T1TT1/T1EJN1TTT10TT1T1NNNT10TF010TT10TT1T1TT10TT1T1F1011FN1/T1011例2516周期矩形脉冲信号的傅里叶变换FTE/T1SAN1/2EJN1TF2FNN1E1SAN1/2N1FTE0T/2/2T1T1NNN一、常用傅里叶变换公式（1）T1（2）COS2F0T1/2FF0FF000（3）SIN2F0TJ/2FF0FF0J00（4）T/SAF，矩形底边宽度为（5）T/TTSA2FT，三角形底边宽度为2T（6）BSABTF/B（7）EA|T|2A/A22（8）EJ0T20二、常用其它公式（1）SINABSINACOSBCOSASINB（2）COSABCOSACOSB/SINASINB（3）COSACOSB1/2COSABCOSAB（4）SINASINB1/2COSABCOSAB（5）SINACOSB1/2SINABSINAB（6）SINASINB2SINAB/2COSA/B/2（7）COSACOSB2COSAB/2COSAB/2（8）COSACOSB2SINAB/2SINAB/2（9）COS2A2COS2A112SIN2A（10）SIN2A2SINACOSA常用其它公式（11）SINXEJXEJX/2J（12）COSXEJXEJX/2（13）EJXCOSXJSINX（14）S1/2PD（平均功率）PDF（P功率谱密度）1/TT/2T/2F2TDT（周期函数）（15）EF2TDT（能量）|F|2DF1/2|F|2D（16）P2FNN1（周期函数）作业P3435232729周期信号的傅里叶变换令周期信号FT的周期为T1，角频率12/T1FTF（N1）EJN1TFTF（N1）EJN1TF（N1）EJN1TEJN1T2N1则FT2FNN1NNNN作业23求图示各波形的傅里叶变换,并给出各波形频谱所占带宽BF（频谱图的第一零点值），注意图中的时间单位为S。FT0T221A矩形单脉冲FT101T551B矩形双脉冲FT0T21D三角脉冲FT01/23/22T1E梯形脉冲FT012T1FSA脉冲FT10T4C升余弦脉冲作业24“升余弦滚降信号”的波形如图A所示,它在T2到T3的时间范围内以升余弦的函数规律滚降变化。其中，滚降系数KT0/22T0/。求此信号的傅里叶变换式，并画频谱图