2017年高考全国卷I数学试题及答案

1绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合AX|X1000的最小偶数N，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1000和NN1BA1000和NN2CA1000和NN1DA1000和NN29已知曲线C1YCOSX，C2YSIN2X23，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C210已知F为抛物线CY24X的焦点，过F作两条互相垂直的直线L1，L2，直线L1与C交于A、B两点，直线L2与C交于D、E两点，则|AB|DE|的最小值为A16B14C12D1011设XYZ为正数，且35XYZ，则A2X100且该数列的前N项和为2的整数3幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量A，B的夹角为60，|A|2，|B|1，则|A2B|14设X，Y满足约束条件210XY，则32ZXY的最小值为15已知双曲线C21XYAB（A0，B0）的右顶点为A，以A为圆心，B为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5CM，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位CM3）的最大值为_。三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题共60分。17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为A，B，C，已知ABC的面积为23SINAA（1）求SINBSINC（2）若6COSBCOSC1，A3，求ABC的周长18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且90APCD（1）证明平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位CM）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2,N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在3,之外的零件数，求PX及的数学期望；4（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3,之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸99510129969961001992998100410269911013100292210041005995经计算得1697IX，161622201IIISXX，其中IX为抽取的第I个零件的尺寸，,2用样本平均数作为的估计值，用样本标准差S作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除3,之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到001）附若随机变量Z服从正态分布2,N，则30974PZ，160974592，08920（12分）已知椭圆C21XYAB（AB0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，3），P4（1，3）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线L不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明L过定点21（12分）已知函数FX（AE2XA2EXX（1）讨论的单调性；（2）若F有两个零点，求A的取值范围（二）选考题共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为3COS,INXY（为参数），直线L的参数方程为4,1XATY（为参数）（1）若A1，求C与L的交点坐标；（2）若C上的点到L的距离的最大值为17，求A23选修45不等式选讲（10分）已知函数F（X）X2AX4，GXX1X1（1）当A1时，求不等式F（X）G（X）的解集；（2）若不等式F（X）G（X）的解集包含1，1，求A的取值范围52017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A2B3B4C5D6C7B8D9D10A11D12A二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13145151623315CM三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题共60分。17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为A，B，C，已知ABC的面积为23SINAA（1）求SINBSINC（2）若6COSBCOSC1，A3，求ABC的周长解（1）由题意可得21SIN23IASBCA，化简可得3A，根据正弦定理化简可得222SIISNCISINC3BB。（2）由SINC123COSSINCOS13CO6BAA，因此可得3，将之代入2SINCB中可得231SINSISINCOSIN032CC，化简可得TA,36B，利用正弦定理可得1SIN23ABA，同理可得3C，故而三角形的周长为2。18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且90BAPCD6（1）证明平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值（1）证明/,ABCDB,又P,PA、PD都在平面PAD内，故而可得。又AB在平面PAB内，故而平面PAB平面PAD。（2）解不妨设2ABCA，以AD中点O为原点，OA为X轴，OP为Z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标0,02,0,2,0PABACA，因此可得P，假设平面AB的法向量1,NXY，平面的法向量2,1NM，故而可得120120APAY，即1,0，同理可得22NCMNBAN，即2,1。因此法向量的夹角余弦值123COS,N。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为3。19（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位CM）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2,N（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在3,之外的零件数，求PX及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3,之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸995101299699610019929981004710269911013100292210041005995经计算得1697IX，161622201IIISXX，其中IX为抽取的第I个零件的尺寸，,2用样本平均数作为的估计值，用样本标准差S作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查剔除3,之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到001）附若随机变量Z服从正态分布2,N，则30974PZ，160974592，089解（1）16107409528PX由题意可得，X满足二项分布,B，因此可得6,62E（2）由（1）可得10485P，属于小概率事件，1故而如果出现3,的零件，需要进行检查。由题意可得AAA972394,3106，2故而在4,106范围外存在922这一个数据，因此需要进行检查。此时105X，159I。20（12分）已知椭圆C21XYAB（AB0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，3），P4（1，3）中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线L不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明L过定点解（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，32）不可能同时在椭圆上，P3（1，2），P4（1，32）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（1，2），P4（1，32），代入椭圆方程可得2,4BAA，8故而可得椭圆的标准方程为214XY。（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A为YK,P2B为KX联立214804YKXX，假设1,，2,Y此时可得22221418,4KKKAB，此时可求得直线的斜率为22212214884ABKKYKX，化简可得21ABKK，此时满足。当2时，AB两点重合，不合题意。1当K时，直线方程为22218144KKYXK，2即2241KXY，当时，因此直线恒过定点,。21（12分）已知函数FX（AE2XA2EXX（1）讨论的单调性；（2）若F有两个零点，求A的取值范围解（1）对函数进行求导可得211XXXXFEEAE。当0A时，10XF恒成立，故而函数恒递减1当时，LNXAX，故而可得函数在,LNA上单调递减，在2LN,A上单调递增。（2）函数有两个零点，故而可得0A，此时函数有极小值1LNL1FA，要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，故而可得1LN0A，令1GLNA，9对函数进行求导即可得到21G0A，故而函数恒递增，又G10，LNA，因此可得函数有两个零点的范围为,1A。（二）选考题共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为3COS,INXY（为参数），直线L的参数方程为4,1XATY（为参数）（1）若A1，求C与L的交点坐标；（2）若C上的点到L的距离的最大值为17，求A解将曲线C的参数方程化为直角方程为29XY，直线化为直角方程为14YXA（1）当A时，代入可得直线为134，联立曲线方程可得239XY，解得254XY或30XY，故而交点为2,5或3,0（2）点COS,INX到直线14XA的距离为COS4IN1717AD，即347A，化简可得173C