小学六年级数学求阴影面积与周长(含详细的解析)道

1求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的在解此类问题时要注意观察和分析图形会分解和组合图形或平移旋转或割补。现介绍几种常用的方法。一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形再利用规则图形的面积公式计算出所求的不规则图形的面积。例1如图1点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点AB12则图中由弦AC、AD和CD围成的阴影部分图形的面积为_。分析连结CD、OC、OD如图2。易证AB/CD则ACDOCD和的面积相等所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得COD60故SSOCD阴影扇形60636062。二、和差法有一些图形结构复杂通过观察分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的再利用这些规则图形的面积的和或差来求从而达到化繁为简的目的。例2如图3是一个商标的设计图案AB2BC8ADE为14圆求阴影部分面积。分析经观察图3可以分解出以下规则图形矩形ABCD、扇形ADE、RTEBC。所以SSSSADEABCDRTEBC阴影扇形矩形9043604812412482。2三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构理顺图形间的大小关系。例3如图4正方形的边长为A以各边为直径在正方形内作半圆求所围成阴影部分图形的面积。解因为4个半圆覆盖了正方形而且阴影部分重叠了两次所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故2221222AAAS阴影。四、补形法将不规则图形补成特殊图形利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。例4如图5在四边形ABCD中AB2CD1ABD6090求四边形ABCD所在阴影部分的面积。解延长BC、AD交于点E因为AB6090所以E30又EDCCECDDE9023所以易求得BE23所以SSSABBECDDEABECDE阴影1212332。五、拼接法例5如图6在一块长为A、宽为B的矩形草地上有一条弯曲的柏油小路小路任何地方的水平宽都是C个单位求阴影部分草地的面积。解1将“小路”沿着左右两个边界“剪去”2将左侧的草地向右平移C个单位3得到一个新的矩形如图7。由于新矩形的纵向宽仍然为B水平方向的长变成了AC所以草地的面积为BACABBC。3六、特殊位置法例6如图8已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切那么图中阴影部分的面积等于_。分析在大半圆中任意移动小半圆的位置阴影部分面积都保持不变所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置如图9。解移动小半圆至两半圆同圆心位置如图9。设切点为H连结OH、OB由垂径定理知BHAB122。又AB切小半圆于点H故OHAB故OBOH22BH24SOBOHOBOH阴影12121222222七、代数法将图形按形状、大小分类并设其面积为未知数通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。例7如图10正方形的边长为A分别以两个对角顶点为圆心、以A为半径画弧求图中阴影部分的面积。解设阴影部分的面积为X剩下的两块形状、大小相同的每块面积为Y则图中正方形的面积是XY2而XY是以半径为A的圆面积的14。故有XYA22XYA42。解得4XA212。即阴影部分的面积是212A。需要说明的是在求阴影部分图形的面积问题时要具体问题具体分析从而选取一种合理、简捷的方法。思考吧如图11正方形的边长为1以CD为直径在正方形内画半圆再以点C为圆心、1为半径画弧BD则图中阴影部分的面积为_。求阴影部分的面积21计算图191中阴影部分面积是多少平方厘米圆的半径R10厘米取314分析要计算图191中阴影部分的面积关键在于处理图中空白部分的面积。利用割补进行转化把空白部分转移到圆的边缘。如图192所示这样阴影部分面积就可以转化为41圆面积加上两个正方形的面积来计算。解1024110222520078520027852图193大小两圆相交部分面积是大圆面积的154是小圆面积的53量得小圆的半径是5厘米问大圆的半径是多少厘米分析因为已知阴影部分与大圆小圆的面积比所以可以先求出两圆面积的比继而求出它们的半径比。解设阴影部分的面积为1则小圆面积是415小圆面积是35。于是大圆面积小圆面积415354923252375厘米53如图194正方形面积是8平方厘米。求阴影部分的面积是多少平方厘米分析这道题按常规思路是要求阴影部分的面积用正方形的面积减去一个四分之一圆的面积。因此只要知道圆的半径问题就得到解决了。但是从题中的已知条件知道圆的半径是不可能求出的问题难以得解。这时就必须改变解题思路重新审题和分析图形从图中不难看到正方形的边长等于圆的半径进而可以推出AARR8平方厘米。所以在求四分之一圆的面积时就不必按常规的方法去求解圆的半径而直接用8平方厘米代替RR的面积四分之一圆的面积是314841628平方厘米则阴影部分的面积就是8314841172平方厘米。4如图197求空白部分的面积是正方形面积的几分之几分析因为圆和正方形它们的对称性可以先画出两条辅助线帮助分析即将正方形分成4个全等的小正方形。先看上面的两个小正方形从圆中可知ABCD。故有ADBC。这样可以得到阴影部分的面积与空白部分的面积是正方形面积的二分之一。5求图198中阴影部分的面积。分析阴影部分的面积是以边长为20的正方形与半径为20的41圆面积差减去边长为10的正方形与半径为10的41圆面积差的2倍。6如图199AB是两个圆的圆心那么两个阴影部分的面积差是多少分析两个阴影部分面积都难以直接求得要计算它们面积的差需要转化。甲乙甲丙丁乙丙丁甲丙丁的面积之和是大圆面积的四分之一31446S阴影2020314202411010314102412862152129441乙丙丁的面积乙加丙是一个长方形24丁的面积可以直接求3142241。这样两个阴影部分的面积差可以求得。31444414231422411427求图1910阴影部分的面积。分析这道题的阴影部分可以从半径为6的41圆面积中减去其中的空白部分的面积。31466416431444412826114416828如图1912ABCG和CDEF都是正方形DC等于12厘米CB等于10厘米。求阴影的面积。分析要运用求积公式直接求出阴影部分的面积是行不通的因为阴影部分的面积是不规则图形。可以运用转化的方法先求出直角梯形ABCF的面积和圆心角为FCD的扇形面积所得的差就是阴影部分的面积。直角梯形的面积为1012102110平方厘米。41圆的面积3141224314144411304直角三角形的面积为1010122225110阴影部分的面积为1101130411011304平方厘米。9求图1915中的阴影部分的面积。OB4厘米10如图1917以小正方形4角的顶点为圆心边长的一半为半径作4个圆在4个圆外作一正方形每边都与其中两个圆各有一个接触点求阴影部分的面积S。单位厘米。7分析如图1916首先可以用虚线连接AC、BC、OC并标出S1、S2、S3、S4则阴影部分S1与空白部分S3面积相等。阴影部分S2与空白部分S4面积相等所以阴影部分的面积等于41圆面积减去1个直角三角形的面积。3144241442131448456平方厘米分析仔细分析观察后便可看出阴影部分的面积S等于大正方形面积S减去小正方形的面积和4个43小圆面积的和。解S4040402231440222434160040094216001432258平方厘米求阴影部分面积38例1求阴影部分的面积。单位厘米解这是最基本的方法圆面积减去等腰直角三角形的面积21114平方厘米例2正方形面积是7平方厘米求阴影部分的面积。单位厘米解这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。设圆的半径为R因为正方形的面积为7平方厘米所以7所以阴影部分的面积为7771505平方厘米例3求图中阴影部分的面积。单位厘米解最基本的方法之一。用四个圆组成一个圆用正方形的面积减去圆的面积所以阴影部分的面积22086平方厘米。例4求阴影部分的面积。单位厘米解同上正方形面积减去圆面积16164344平方厘米例5求阴影部分的面积。单位厘米解这是一个用最常用的方法解最常见的题为方例6如图已知小圆半径为2厘米大圆半径是小圆的3倍问空白部分甲比乙的面积多多少厘米解两个空白部分面积之差就是两圆面积之差全9便起见我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”是用两个圆减去一个正方形216816912平方厘米另外此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。加上阴影部分10048平方厘米注这和两个圆是否相交、交的情况如何无关例7求阴影部分的面积。单位厘米解正方形面积可用对角线长对角线长2求正方形面积为552125所以阴影面积为41257125平方厘米注以上几个题都可以直接用图形的差来求无需割、补、增、减变形例8求阴影部分的面积。单位厘米解右面正方形上部阴影部分的面积等于左面正方形下部空白部分面积割补以后为圆所以阴影部分面积为314平方厘米例9求阴影部分的面积。单位厘米解把右面的正方形平移至左边的正方形部分则阴影部分合成一个长方形所以阴影部分面积为236平方厘米例10求阴影部分的面积。单位厘米解同上平移左右两部分至中间部分则合成一个长方形所以阴影部分面积为212平方厘米注8、9、10三题是简单割、补或平移例11求阴影部分的面积。单位厘米例12每个扇形半径为3求阴影部分的面积。单位厘米10解这种图形称为环形可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。314366平方厘米解三个部分拼成一个半圆面积1413平方厘米例13求阴影部分的面积。单位厘米解连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分凑成正方形的一半所以阴影部分面积为88232平方厘米例14求阴影部分的面积。单位厘米解梯形面积减去圆面积41042841544平方厘米例15已知直角三角形面积是12平方厘米求阴影部分的面积。分析此题比上面的题有一定难度这是叶形的一个半解设三角形的直角边长为R则126例16求阴影部分的面积。单位厘米解11636401256平方厘米11圆面积为23。圆内三角形的面积为1226阴影部分面积为36513平方厘米例17图中圆的半径为5厘米求阴影部分的面积。单位厘米解上面的阴影部分以AB为轴翻转后整个阴影部分成为梯形减去直角三角形或两个小直角三角形AED、BCD面积和。所以阴影部分面积为5525102375平方厘米例18如图在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形求阴影部分的周长。解阴影部分的周长为三个扇形弧拼在一起为一个半圆弧所以圆弧周长为231432942厘米例19正方形边长为2厘米求阴影部分的面积。解右半部分上面部分逆时针下面部分顺时针旋转到左半部分组成一个矩形。所以面积为122平方厘米例20如图正方形ABCD的面积是36平方厘米求阴影部分的面积。解设小圆半径为R436R3大圆半径为R218将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环所以面积为2451413平方厘米例21图中四个圆的半径都是1厘米求阴影部分的面积。例22如图正方形边长为8厘米求阴影部分的面积。12解把中间部分分成四等分分别放在上面圆的四个角上补成一个正方形边长为2厘米所以面积为224平方厘米解法一将左边上面一块移至右边上面补上空白则左边为一三角形右边一个半圆阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和2448164112平方厘米解法二补上两个空白为一个完整的圆所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形叶形面积为244816所以阴影部分的面积为8164112平方厘米例23图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是1厘米那么阴影部分的面积是多少解面积为个圆减去个叶形叶形面积为111所以阴影部分的面积为4818平方厘米例24如图有8个半径为1厘米的小圆用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率取31416那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米分析连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形各个小圆被切去个圆这四个部分正好合成个整圆而正方形中的空白部分合成两个小圆解阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和为44191416平方厘米例25如图四个扇形的半径相等求阴影部分的面积。单位厘米例26如图等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEBAB5厘米BE2厘米求图中阴影部分的面积。13分析四个空白部分可以拼成一个以为半径的圆所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积4472224944平方厘米解将三角形CEB以B为圆心逆时针转动90度到三角形ABD位置阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积为55241225314936平方厘米例27如图正方形ABCD的对角线AC2厘米扇形ACB是以AC为直径的半圆扇形DAC是以D为圆心AD为半径的圆的一部分求阴影部分的面积。解因为24所以2以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积22442112114平方厘米例28求阴影部分的面积。单位厘米解法一设AC中点为B阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积三角形ABD的面积为552125弓形面积为25527125所以阴影面积为125712519625平方厘米解法二右上面空白部分为小正方形面积减去小圆面积其值为5525阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积为10522519625平方厘米例29图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB4厘米BC6厘米扇形BCD所在圆是以B为圆心半径为BC的圆CBD问阴影部分甲比乙面积小多少例30如图三角形ABC是直角三角形阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米AB40厘米。求BC的长度。14解甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD一个成为三角形ABC此两部分差即为4651237平方厘米解两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC一个为半圆设BC长为X则40X2228所以40X40056则X328厘米例31如图是一个正方形和半圆所组成的图形其中P为半圆周的中点Q为正方形一边上的中点求阴影部分的面积。解连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形两三角形面积为APD面积QPC面积51055375两弓形PC、PD面积为55所以阴影部分的面积为375255175平方厘米例32如图大正方形的边长为6厘米小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。解三角形DCE的面积为41020平方厘米梯形ABCD的面积为46420平方厘米从而知道它们面积相等则三角形ADF面积等