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第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数若函数在的一个邻域内具有阶导数,则在该邻XF01N域内有20000000NNFXFXFXFFXRXRPNN其中,在与之间。101NXFXX0定理1设函数在的邻域内有各阶导数,则在该邻F00UXF域内能展成泰勒级数的充要条件是的泰勒公式中的余项XF当时极限为零,即N00LIMXXRN证明1)必要性,如果,设为其部分和00NNFFXSN函数列,则XSFXRXSRXPFNNNNN110LIMLIFFN2)充分性,若,设为级数的部分0LIXNXSN00NNXF和函数列,则XRFXPSNNN1FLIMLI注1当时,我们称级数0XNXFXFF020为麦克劳林级数。注2如果函数在的某邻域内能展成幂级数,此幂XF00NXA级数就是函数的麦克劳林级数。FNXAXAF210132N124NXAXXF,0,20,01NNAFAFFAF二、函数展开成幂级数例19将函数展成幂级数。XEF解函数得泰勒展开式为X234111XNNEEXX,因为级数对任意111NNNNEFR01NN的都收敛,所以,即。,XLIM1NNXLIMXRN因此2341XNEX例20将函数展成幂级数。FCOS解函数得泰勒展开式为XFCOS124221SIN11COSNXXX因为级数对任意的都收敛,所以210SINNX,,即。21SILMNN0LIMRN因此2421COSNXXX例21将函数展成幂级数,其中为常数。MF1M解XF21M1MNNFXNX考虑幂级数2000NFFFFXX即2111NMMXXXN不难算出,其收敛区间为。求其和函数,S111NSXXXN11NMM211NMXSXXX1XSMX解微分方程得CXLNSL1MX又因为,所以10S1XXM例22将函数展成的幂级数。FLNX解110XXFN000NNNXXXDTDTLN1X例23将函数展成的幂级数。FCOS3解32213XSINXXCSO112021NN例24将展成的幂
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