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20102011学年第二学期高等数学答案一填空题（每小题4分，共20分）1函数在点的梯度为；29ZXY,1GRADZ16,82函数的极值点是；422XY3假设L为圆的右半部分，则；XA2LXYS2A4设，则0，22ESINAYZXYJK1,DIV|A5设，都是方程1233EX2226XYYYX的解，则方程的通解为12EXC二本题8分）计算三重积分，其中是由所围成的闭球22YZDV221XYZ体解10220SINDRRD54三（本题8分）证明在点处连续，与存在，但在,FXY0,0,XF,YF处不可微0,证，故在点处连续；0LIM0,XYF,FXY0,又由定义，；0,LIXXFFF0,LIM0YYF但不存在，故在处不可微。20LIYY0,四（本题8分）设函数有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式,YXU，将变换为下的表达式SIN,CORYRXXU,R解,UURRXYY再由，分别对求导数，COS,INX,X得和1I0SINCOSRXX0COSINISRY解得，IN,RRCOSI,YXR从而，SICOUUXSINU所以Y五（8分）计算,其中为2DLXYAL（1）圆周（按反时针方向）；11解，而且原点不在该圆域内部，22222XYXYXY从而由格林公式，原式0（2）闭曲线（按反时针方向）1XY解，22222XYXY原式112DD012LLDXYXYDXYA六（8分）计算，是平面被圆柱面截出的有限部分S4Z1解，4,XYZZ13DSDXY0,2DR原式3DYD12322000SINCOSARR七（8分）计算曲面积分，其中为上半球面的上2IYZDXY24ZXY侧解取为平面上圆的下侧，记为与所围的空间闭区域。1XOY24X1由高斯公式，有10IYZDXYZDV2204XYZD2204Z又2124XYIDD8所以，有2I八（本题6分）求微分方程的通解DSINYX解对照标准的一阶线性微分方程,PQ1SIN,XDPXDPXQYEECX111LNLNLNISISIDXDXXXXYEECDCOSSINX九（本题6分）求微分方程的通解22EXY解对应齐次方程特征方程为221,2124130,4RRR非齐次项，与标准式比较得XFEXNFXPE0,1N对比特征根，推得，K从而,KXXXNYQAYA代入方程得21从而通解为12XXCEE十非化工类做（本题6分）求幂级数的收敛域1214NNX解1LIMLINNNAR当时即为条件收敛，2X1214NNX1N收敛域2,2十一非化工类做（本题7分）将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立2XF区间解12XXF00NN成立区间1/2,1/21十二非化工类做（本题7分）设函数是以为周期的周期函数，它在上的表XF2,达式为将其展成傅里叶级数XXF01解0SIN2C
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