数学同步练习题考试题试卷教案高中数学必修1必修4知识汇编

高中数学必修1必修4知识汇编在充满好奇、期待和紧张的心绪中，我们一起渡过了高一一个学期，一学期以来，我们在数学上倾注了大量的心血，我们有收获也有困惑，对一些问题既清晰又模糊。因此在寒假休息之余，同学们一定要抽出些许时间对学过的知识进行梳理，达到知识条理化、清晰化并及时总结常规的解题思路方法，防止解题易误点的产生，对提升数学素养将会起到较大的作用其中未尽之处请同学们自行补充。祝同学们寒假过的充实、愉快新年快乐，合家幸福高一数学组一、集合理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键，数形结合是解集合问题的常用方法解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具。1集合A、B，时，你是否注意到“极端”情况或；AB例如（1）已知集合若，则实数,12,52PXBXAP的取值范围是。（）3P2对于含有N个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，N2，1，2N3，IIICABCIIIABC二、函数函数问题的切入点是函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等4映射1映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的BA像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，B其中“值域是映射中像集的子集”2函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个XY3函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像5函数的几个重要性质（一）对称性（1）如果函数对于一切，都有，那么函数的图象XFYRXAFFXFY关于直线对称AX（2）函数与函数的图象关于Y轴对称FXAFY（3）函数与函数的图象关于X轴对称Y（4）函数与函数的图象关于原点对称XAFF（二）周期性如果函数对于一切，都有，那么函数是周期函数，YRAXFXFYT2A；特别若恒成立，则0FXFXA2T若恒成立，则10FXAF2TA若恒成立，则X如果是周期函数，那么的定义域“无界”YFYFX（三）翻折变换Y|FX|保留函数YFX在X轴上方图象，再将函数YFX在X轴下方图象以X轴为对称轴翻折上去就得到Y|FX|的图像。YF|X|作出函数YFX在Y轴右边图象，再将函数YFX在Y轴右边的图象以Y轴为对称轴翻折过去，就得到YF|X|的图像。6作函数图象常用方法有三种1列表描点法；2基本函数图象变换法（常见的基本函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、对号函数）0KYX7在处理有关指数函数、对数函数、三角函数与整式函数相结合的方程根的问题时，通常采用数形结合的方法。8求二次函数区间上的最值问题时你注意了X的取值范围吗求最值问题的常用方法有哪些（二次函数法、三角函数法等）9单调性和奇偶性1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反单调函数的反函数和原函数有相同的单调性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数注意（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有定义法、图像法等等对于偶函数而言有|FXFX（2）若奇函数定义域中有0，则必有0（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用定义法（取值、作差、定号）；在选择、填空题中还有数形结合法图像法、特殊值法等等10抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。11解决抽象函数问题的基本策略是赋值叠代、数形结合、原型启迪。12解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀例函数的值域是R，则的取值范围是。（）（。4LOG250AXYA），（413对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗（）BABANCALOGL,LOGL14你还记得对数恒等式吗（）BALOG15“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到02CX042B必须；当A0时，“方程有解”不能转化为若原题中没有指出是“二0042ACB次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形或已经指出，你是否注意到自变量的限制条件例关于X的方程2KX28K1X8K0有两个不相等的实根，则K的取值范围是K1/16且K0三、三角函数16在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗你注意到正弦函数、余弦函数的有界性及其它性质了吗例已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，6X）（）（3SINXF6则的值是。（）0,1517一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半（如的周期都是,2SINSIYX与但的周期为，的周期为）XYCOSIN2XYTAN18函数是周期函数吗（都不是）2,IY19三角函数图像相位变换时要紧扣“针对自变量”、周期变换时要紧扣“周期的变化”例1、为了得到函数的图像，只要将的图像向3SIN2FX（）（）3SIN2FX（）平移个单位即可（左，）6例2、将函数的纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可以得到3SIN2FXX（）（）的图像向（）3SINFX（）（）20在三角中，你知道1等于什么吗（221SINCOXTANCOTA4X这些统称为1的代换常数“1”的种种代换有着广泛的应用SINCO02（例如，2222SICOST1NANXXXTA1TA45T45NT21在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换（如,等）2222你还记得诱导公式的口诀吗（奇变偶不变，符号看象限奇偶指什么怎么看待角所在的象限）23你还记得三角化简的通性通法吗（弦切互化、降幂公式二倍角公式逆用、用三角公式转化出现特殊角异角化同角，异名化同名，高次化低次，即化统一的思想统一函数名称,统一次数,统一角）24你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗12LRSLR与25引入辅助角公式（其中角所在的象限由A,B的符2SINCOSSINAXBABX号确定，角的值由确定）在求最值、化简时起着至关重要作用T四、平面向量26向量解题的基本思路（1）几何法像、等都具备几何意义，ABCOSACOS,INA解题时若能充分利用可起到事半功倍之效果；例已知向量，向量，则的最大值是COS,IN3,12B如图将和起点放在原点，则和终点都在半径为2AB2AB的圆上，故的最大值是42（2）选基底一般选已知模长、夹角且不共线的两个做基底（3）建立平面直角坐标系只要将各点坐标顺利求出，运用向量极为方便。27三点A、B、C共线证明方法（1）平行向量共点法0ABC2线外一点法1OXYX宿州二中高一数学（必修一）寒假作业一、选择题（每题5分，满分60分）1、下列四个集合中，是空集的是（）A头HTP/WXJKYGCOM126T/JB头HTP/WXJKYGCOM126T/J3|,|,2RYXC头HTP/WXJKYGCOM126T/JD头HTP/WXJKYGCOM126T/J,0|RX0|22设AA，B，集合BA1，5，若AB2，则AB（）A、1，2B、1，5C、2，5D、1，2，53函数的定义域为（）21XFA、1，22，）B、1，）C、1，2D、1，4设F，G都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）表1映射F的对应法则原像1234像3421表2映射G的对应法则原像1234像4312则与相同的是（）1GFABCD32FG4FG1FG5、下图是指数函数、的图象，则与1的大1XAY2XB3XCY4XDDCBA,小关系是（）ABDCAD1CDAB1BC6函数Y|LG（X1）|的图象是（）7已知，则三者的大小关系是（）30LOG2A30B20CCBA,A、B、C、D、CAABC8函数YAX2BX3在上是增函数，在上是减函数，则（）1,1A、B0且A0D、A，B的符号不定9函数上的最大值与最小值的和为3，则（）,在XYA、B、2C、4D、214110设，则使为奇函数且在（0，）上单调递减的,13,XY值的个数为（）A、1B、2C、3D、411已知实数且，则的取值范围为0AB，A221AB（）（）A；B；C；D。952，9，）90，05，12、函数，则21XF2321FFF29131FFA2005B2006C2007D2008二、填空题（每题4分，满分16分）13求值，；316824LOG5714已知幂函数的图象过点，则；XFY,9F15、若，则0A234923LOGA16、根据下列表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是20XEX1012303712727392009212345三、解答题（本题满分74分，要求写出必要的步骤和过程）17（本小题12分）已知集合A，B，且，求由实数所构0652X01MXBAM成的集合，并写出的所有子集。M18、（本小题12分）计算（1）634321141YXYX（2）BABAALOGL2LOGLOG219、（本小题满分12分）已知，函数,21LOGFXX42GXFFX求（1）函数的定义域；（2）函数的值域GX20（本小题满分12分）探究函数的最小值，并确定取得最小值时X,0,4XF的值列表如下X05115171922122233457Y85541740540054400540240443558757请观察表中Y值随X值变化的特点，完成以下的问题函数在区间（0，2）上递减，则函数在区间4F0XF上递增；函数,当时，；XF最小YE函数时，有最值吗是最大值还是最小值此时X为何值04XF21（本小题12分）设函数（、）满足，且对任意实12BXAXFAR01F数X均有0成立，F求实数、的值；AB当时，求函数的最大值2,2TTG22（本小题满分14分）已知函数是定义在上的函数,若对于任意,都有FX1,1XY，且0时,有0FXYFY判断函数的奇偶性；判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；X1，设,若,对所有,恒成立,求实数的取值1FF21MA1XAM范围宿州二中08级高一数学寒假作业（必修4第1、3章）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、以下命题正确的是（）A都是第一象限角，若，则,SINICOSB都是第二象限角，若，则TANTC都是第三象限角，若，则,COIID都是第四象限角，若，则SINITT2、设,且,则（）02X1I2XXABCD745432X3、函数在上的图像大致是（）SIN23FX0,4、化简（）1SIN4COSABCDCOTT2TANTAN25、锐角满足则的值为（）A1SIC,4AN（A）（B）（C）（D）23323236、已知，则（）21SINCOS1SIN0（A）是第三象限角（B）是第四象限角（C）（D）322,KKZ322,KKZ7、函数的图像的一条对称轴方程为（）5SINYX（A）（B）（C）（D）54X2X8X4X8、已知则等于（）3,SIN,25TA4（A）（B）（C）（D）1771779、函数的最小值是，其图像中相邻的最高点和最低点的横坐SI0,YXA2标的差是3，又图像经过点（0，1），则这个函数的解析式是（）（A）（B）2SIN61SIN36YX（C）（D）I3YX2I10、已知函数，则下列结论中正确的是（）COSIN（A）是奇函数（B）不是周期函数（C）定义域1，1（D）值域是COS1,11、若，,，则的值等于（）,0,23CS21SIN2CS（A）（B）（C）（D）311312、判断下列各命题若是第一象限角，且，则；函数,COS是偶函数；若函数，则是偶27SIN3YX55SIN,22XXFGFX函数，是奇函数若函数的图像向左平移个单位，得到函数GSI2Y4的图像。其中正确有命题为（）SIN24YX（A）（B）（C）（D）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13、COS43COS77SIN43COS167的值为_14、要得到的图像，且使平移的距离最短，则需将函数的图像向COS2YXSIN2YX_平移_单位，即可得到15、由函数与函数的图像围5SIN36YX2YXR成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_16、关于三角函数的图像，有下列命题正确的有与的图像关于轴对称；与的图像相同；SINYXSIYXYCOSYXCOSYX与的图像关于轴对称；与的图像关于轴XY对称；三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（12分）1已知，求证SIN1TAN2TAN02求函数的最大值和最小值SINCO6YX18、（12分）已知函数2COS3XFX1求的单调递增区间；2若求的最大值和最小值FX,F19、（12分）已知函数SIN0,2FXAXXR在一个周期内的图像如图所示（1）求函数的解析式；FX（2）设，求，的值12COSGFX54G20（12分）已知函数,2,COS26SIN2XXF（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域54SINXFF21、（12分）已知函数23SIN2SIN61FXXXR（I）求函数的最小正周期；（II）求使函数取得最大值的集合。FX22、（14分）函数的最小值为212COSINFXAXGAR（1）求；（2）若，求及此时的最大值GAGF必修4第二章平面向量单元练习一、选择题1在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若（）125,3BCEDOC则ABCD1253E1253E22153E2对于菱形ABCD，给出下列各式A|B2其中正确的个数为（）|CD|4A1个B2个C3个D4个3在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（）,ADBCDABCDABCABDBADCAB4已知向量反向，下列等式中成立的是（）与AB|BCD5已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐标为（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）6与向量平行的单位向量为（）2,DABC或D,3,1,2135,2135,27若，则的数量积为（）|40AB|4|5ABAB与A10B10C10D1038若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量,则的坐标为）2,ABCD,23,2,32,39设KR，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（）1QAB,B,CKCD21DK21E10已知，且，则的夹角为（）|0,|A365ABAB与A60B120C135D15011在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是ABC的重心，则等于（）MABCDOM4F4E412已知，满足对任意，恒有，则（）,1AETRATEABCDAEAE二、填空题13非零向量满足，则的夹角为,B|B,14在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是,|ADAB且15已知，若平行，则3,2A,1与16已知为单位向量，4，的夹角为，则方向上的投影为E|AE与32E在17两个粒子A，B从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为SA（3，4），SB（4，3），（1）此时粒子B相对于粒子A的位移；（2）求S在SA方向上的投影。三、解答题18已知非零向量满足,求证,|A19已知在直角ABC中，求K的值2,3AB1,C20设是两个不共线的向量，若A、B、D12,E121212,3,EKBECDE三点共线，求K的值21已知,的夹角为60O,当当实数为何值时，|2A|3BA与53CABDAKBKCD22如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证PAEF；PAEF23如图，矩形ABCD内接于半径为R的圆O，点P是圆周上任意一点，求证PA2PB2PC2PD28R224一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10MILE处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9MILE/H的速度向前航行，货船以21MILE/H的速度前往营750ABC东北450救，并在最短时间内与渔船靠近，求货船的位移及COSABC。高一寒假数学试卷（必修1、4综合）一、选择题本大题共12小题每小题5分；共60分1若，则是,234,1,2,3UMNNMCUABCD1,3442已知向量3，1，2K1，K），则K的值是ABABA1BCD3735353下列函数中，在（0，）上单调递增的是AYSIN（X）BYCOS（X）CYTANDYTAN2X222X4有下列命题；AN1,NN24AB6235，其中正确命题的个数是33LOG5L62A0个B1个C2个D3个5已知角与120角的终边相同，那么的终边不可能落在3A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6若幂函数在0，上是增函数，则1MXFA1B1C1D不能确定M7已知FXAX2BXC（A0），分析该函数图象的特征，若方程FX0一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是A23B4ACB20CF20DF30BA8下列函数中，图象的一部分如右图所示的是ABSIN6YXCOS26YXCDI2439函数是12COS1SIN2XXYA周期为的偶函数B周期为的奇函数C周期为的偶函数D周期为的奇函数10的三内角所对边的长分别为设向量,若B,AC,ABCBCAP,ACQ,则角的大小为PQABCD6322311已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围XF,01LGFXFX是ABCD1,0,10,10,0,12设,点是线段上的一个动点,若,则OPABABPPBAO实数的取值范围是ABCD12211221二、填空题（本大题共6小题；每小题5分，共30分）13已知，与的夹角为60，则3A4BABA14在中，则最短边的边长ABCO5601C15已知TAN（）2，则的值是22SINIOSC16某同学在借助计算器求“方程LGX2X的近似解（精确到01）”时，设FXLGXX2，算得F10，F20；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个X的值，计算了其函数值的正负，并得出判断方程的近似解是X18那么他又取的X的4个值分别依次是17已知集合AX|LOG2（X1）1，集合BX|34X26X0，则AB18函数取得最大值时，的集合为XYCOSINCOSI三、解答题（本大题共5小题；共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，AOABC22，求点、点的坐标。32ABCOC20（本小题满分10分）已知2SINX，M，ASINXCOSX，1），函数FXBB（XR，若FX的最大值为2（1）求M的值；（2）若将F（X的图象向左平移NN0）个单位后，关于Y轴对称，求N的最小值21（本小题满分10分）已知，且，912COS32SIN，求的值。2022（本小题满分10分）某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的含药量微克与时间小时之间的关系近似满足如图所示的曲线。YT写出服药后与之间的函数关系式TYF据进一步测定每毫升血液中含药量不少于025微克时,治疗疾病有效,求服药一次治疗该疾病有效的时间多少小时23（本小题满分10分）已知FX是定义域为（0，）的函数，当X（0，1）时,0现针对任意正实数X、Y，给出下列四个等式XF；FYYFXYF；F请选择其中的一个等式作为条件，使得在（0，）上为增函数并证明你的结论F解你所选择的等式代号是证明宿州二中高一数学寒假作业试题参考答案（必修一）一、选择题CDADBCCBBBAD二、填空题13，19；143；153；16（1，2）或1，2278三、17子集有，310M30210，0，18、（1）（2）1XY19、解（1）依题意，解得故函数GX的定义域为42X1X2,1（2）由已知得，LOG4