高数习题答案- 多元函数微分学测试题

1、单项选择题（每小题3分）1）二重极限的值为（D）240LIMXYA、B、C、D、不存在112提示沿路径接近点2XKY0,2）二元函数在点的两个偏导数都存在，,F00,XYFFX则（D）,FXYA、在该点可微B、在该点连续可微C、在该点任意方向的方向导数都存在D、以上都不对3）函数在处（A）2,0FXYA,A、不取极值B、取极小值C、取极大值D、是否取极值依赖于A4）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（23,TTZT24XYZB）A、只有1条B、恰有2条C、至少有3条D、不存在5）设，其中，下面运算中（B）,ZFUV,XEVY22,XFZFIEIA、都不正确B、正确，不正确,IIC、不正确，正确D、都正确II,2、填空题（每小题3分）1）已知理想气体状态方程，则。PVRTVTP12）设，则。2LNARCTNXYZXYDZ2XYDY3）函数在点的梯度为。XUY1,1,4）已知，其中为可微函数，则。ZZXYZ5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法XYPL163212L线方程为。121XYZ3、设，其中均为二阶可微函数，求。,ZFG,FG2ZXY解12122YYFXFGYX21221ZXFFGYXYY1222FGXY4、设，试以新变量变换方程，其中对各变量,UYV,UV220ZXYZ有二阶连续偏导数。解无妨设，则,ZF221VVUVUVUUFXFXDFDFYXDFDYDDYY2,VVUUFFZZ222111UVUVVUVVZYFFYFYFFXY222322243UUVVUVVUUVVVZXXXXFFFFFFFFFY22244UVVUVZYFFFXY在新变量下方程可变为。,UV2200UVF5、已知，其中均为可微函数，求。,ZFXYZ,FDZX解利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得,XYYZDFDX消去可得DYYYXZYDZFFDFYZF6、设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数N2YZX1,3P在点处沿方向的方向导数。223UN解设2,YFXYZZ2,1XYZ，如图容易看出与正方向的夹角为钝角，其轴坐PPZPNZZ标为负，所以212,1,3NN，22213UXYZXYZ12236UXYZYX122ZXX316,6,6424PPPUUUXYZ33PL7、在椭球面上找一点，使过该点的切平面与三0ZY0X122,CZBYAX坐标平面所围成的四面体的体积最小。解设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为00Z,022200ZCYBXA化成截距式方程1202002CZBYAXZCYBXA此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）0261ZYXV要求满足条件的最小值，只需求XYZABCV261Z22,CBYAX满足条件的最大值。,F0Y0X122,Z由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点122CZBAXYZ,ZY,XF得4130210222CZBYAXFBYXZAZYZYX3202XY由此得，所以3322CZ,BY,CZ,BY,AX33当时，有最小体积，最小体积为。,AX28、试证光滑曲面的所有切平面恒与一固定非零向量平行。,0FZXYZ证明；设，其任意点处的切平面的法向量为,GN1212,NF取向量，则有，即，所以光滑曲面1,S0S/S的所有切平面恒与向量平行。0FZXYZ,S9、已知为常数，且，求证,23XEYZ21XEYZ证明设，此问题变为求函数满足条件2,XAE