毕业设计（论文）-浅析换元法的应用

贵池区参评论文浅析换元法的应用池州六中摘要在高中数学中，换元法是一种比较常见却非常实用的方法，正确又灵活的运用换元法，不仅可以将数学的各个方面充分的联系到一起对数学问题进行转化，还可以发掘学生的创造思维能力，培养学生对数学的兴趣，因此，本文就换元法在三角、方程、函数、不等式等方面的应用进行简单的分析与研究。关键词高中数学、换元法、应用、数学思维1引言有一些数学问题，由于条件和结论中的变量关系在形式上的隐蔽性，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形势上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适量的变量代换时，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们内在的联系，把问题化难为易，化繁为简。因此换元被认为是中学数学中最常用的一种思想方法，掌握了换元思想，不但可以比较顺利的解决一些较难的问题，还可以用多种方法解答同一个问题，提高我们的思维能力。2换元法的概念在解数学题时，我们把一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这就是换元法，换元法的实质就是转化，关键是构造变量和设变量；换元的理论依据是等量代换；换元的目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准问题标准化、复杂问题简单化，从而使问题易于求解。3换元法的方法与特点换元法的方法有三角换元、局部换元、均值换元等，它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究三角、方程、函数、数列、不等式等问题中有重要的作用。4常见的换元方法与技巧411整体换元在三角函数求值中的妙用由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值是三角函数求值中的一个常见题型，解决这类问题的关键在于寻找未知角与已知角之间的关系，但对于一些复杂的问题，部分学生直接寻找关系较为困难，即使找到在解题过程中还是会碰壁，但使用换元的思想方法却可以避免这些问题的困扰。例1设为锐角，若，则的值为546COS12SIN解法12032又546COSSIN2546COI32IN715421CSCS2502172544SIN3CO4S3SIN3ININ注解在本题中首先运用上述方法讲解，但是有些学生对这个6已知角不能整体看待，找不到与之间的关系，针对这一126情况，联想到代数中换元的思想方法可以将解题过程转换为下面的解法，学生在理解时就容易多了。解法2设，则，且6654COS由，知，故0323SIN；54COSINSI271CO2502172544SIN2CO4SIN4SIN6II例2已知，则的值为3COS20COS解设，则，且77319COS211COS28CS52030例3已知为锐角，则541SIN5CS解设，则，且15IN由，知，又由，知，90102354SI6015；2COSIN2SI53COS7COS50214574SI4CS2S11结论在解决三角函数求值时，我们教师往往一味地强调角的整体思想在解题中的重要作用，但学生在解题是整体意识不到位，不能灵活运用整体思想思考问题，如果用换元的思想将已知角整体换掉，将问题转换为另一个角的三角函数求值问题，则可简捷求解。412三角换元的其他应用高中数学好多问题如果能联系上三角变换，常常能出奇制胜，使问题顺利获得解决，是用三角变换关键要注意相关的数学问题结构类型及三角换元的方法。一、见，可设22RYXSIN,CORYRX例1已知，求的最大值1解，可设，则23YXSIN23,COSYYX，32IIN3COS,SIN312XY2MAX二、见，可设12BYSIN,COBYAX例2已知点P在椭圆上，求1492Y（1）点P到直线的距离的最大值；05XL（2）求的取值范围23Y解设P，点P到直线的距离为2SIN,COL543SIN51I5214S3D5MAX（2），2COS3IN2Y23COSSIN，23SIN32219423SIN解得或561561三、见时，可设；见时，可设XCOSX10X2COSX例3已知且，求证2,1NNNN证明因为，故考虑用“三角换元法”X设，则，20COSXNNNX22SISI1，是减函NN2COS11Y,10数，；同理222SINSISIN222COSSCSNNNXIO1四、利用平方关系等222222CST1,SECTAN1,SIC换元含的方程可设或；含的方2XASIX0COSX2AX程可设或；含的方程可设为SEC0CA2A0TANX例4解方程12352X分析平方后是4次方程，解法很复杂的，故考虑三角换元法。解，设，则（为锐角），原12XCSX222COT1CSX方程变形为2SIN435CSIN,1235COSIN,1235COSIN平方得，即2222SIN435COSSINI，01S435解得或（舍去），254I9SI57243COSI再联立，解得或，或1SINCO253COS,4IN54COS,IN3X45X五、见联想到，见联想到21XY2TAN1TA21XYTAN2SI结论总之，利用三角换元法可以把不熟悉的问题转化为熟悉的三角函数问题，利用正弦函数、余弦函数的有界性，很快求得值域，注意换元时不能改变自变量的取值范围，因此要注意所设的角的范围。42换元法在方程中的应用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。一、单个换元主要是根据方程的特点进行换元，换元后一般只留下单个未知数。例1解方程。121524XXX分析方程的分母都含有2故可设，Y2然后整理可得，3402Y解得中，YYX122，代入求出方程的解，并检验。例2解方程。XX221196分析方程变形为，XXX22211196即，XX223方程可通过互为倒数关系换元设，然后整理得，YX2161302Y可解得，Y123，代入，求方程的解，并检验。YX2二、部分换元部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数例3解方程2102XX分析方程变形，方程可进行部分换元3122XX设，方程整理可得，Y320XY可解得，再代入，求出方程的解并检XY，Y1验。例4解方程XX分析，方程整理可得，设YYX22450解得，再代入中，59，求出方程的解并检验。43换元法在线性规划中的妙用在二元规划问题中的两种基本类型斜率型和截距型的问题中，若能充分的把握住目标函数的结构特征，运用还元的思想，将问题转化为二元规划问题的一般形式，传统的解法就可大展身手，其解题过程不仅显得清晰明了，而且更具有可操作性，让人赏心悦目，值得尝试。一、运用换元法巧解“斜率型”规划问题例1设实数满足则的取值范围是。YX,025,YXYU2分析注意到目标函数可化为，令，则2XYK，问题分解为两步先求的取值范围，再求的KU1XYKKU1取值范围。解第一步，运用传统的线性规划问题求解方法可以解得23第二步，由双勾函数的图像知，当时，取得最小值KU11KU2；当时，取得最大值，所以，所以的取值31K30302UXY2范围是0,评注图解法是解决规划问题的根本，其关键在于正确作出可行域，正确理解目标函数所表示的几何意义，只要把握住这两个方面，也就能掌握解决规划问题的方法。二、运用换元法妙解“截距型”规划问题例2设实数满足则的取值范围是。YX,025,Y2YXU分析注意到，令，则，XUYXTS,STU问题分解为三步先求的取值范围；再求的取值范围；YS最后求的取值范围ST解由实数满足的约束条件作出可行域可求出，且21,63TS取得最大值与最小值的条件相同，所以，即TS,2T的取值范围是2YXU12,3评注变量是在的共同牵制下取得对应的值，而且变量取得TS,YX,TS,最大值与最小值时的条件恰好相同，正是基于本题的这种特殊性，才能求出的最大值12和最小值3，否则这样处理不等关系是非常ST危险的。44换元法巧解一类函数零点根据函数零点的定义对于函数，把使成立,DXFY0XF的实数叫做函数的零点。即方程有实根函X,DXFYF数的图像与轴有交点的横坐标函数有零点。而有FYXY一种形如这类函数的零点，它的右边是由一个,RMXF复合函数构成，我们暂且把这类问题称为复合函数零点问题，这类问题的求解可以把函数的解析式直接代入，但是相对比较麻烦，如果运用换元法过渡一下，实现问题的转化，则使问题既简单，又清楚明了，即令则，于是函数的零点是XFTMTFYMTFY，再根据每个的值来研究对应的零点的值，,321,ITIXFTX即可得到函数的零点，下面举例说明。,RXFY例1已知函数是定义域为R的偶函数，当时，0XXF则方程，有且仅有6个不21,0652X,02BAXAFF同的实根，则实数的取值范围是A_评析结合函数的图像，并令，则方程两XFGXFT02BAT根满足且或者且，由得21,T451T,12T1,0T45,221，本题通过换元法实现过渡转化使题目的意思更,9A加明朗化，并结合函数图象很轻松自然的解决了这类复合函数的零点问题。例2已知函数则函数的零点个数为XF0LOG,12X1XFY_评析令，则由得，结合函数图象知XFT1TF1TF有两个根，且，当时，再考察的图1TF21,T0,20XF像，则有2个根；类似地，当时，有2TXF21X2TT个根，所以函数的零点的个数有4个。本题通过换43,FY元，把函数的零点问题转化为方程、的XFY01TFXFT解的问题，其中，方程的解的范围分别是函数01TF,21的两个函数值的范围，其对应的自变量的值就是函数XF的零点，通过换元，再结合函数的图像，得到函数的零1Y点，交换坐标轴的横轴名称，重复使用，是解决这类问题的一般方法。5结语在高中数学中，换元法的重要地位的确是不容忽视的。正确又灵活的运用换元法，不仅仅可以将数学的各个方面充分的联系在一起，而且还可以不断地发掘学生的创新思维能力，培养他们的学习数学的兴趣，享受解题的乐趣。换元法的应用非常广泛，因为培养学生的思维扩散能力是数学教学的根本目的所在，善于运用方法解题是掌握数学的基础，而命题的连续简单转换是数学的解题的最好的方法。数学思想方法是数学基础知识的更高级别的范畴。善于应用数学思想方法去思考数学问题，让数学思维更具有创造力及想象力，灵活的运用换