数列习题解析

第五章数列【知识图解】【方法点拨】1学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证2强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧3在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化4一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习如错位相减法、迭加法、迭乘法等5增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解第1课数列的概念【考点导读】1了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前N项和的问题。【基础练习】1已知数列NA满足13,011NANN，则20A3。函数数列一般数列通项前项和N特殊数列等差数列等比数列通项公式中项性质前项和公式N公式通项公式中项性质前项和公式N公式分析由A10,13NNAN得,0,3,42AA由此可知数列N是周期变化的,且三个一循环,所以可得202在数列中，若，则该数列的通项2N1。1121NNA3已知数列，满足，则的通NA31,AAN项1,N1,N2答案N2N4设数列的前N项和为，且，则ANS13AN45A_2_15已知数列的前项和，则其通项NA512NSNA52【范例导析】例1设数列的通项公式是，则N8NA（1）70是这个数列中的项吗如果是，是第几项（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；（3）这个数列所有项中有没有最小的项如果有，是第几项分析70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要27085N注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。解（1）由得或27085N13N5所以70是这个数列中的项，是第13项。（2）这个数列的前5项是；（图象略）,70,（3）由函数的单调性是减区间，是增区间，28FX,44,所以当时，最小，即最小。4NNA4点评该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。例2设数列的前N项和为，点均在函数Y3X2的图像上。ANS,NN（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前N项和，求使N13NABTB得对所有都成立的最小正整数。20NMTNM分析根据题目的条件利用与的关系，（要特别注意讨论NSANA12S当时当时N1的情况）先求出数列的通项，再利用裂项法对数列进行求和，从而解决第2NNB问的恒成立问题。解（I）依题意得，即。32,NS23N当N2时，221651NAN当N1时，所以。1S65NAN（II）由（I）得，1311265NBN故。12731NIT1因此，使得成立的M必须满足，即M10,6N0N20故满足要求的最小整数为10。M点评本题两个小问中涉及的方法都是非常常规的，与的关系的转化和裂项法求和NSA都要求大家掌握。例3已知数列A满足,N1A12NANN（）求数列的通项公式；（）若数列满足,证明是等差数列NB1214NNBBBNB分析本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。解（I）,NAN1,NNA是以为首项，2为公比的等比数列。1NA112NNA即2N（II）1214NNBBBA12NN12,NNB；121NBB，得即1,NN20,N210，得即2,NNBB21,NNB是等差数列。21,NBNN点评本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。【反馈演练】1若数列前8项的值各异，且对任意NN都成立，则下列数列中可取遍NA8NA前8项值的数列为（2）。（1）（2）（3）（4）1K31K41K61KA2设SN是数列的前N项和，且SNN2，则是等差数列，但不是等比数列ANA。3设F（N）（NN），那么F（N1）F（N）等于13121。24根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的N个月内累积的需求量SN（万件）近似地满足SN（21NN25）（N1，2，12）按此预测，在本年度内，需求量90超过15万件的月份是7月、8月。5在数列中，则505NA1234,56,78910,AAA。6数列的前项的和是223211,1,1,N。2N7在数列中，已知则数列的前项的和是。NA112,3,NANA523N8在数列中，若它的前项的和，则6。NN2164NS9在数列中，则它的前10项的和是。NA1NNN110数列中，已知，N23N（1）写出，；（2）是否是数列中的项若是，是第几项10A79解（1），213NN10A21093，；1NA2N2N24213N（2）令，解方程得，7932115,6或，即为该数列的第15项。N5793第2课等差、等比数列【考点导读】1掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；N2理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；3注意函数与方程思想方法的运用。【基础练习】1在等差数列AN中，已知A510，A1231，首项A12，公差D3。2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是86。3某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为二个），经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成512个。4设是公差为正数的等差数列，若，则NA1235A12380A。1213055公差不为0的等差数列AN中，A2，A3，A6依次成等比数列，则公比等于3。【范例导析】例1（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有13项。（2）设数列AN是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是2。（3）设SN是等差数列AN的前N项和，若，则。36S1612解（1）答案13法1设这个数列有N项DNASN2163231313902146311DNAN13法2设这个数列有N项13124,46NAA231346180NNNA160NA又N13190（2）答案2因为前三项和为12，A1A2A312，A243S又A1A2A348，A24，A1A312，A1A38，把A1，A3作为方程的两根且A1A3，X28X120，X16，X22，A12，A36，选B（3）答案为。点评本题考查了等差数列的通项公式及前N项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。例2（1）已知数列为等差数列，且1LOG2NAN9,31A（）求数列的通项公式；NA（）证明111232NA分析（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公9,1A1LOG2NNA差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，N1N再利用通项公式进行求和。解（1）设等差数列的公差为D，1LOG2NA由即D1。,8LOG2L9,31A得所以即,L2N1NA（II）证明因为，NNNA211所以NNAA2113212312L2NN点评该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。例3已知数列的首项（是常数，且），NA12A1A（），数列的首项，（）。4221ANNB2NBN（1）证明从第2项起是以2为公比的等比数列；B（2）设为数列的前N项和，且是等比数列，求实数的值；NSNSA分析第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出解（1）2NBN2221411NAABNNN2B由得，12242A20B即从第2项起是以2为公比的等比数列。NB（2）14342NNNASA当N2时，111234NNNA是等比数列,N2是常数，3A40，即。NS1NS3【反馈演练】1已知等差数列中，则前10项的和210。NA247,5A10S2在等差数列中，已知则42。1231,456A3已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是3。4如果成等比数列，则3，9。1,9ABCBC5设、是项数相同的两个等比数列，为非零常数，现有如下几个数列，其中NC必为等比数列的有（3）。（1）（2）（3）（4）NABNCABNABNAC6已知A,B,AB成等差数列，A,B,AB成等比数列，且00,S13A2A3A12A13,因此，在S1，S2，S12中SK为最大值的条件为AK0且AK10,即03DKA312,，D0,2K3123KDD12D3,4,得55K77247因为K是正整数，所以K6,即在S1，S2，S12中，S6最大解法二由D0得A1A2A12A13，因此若在1K12中有自然数K,使得AK0,且AK10,则SK是S1，S2，S12中的最大值。又2A7A1A13S130,A70,A7A6A1A12S120,A6A703故在S1，S2，S12中S6最大解法三依题意得2121NDNDN最小时，SN最大；245,0,458452DNDD3,65657从而，在正整数中，当N6时，N52最小，所以S6最大21D4点评该题的第1问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易第2问难度较高，为求SN中的最大值SK（1K12）思路之一是知道SK为最大值的充要条件是AK0且AK10；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视SN为N的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点第3课数列的求和【考点导读】对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有（1）公式法等差数列的求和公式，等比数列的求和公式（2）分组求和法在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如通项中含因式，周期数列等等）N1（3）倒序相加法如果一个数列A，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，N则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征ANA1AN1A2（4）错项相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。（5）裂项相消法把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前N项之和变成首尾若干少数项之和。【基础练习】1已知公差不为0的正项等差数列AN中,SN为前N项之和,LGA1、LGA2、LGA4成等差数列，若A510,则S530。2设，则等于。471031022FNNF87N3已知数列AN是等差数列，首项A1，A2005A2006，A2005A2006，则使前N项之和SN成立的最大自然数N是。4已知数列AN是等差数列,且A28,A826,从AN中依次取出第3项,第9项,第27项,第3N项,按原来的顺序构成一个新的数列BN,则BN_3N12_5若数列满足，2，3则1,1NNNAA211【范例导析】例1已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且432,AN中1,641QA公比（）求；（）设，求数列NNNB2LOG|NNTB项和的前解（I）依题意03,32442AAA即0131QQ2112QQ或26NN故（II）BNN72LOG64LOG17|N2136,|,1NNTB时当27671|778NN时当72163NTN点评本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例2数列前项之和满足NANS12,0NNTTSNT（1）求证数列是等比数列；NA2N（2）若数列的公比为,数列满足，求数列的通NFTNB11,NNBFNB项公式；（3）定义数列为，求数列的前项之和。NC1NBNCNT解（1）由得12,0NTSTSNT1122NNTSTS两式相减得即,1,NNTAT12,NATT数列是等比数列。N2（2），则有。1NNNBFB12NB1N（3），12NC11135722NTNN点评本题考查了与之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消NAS法求和问题。例3已知数列满足，,21NNANNN41（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；NANA2NBNBNS分析本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解（），121NNA121NNNNA又，数列是首项为，公比为的等比数列31AN3，即1231NNNA123NNA（）64911NB9232649NNSNN点评本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放NAN缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。【反馈演练】1已知数列的通项公式，其前项和为，则数列的前NA21NANNNSN10项的和为75。2已知数列的通项公式，则它的前项和为N3NN。1332A3已知数列的通项公式，其前项和为，则377NA12NKANNNS9。4数列的前项和为。11,232N21N5已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为NANSAA。1N6已知数列中，且有，则数列N1,1213,2NNN的通项公式为，前项和为。NA3NA7数列AN满足A12，对于任意的NN都有AN0,且N1AN2ANAN1NAN120，又知数列BN的通项为BN2N111求数列AN的通项AN及它的前N项和SN；2求数列BN的前N项和TN；解1）可解得，从而AN2N，有SNN2N，N12TN2NN18数列AN中，A18,A42且满足AN22AN1AN,NN1求数列AN的通项公式；2设SNA1A2AN,求SN3设BNNN,TNB1B2BNNN,是否存在最大的整数M，使得对任意NN均有TN成立若存在，求出M的值；若不存在，说明理由32M解1）由AN22AN1ANAN2AN1AN1AN可知AN成等差数列，D2,AN102N142由AN102N0可得N5，当N5时，SNN29N，当N5时，SNN29N40，故SN540913BN1212NNA；要使TN1231NBTN总成立，需T1成立，即M8且MZ，故适合条件的M的最大值为732M324第4课数列的应用【考点导读】1能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。2注意基本数学思想方法的运用，构造思想已知数列构造新数列，转化思想将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。【基础练习】1将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468图1图2图3图4第2行16141210第3行18202224第4行32302826则2008在第251行，第5列。2图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含个互不重叠的单位正方形N21N3若数列中，且对任意的正整数、都有，则NA31PQQPAN134设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值QNNS12,NS为。25已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则。NA134,A2A6【范例导析】例1已知正数组成的两个数列，若是关于的方程,NB1,NX的两根021NNBAX（1）求证为等差数列；（2）已知分别求数列的通项公式；,6,21,NBA（3）求数。NNSB项和的前（1）证明由的两根得02,11NNBAXXA的方程是关于121NNNBB,是等差数列0N（2）由（1）知,8221A,21