电动力学刘觉平版课后答案EDEX第3章

第三章电磁相互作用的基本规律目录目录目录目录习题31带电粒子在电磁场中的运动规律2习题32电磁场在外场作用下的运动规律2习题3电磁场的能动张量定理9习题34电磁场的角动量张量定理1习题35介质中的MAXWELL方程组12习题36介质中电磁场能动量与角动量定理23习题38波动方程30习题39平面电磁波的偏振35习题310电磁场的螺旋度38规范不变性的内容都空了，没有处理。最后两节也没有处理，不过本身做的很详细。其他都好好看了。习题311试证作用量INT0BPPFREASSSMCDSEADX在1U规范变换111AUAIUE下不变。式中EXPUIE证明2将带电粒子的加速度用它的速度以及电场强度和磁感强度表示出来解加速度定义DVADT由于03/2000212DMVDPDVDVDVMMVMAMVDTDTDTDTCDT所以5/25/222DPVVMAMAMAIAMDTCC而DPEEVBDT所以1AEEVBM其中5/22VMMIC，是一个二阶张量习题321证明由式（32）定义的电荷密度与式（323）定义的三维电流密度满足连续性方程。证明由式（32）知电荷密度为3LLLXQXX由式（323）知三维电流密度为33LLLLLLLDXDXDXJXQXXQXXDTDTDT有333LLLLLLLLLLLLXXXXDXQQTTXDTXXDXQXDT而3LLLLDXJQXXDT由于LDXDT与X无关,故3LLLLDXXXJQDTX所以0JT2试证直至A的一阶导数，除开一个常数因子，电磁场场强张量的对偶张量是在1U规范变换下不变的唯一的一个二阶赝张量。证明若有二阶张量T,则在空间反演变换下，张量TT满足关系TT由于是四阶赝张量,所以TTT即T是二阶赝张量,则由A和构成的二阶赝张量的普遍形式为TAAABACA若在定域规范变换AA下不变，则有TTAAABCT所以0ABC则TBF，即12FF是除开一个常数因子，唯一的二阶赝张量附书上已证明，在U（1）规范变换不变下，F是唯一的一个二阶张量。现在若存在一个不变的二阶赝张量，必然是F的组合，只有这样才能满足U（1）规范变换不变，另一方面，我们知道是唯一的四阶赝张量，所以12FF。3证明电磁场场强协变张量F分量表达式（3127），并导出相应的逆变，混变张量的分量表达式。证明F的分量表达式有FAA332112123123ZYXZZYYXXBAAAEAAEAAEBEBEBE考虑到F的协变形式，则121323ZYXFBFBFB同样考虑到F的协变形式，则00030120010203IIXYZXXYYZZACAECAETXCAAECAAECAAEEEEEEE所以010203XYZFECFECFEC又由FAA，知FF即，F为反对称张量，所以0000XYZXZYYZXZYXECECECECBBFCBECB导出逆变分量式，混变分量式0100010000010001000001000100000100010000XYZXZYYZXZYXXYZXZYYZXZYXFGGFECECECECBBCBECBECECECECBBCBECB0100010000010001000001000100000100010000XYZXZYYZXZYXXYZXZYYZXZYXFGGFECECECECBBCBECBECECECECBBCBECB0100010000010001000001000100000100010000XYZXZYYZXZYXXYZXZYYZXZYXFGFGECECECECBBCBECBECECECECBBCBECB4求出电磁场场强张量的对偶张量F的分量表达式，并证明F与F在所谓对偶变换BEC下互变。解12FGFGF因为0000XYZXZYYZXZYXECECECECBBFCBECB所以0000XYZXZYYZXZYXBBBBECECFECCBCEC所以010001000001000100000100010000010001XYZXZYYZXZYXBBBBECECFGFECCBCEC0000XYZXZYYZXZYXBBBBECECECCBCEC而0000XYZXZYYZXZYXECECECECBBFCBECB所以在对偶变换BEC下，F与F互变。证明EBC与222EBC在特殊LORENTZ变换下保持其形式不变解由F构造的LORENTZ不变量必有0F对行列式，行列互换并不改变其行列式，故仅仅包含的偶次方项才能出现而偶数阶行列式所有元素变号时，该行列式并不变又由FF，有0FFFF与此相应，在方程内，仅能有两个异于零的系数，即2与4的系数；亦即一个二阶反对称张量的特征是只有两个不变量代入0000YXZXZYYZXZYXEEECCCEBBCFEBBCEBBC，展开行列式得2422220EEBBCC故EBC与222EBC为不变量，在特殊LORENTZ变换下保持其形式不变这个证明比较有意思。下面给出一个通常的证明把电磁场按坐标系之间的速度方向分解成平行与垂直两部分，即/,EEEBB则在LORENTZ变换下，,EB的变换规律为/2,BBEEVEEVBBBEC所以2/222/2VBVEEBEBEBCVEBEBEBC所以EBEB可以证明22222222222,VEEVBBBEC所以222222222/2222211111EBEEBBEBEBEBCCCCC2事实上，由于2222/4FECBFEB由于他们都是收缩而成的LORENTZ标量，因而都是LORENTZ不变量。另一方面，由于F是赝张量，F是二阶张量，所以EB是赝标量。证明12FFGFEBFGC解对12FFGF，有1124FFFF1DET4GGGGGGFGGG1412GFGFGFGFGFGFGFFF将括号中第二项的及第三项的替换为，即得12FFGF这一题，由于涉及的都是二阶张量，可以用矩阵表示，所以可以利用矩阵乘法直接计算证明1先证第一式12FFGF22200000000XYZXYZXZYXZYYZXYZXZYXZYXYZZYXYYXXZZXYZZYYZXXXXYBBBBBBBECECBECECFECCECCBCECBCECBEBEBEBEBEBEBCCCBEBEEEEBBCC222222222222YZXZXXYZYXZZXZXXYYYZYXYYXZYXYZXZXZYZZEBCCEEBEBEEEBBBCCCCBEBEEEEEBBBCCCC2200000000YXZXYZXZYXZYYZXYZXZYXZYXYZZYXYYXXZZXYZZYXXZZEEECCCECECECEBBECBBCFCBEBBECBCEBBCBEBEBEBEBEBEECCCCBEBEEBBCC22222222XYZXYYXYZXXYZYXZZXZZXYXXYYZYXYYXZYYYZXZXZYXXZZEEBBCCEEBEBEEBBBBCCCCBEBEEEEBBBBCCCC于是2222EFTRACEFBC所以2222000000000000FFEBCEBCEBCEBC于是命题得证。附事实上，利用对偶关系/BEC，矩阵运算是十分简便快捷的。显然，F是对称矩阵，所以计算时只要算上三角元素和对角线元素，当算出后，利用对偶关系，可以直接得到F。所以实际运算量相当小。证明很简便。下面利用对偶关系，在给出一个提示性的证明由于对偶关系/BEC，FF所以我们可以假设FFT做一次对偶变换，则FFT所以TT若对两指标收缩，我们知道，2224/TECB所以可以简单地构造出2221/2TGECBGF因此只要证明这样的构造是唯一能满足2224/TTTECB且的构造。（尚未证明）2下面用矩阵相乘证明第二式EBFGC00000000/0000/0000/0000/XYZXYZXZYXZYYZXYZXZYXZYXECECECBBBECBBBECECFCBECCECBBCECEBCEBCEBCEBC直接就得到结论。非常简单。验证关于电磁场场强张量的JACOBI恒等式与两个齐次的MAXWEL方程等价解对0FFF，当时，由于方程本身是对这三个指标的轮换和电磁场场强张量的反对称性，,不重复的取法只有（0,12）0,13,0,23,1,23四种，故总共有四个独立的方程分别为0000YXZYXZYXZYXZEEBCTCXCYBEECTCXCZEBECTCYCZBBBYZ即0000YXZYXZYXZYXZEEBTXYBEETZXEBETYZBBBYZ等价于0EBTB而时0FFF，JACOBI恒等式恒成立且当,中有两个相同时，由FF知，该恒等式恒成立故0FFF与0EBTB等价8验证式0FJ与两个非齐次的MAXWEL方程等价解对0FJ，0时，有00FJ，即20YXZEEECYZ由0021C，有0E即0时0FJ等价于0E0时，分别令取1,23,有020202111YXZXYXZYYXZZBEBJYZCTEBBJXZCTBBEJXYCT等价于021BEJCT由上可知，0FJ等价于0021EBEJCT9、试由MAXWEL方程组的四维形式或三维形式推出电荷守恒定律解由MAXWEL方程0/E（1）021EBJCT（2）211CT得021/0ECT2得0210EBJCT两式相加可得0JT0B由四维形式推出电荷守恒定律0FJ0000011110FJJFFFJFFJ利用的反对称又可以得到10试从LORENTZ力密度公式导出LORENTZ力公式。解LORENTZ力密度公式FEJB对带电粒子，EXXTJV力密度公式对全空间积分得33,VVFDXFXDXEJBEEVB1试由作用量（320）40124FSDXFAAC导出电磁场场强张量F的定义式（3212）和真空中的无源MAXWEL方程。解作用量（320）式为40124FSDXFAAC出现在被积式中的F与A应当看成是相互独立的。由最小作用量原理得00FFSSFA此即44400DXFAAFDXFADXAF对于任意的F与A都成立，故0FAA/针对这一节用分量法难以处理电磁场场强张量的问题，我们提出一个有意思的做法，其核心思想就是分块矩阵。观察F矩阵，可以发现它可以划分为四部分0000ZYZXXYYZZXXYBBBFECCECECCEBEC黑色区域红色区域，绿色区域这两个只与电场有关，且是一个矢量形式。蓝色区域只与磁场有关，且是一个反对称矩阵。因此我们可以划分为四个分块矩阵，每一个矩阵内的元素我们又可以仍用分量表示。这就是一切的出发点。为了实现上面目的，需要利用一些结论命题1对一个三维反对称矩阵，可以收缩为一个三维向量；反之，给出一个三维矢量，可以构造一个三维的反对称矩阵。即1,2,IJJIIIJKJKIIJIJKKBBB对反对称矩阵由此构造的三维矢量为给出三维矢量可以构造三维反对称矩阵命题2对上面的两个构造方式，他们是可逆的。即12IIJKJKIJIJKKBB，收缩得到的矢量还能还原原来的矩阵。由于我们都是在闵科夫斯基空间中讨论，因此还必须严格区分逆变和协变。因此对上面的命题用逆变协变的形式写出来。12JKIIJKIJIJKKBB对矩阵收缩还原矩阵需要注意的是千万不要与第一章中的下标混淆。这里1231记住一点将他们理解为四维形式中的三维成分。就像F的蓝色矩阵块。命题3可以通过,IJIJGG上升和下降指标。111,1,11IJIJGG他们就是度规张量的三维部分。由于G在电动力学中有特殊意义，为不至于混淆，我们用代替。上面命题都很容易证明。下面我们就给出F的新形式0/JKIIJKECFECBJEE，KBB形式上可能不太恰当，左边是一个分量，右边是一个矩阵，不过可以看作是一个约定，像F，由于,0,12,3，所以是一个4的矩阵。像JE，由于1,2,3J，所以是一个三维矢量，从它在矩阵中位置可以看出，它还是一个行向量。像KIJKB，K指标已收缩掉，只剩I，J两个指标，所以它是一个3的矩阵。我想一般还不会引起混淆。利用公式2,JILLMNKMNNMIJKKIJKIJIJ它们都是四维形式的直接推论，始终取第一个指标为0。A求出电磁场场强张量的对偶张量F的分量表达式，并证明F与F在所谓对偶变换BEC下互变。解0/JKIIJKECFECB00001122JIIJFFFF显然00000FF0012JJFF，由于0是最小的，因此可略去不写，不会影响的值，另外，由于已取过指标零，所以只能取做M,N。M，N1，2，3故0011112222JJJMNJMNKJKJMNMNKKFFFBBB同样处理，或者直接利用0I的反对称性，得到0012IIIFFB000000111222IJIJIJIJMIJNIJMMNMFFFFFF对第三个等号做一些说明对第一项，由于已经取了指标0，所以只能取N1，2，3对第二项，由于已经取了指标I，J，K。所以只能取0000011/22IJIJNIJMIJNIJMIJKNMNMKFFFECECEC故0/JJIJKKBFBEC对比0/JKIIJKECFECB可以发现在对偶变换/IIIIECBBEC或者两者互变。写成三维形式就是BEC说明对上面的分量形式，直接的/IIIIECBBEC或者还不能完全变为另一个矩阵，例如从FF到，将/IKKIECBBEC用代入，用代入，只能得到0/JIJKKIECFECB，其实它在数值上是对的，但是形式上还有些问题。为此还要改造那些有指标的系数，一是为了满足正确的收缩法则（逆变指标与协变指标），二是为了体现整个张量是逆变的还是协变得。所以将IJK改写为IJK，注意改写时必须保持数值不变，所以这里有一个负号。现在我们在总结一下刚才的做法1选择可以作为矩阵行和列的指标，像上面，只能是,。2将一个四维指标拆成0，和一个三维指标I。从而写成矩阵块形式。000012JIIJFFF3常常可以利用一些项的对称性或某些特点，如的指标不能重复。因此可以用来化简。00011222JMNJMNMNMNIMNIJIMNIJKMNMNKFFFFF熟练后，将直接写出这样的形式。4将F的分块矩阵形式代入，运算。B证明12FFGFEBFGC先证明EBFGC0000JJIIFFF0000IIIIEEBFFBCC00/0IJKJIJIJKIKIIKEFFECECC00KJIIJKFB00/JJMJJKMJLIIIMIIMKLJJLLJKIIKIKLJKJIKIFFFECBBECEBBECCBEBECC所以00JIBECFBEC得证。再证明12FFGF0000JJIIFFF00IIFBBB0/IJIJKIIKEBFBECC0/KJIIJKEBFECBC0022/JJMJJKMJLIIIMIIMKLJKJJIKIIFFFBBECECEEBCC所以22JKJJIKIIEBBCFEEEBBCCC利用对偶变换，得到2222JKJJIKIIEEBCCFEBEBBCCC所以22222200JIEBCFFEBC00002222/22IJIIJIIKIJLIIIJKLIIIIIFFFFECECBBECECEEBBCC因此得证。C验证式0FJ与两个非齐次的MAXWEL方程等价0F与两个齐次的MAXWEL方程。证明10F与两个齐次的MAXWEL方程。00/IKJIJKJIIBBFXFEFECBCTCXX所以0BBET20FJ与两个非齐次的MAXWEL方程等价00020/KIJKJJIIIECECXFCFJBECFBCTXX利用0021C002/EEBJCT习题31证明纯电磁场能动张量是规范无关的,守恒的,对称的无迹张量证明0XYZXYZUCGCGCGCGTCGFCG其中001FUIEB1显然0T为对称二阶张量下面给一个纯代数证明00000000000114114114114114TGFFTGFFTGFFGFTGFFTGFFFT20TRT22001UUEB220012UEB0纯分量语言证明0000114112VTGFFTFFG至此，就较难进行下去了，必须将电磁场场强张量用矢势表示出来才成。3由定义,知0TTGJAJA其中,0T能动张量作为可测量,应当与选取的规范无关对于,GJAJAGJAJAGJAJAJA由连续性方程0J,0GJAJA即规范无关0T是规范无关的0014TGFF2220124EGBGFC22201324EGBC为LORENTZ不变量/肯定有问题0T守恒前面已经计算2222/FBEC222IJEEBCCFEBBBEC所以222VIJEEBCCFFGFEBBBEC所以0002222202222222022211441/121/21/121/2VIJIJIJTGFFGFFEEBBECCCEBBECBBECEBBECCEBBECBEC显然，它是对称且无迹的。下面证明他是守恒的。显然这里的守恒不是指LORENTZ不变性，因为它是一个二阶张量，不变二阶张量只能与度规张量相差一个倍数。0T前面一部分确实是一个不变二阶张量，后面显然不是了，非对角线上的元素不全为零。这里的守恒应是指能量流守恒，即00T无源时20,EEBCT先证00T即证明2221/02EBBECCTC3321010BEEBBECTCTCBEBECTCTCCTCT成立再证明00JT即证明2221/02EBBECIBECTC22222222222221/0211/1/EEBEBIBECBCTCTCEBBEIBECBBBEEECCCBBBECEBECC21BBEEC成立这样我们就证明了能量流守恒。2证明恒等式212AAAAAI证明左AAAIIJJIJIJKKLMLMAEAAEIIJJIJILJMIMLJLMAEAAE分别取IL,JMJL,IM（进行哑指标替换,ILJMJLIM）原式IIJJIIIJIJJIAEAEAE右212AAI22112IIJJAEIAAI0I212IIJJJIIJAAEAAEIA12IIJJJIIJIJIJIIAAEAAEIEA12IIJJJIIJIJJIJIAAEAAEIAAEIIJJJIIJJIJIAAEAAEAAE左右直接的观察法AAAAAAA故左边AAAAAAAAAA22111222AIAIAIAIA所以右边AAAA故左边等于右边习题341证明恒等式FRRF，式中F是二阶张量。证明LJKLJIJKIKLJIJKIIJKKIIJKLJILLLLLJLJIJKKIIJKLKLJIIKJKIIJKKJILLFRFREFEERFREREFEXXXXFFREFEREFEXX因为KJJKFF，所以0IJKKJFE又有LJIKJKLFRERFX这就证明了FRRF。附形式化证明利用FRRFRRFFRFRFRRFRRFR只对微分右边点乘和叉乘作用的不是同一个指标左边2在无穷小规范变换下，电磁场的正则角动量密度张量01XTXTFAFA如何变换解因为F是规范不变的，所以在规范变换AA下，T的变换如下01TTGJFJ将上面两式带入中，并注意到F和X都是规范无关的01XTXTFAFA000000111111XTGJFJXTGJFJFAFAFFUXGJFXGJFJXX01FF习题351有一内外半径分别为1R和2R的空心介质球，介质的介电常量为。若介质均匀地带有静止的传导电荷，且传导电荷密度为F，求1空间各点的电场；（2）极化体电荷与极化面电荷分布。解1在2RR处，取与介质球同心的球面S为GAUS面，由0SQDEI，332143FRRQ得，33212303FRRERRRR在12RRR处，取圆心在圆柱中心线上的圆形环路L，由0021LSSSDLBDEJDJDCTIIII得，221202FRRBRRJRR在12RRR0（电荷守恒）由高斯定理0DDQ11FDSS121FDD111222/FFED1122由12ELELE,得1122/FFLL1E即112/FLL12E故有1122112/FFFLLLL1212/EE2而由介质分界面上的边值关系12213FND这里12D与同方向,且12DD故12213FND0若介质漏电,1121122D/FFFFDED211122212JJJ在介质分界面上是连续的故有即12EE12,有FF112212112ELELE有12FFLL12E2213FDFF21有230FFF13联解123式有121212FFFLLLLLL12211221212112321EEE5证明1当两种绝缘介质分界面上不带自由电荷,在分界面上有1TAN/TAN/221式中12与分别为两种介质的介电常量,12与分别为绝缘介质交界面两侧电场线与界面法线的夹角2当两种导电介质内有稳恒电流流动时,在分界面上有1TAN/TAN/221式中12与分别为两种介质的电导率,12与分别为导电介质交界面两侧电流线与界面法线的夹角解1由122112210FNDNEE知2/1/0EE又介质分界面不带电荷,0F所以12210ND由上两式有2112COSCOSSINSINEE221112两式相乘化简有21TANTAN123在两介质分界面上有电流法向连续，12120NJJ由OHM定律得21COSCOSEE2211而12SINSINEE12仍成立两式相乘化简既有TANTAN22116证明在两种磁导率分别为12与的绝缘介质分界面上有1TAN/TAN/221式中,12与分别为介质交界面两侧的磁场强度12H和与界面法线的夹角解已知边值关系有122112210FNBBNHH2/1/22110,SINSINFHHH因为由第二式有即有21222111COSCOSBBHH而由第一式又有即有上两式相除并化简得2211TANTAN,即得证7两种各向同性的均匀导电介质在S面相接，且有以稳恒电流J流过变截面S。证明边界上的面电荷密度为121/NJ221式中12N是边界面的法向（指向介质2内部），而I和I分别是第I介质的介电常量与电导率。解112N2由边界条件2112FNDD,21120NEE由于是线性介质，所以有IIIDE得知面电荷密度2112FNDD以及两介质中的电场强度IE与边界面平行的方向的分量是相等的，而垂直于边界面的分量满足2112FEEN21由欧姆定律的微分形式，/EJ所以221112/FJJN2由于面电荷密度是一个常量，由电荷守恒，稳恒电流满足12SSDJDJ相应的边值关系是121122NJNJ所以121/JN2218试利用边界关系证明，在绝缘介质与导电介质的分界面上，（1）在静电情形下，导体外的电场线总是垂直于导体表面（2）在稳恒电流情形下，导体内的电场线总是平行于导体表面解导体212N（1）在静电情况下，导体是一个等势体，导体内电场强度为0，由边界条件21120NEE得到1120NE仅有12N与1E平行时或为零时才会有此结果。因此，当绝缘体中的电场不为零时，电场线是垂直于边界面的。（2）在稳恒电流情况下，系统具有时间平移不变性，边界面电荷密度F将不会是时间T的函数。（由10FCEJ相应的边值关系是120NE式中12N是导体表面的外法向。所以，在导体内部，仅平行于导体表面的电场的分量不为零。）在边界面上做一个小扁平盒绝缘体1形区域，如图，J那么当该区域的高趋向于无穷小时，有电荷守恒，将不会有J通过该扁平盒的底部进入或穿出该区域，即，J与该区域的底平行，即在极限情况下平行于边界面，由欧姆定律的微分形式JE，得知E也平行于边界面。可以简单的用数学语言表示在稳恒电流情况下，电流沿法向连续12120NJJ由于另外一边介质是绝缘体，所以20J所以1210NJ由OHM定律，JE，可得1210NE，即电场在法向方向的分量为0，所以电场线全部平行于导体表面。9在一般情况下，电导率C是电场E与磁场B的函数，试利用电磁场在空间转动与空间反演下的性质，证明置于弱场中的导体或半导体遵从广义OHM定律2IEJRBJBJBJB02式中0是无磁场时的电阻率，R是HAL系数，I也是仅与导体或半导体结构有关的常数。证明/CEJJ现在考虑到有弱磁场，应是B函数，同时J也不可能完全在外（不可能只是函数的一个因子），即22,BJBJBJBJBBBJBJBBJBJB考虑到J是从外面作用进去的，所以每一项自变量都应含有J，再是若假定E仍为矢量，则所有自变量应都为矢量形式，若不然，最后泰勒展开时，等号右边将出现高阶张量，标量和矢量的混合形式，不可能等于左边（一个矢量）。于是2,JBJBJBJB，并将高阶的自变量舍去，因为B小量。要说明的是还有一项BJB，但是它可以由上面的项线性表出BJBBJBJB最后泰勒展开，得2IEJRBJBJBJB02取B0时，上式化为0EJ，所以0就是无磁场时的电阻率。考虑B的一阶项，REBJ，应是由HAL效应产生的附加电场，FEJB，平衡时，F0，所以11EJBJBRBJNE，所以R确为HAL系数。10若磁感应场随时间的变化率为,TBR证明在没有电荷的空间中相应的电场为331,4TTDXRBRER式中RRR解因为114RR且作用在R上,所以有333,11,411,4TDXDXRDXRERERTRERTERT333331,41,411,4TTDXRTDXRDXTRBRERRERER即要证明11,TRRERTER记1RA,因为,E0A0MLKLIJKIJMILJMJLILIJJMJIIMIJJIIJJIIAEAEAEAEAEE不太看得懂。所以11,TRRERTER我们直接证明E满足MAXWEL方程组3333311100444RREDXBDXBDXB333333333311441144414RRREDXBDXBBRDXRRBDXBRBDXB但是，对后面一项，看不出来他等于01在各向异性的线性介质中,本构关系为,IIJJIIJJDEBH式中,IJJIIJJI证明11,22TTEDEDHBHBHHHHHH因为IIJJDE,所以IIIJJIJJEDEED1122TEDEDEDED同理12THBHBHHHHHH12有一稳恒电磁场,其电场强度E与磁感强度B都是均匀的试证相应的矢势与标势可表示为1,2ABRER因为是稳恒场,所以A0又因为场均匀,所以,E0B0AERERE131222BRBRBABR由,A的唯一性,命题得证事实上，也可以直接导出结论BASDDLA1122SBDBRDLDLBR由于L是任意的围道，所以12ABR对稳恒电场E（0AT）所以DVDDDDDVEEDLERE上面第二个等号利用了电场方向与面元法向相同，第三个等号利用了E是均匀的，与R无关。ER13试导出传导电荷守恒定律在导电介质与绝缘介质交界面上的形式解如上图,在介质1,2分界面取小扁平盒,底为12N,高为12N小扁平盒体积31212DXNN,3FFFVDXTTT当,很小其中F为传导电荷密度12112212211212FFFFLFFFLDJNJNJDLNJJJNDLNJ,FJ为传导电流密度,DL12N为小扁平盒侧面面元面元的法向向外121212121212FFLFFFSSFDLNJDLNJDNJDNJNNJJ其中S为L所围面积即小盒底面由传导电荷守恒定律30FVFDXDJT,有21120FFFFJJNJT,又任意,21120FFFFJJNJT令0,0LIMFFJ,0LIMFF,F,F分别为面传导电流密度和面传导电荷密度故21120FFFFJJNT这就是课本公式（3523）若两种介质一种导电,一种绝缘,不妨设2导电,1绝缘，由于绝缘介质中不能有自由电流，所以10FJ所以2120FFFJNT14设在线性各向同性介质内无源区域中的电磁场分布为,AAEH,而,BBEH是同一区域中的另一种电磁场分布,它们均是时间的正弦函数且频率与初相位相同,试证LORENTZ引理ABBAEHEH解各向同性的无源线性介质中,BHETT1,EBT即EHT2ABBAEHEHBAABABBAABBABAABHEEHHEEHEEHHTTTT设该空间中两电场分布为01COSAAEETN,02COSBBEETN,为两单位方向矢量代入上式，显然成立。,从而ABBAEHEH成立。15证明介质中的无源即没有传导电荷与传导电流MAXWEL方程组在对偶变换0000EHHEPMCMCP下保持相同的形式解由介质中的无源MAXWEL方程组00000PEBEHMTTBHMDHEPTT及2001C,在对偶变换下0000EHHEPMCMCP中第一式0001MHHMC即为中第三式同样可证,中第二式在对偶变换下变为00000HECPT,利用2001C即得原第四式,第三式在对偶变换下变为0000PECPE即为原第一式,第四式在对偶变换下变为00000EHMCT0BEHMTT得到原第二式下面我们用电磁场场强张量来考虑这个问题四维的MAXWEL方程0012FFJ在介质中，由于方程（1）与源无关，故仍然成立。方程（2）也可以认为仍然成立，只是VJ要加以修改FFPCJPJMT，将其分解为VFIJJ和两项。,FVVFIFPCCJJJMT。VIJ是诱导电流密度，写成协变形式0IIIJKIIJKPCJCM所谓无源，就是0FJ，所以0IFJ即000000IIIIJKJIIJKIJIIPCFFCMFF所以令000IOIOIIIHFPCCEP0000OIIIIIHFPCCEP，故00IIHH000/KKKIJIJIJKIJKHFMBM则有0H定义00,/IIIIIIDEPHBM则0000JKIIJKCDHCDH这就是书上公式（351）与0/JKIIJKBFBEC比较可得在对偶变换00/,KKIIHECCDB下，FH变为写成三维形式，就是0000000/HECEHCEPHMPCM习题361在一半径为A、电导率为C的无穷长直圆柱形导体中，有一均匀恒电流I沿轴线方向流动。求导体表面的能流密度矢量；并证明在单位长度上通过导体表面从外面流入的电磁场能量全部转化为这段导体上消耗的JOULE热。解因为是无穷长直圆柱形导体，且通均匀恒电流，由MAXWEL方程有00022LIDLBIBAIBA由OHM定律有2CCCJIJEEA以导体轴线为Z轴（与I同向）建立柱坐标系。则2ZCIEEA,02IBEA故为导体表面的能流密度矢量2022300112ZRCCIIISEBEEEAAA要注意的是这里将导体表面看作是真空情形，若看作是有介质的，仍不影响结果。证明长度为DL单位时间通过导体表面从外面流入的电磁场能量为222322SCCIIDNSDADLDLAA（1）上面积分利用了S的方向特点。又由JOULEHEATINGLAW有2PIR则长度DL的这段导体单位时间消耗的JOULE热为22222CCDLIDPIDRIDLAA（2）由（1）（2）式可知DNDP故在单位长度上通过导体表面从外面流入的电磁场能量全部转化为这段导体上消耗的JOULE热。即证。2有一同轴电缆，内外导体柱的半径分别为A和B，两柱间为真空，导体可视为理想导体（即其电导率无穷大）。若馈电电压（两柱间的电势差）为U，电流为I，求内外导体柱之间的能流密度矢量。解由高斯定理可得半径为R处的电场大小为02ER（1）其中为线电荷密度。则两柱间的电势差为00LN22BBAABUEDLDRRA（2）即02LNUBA（3）（3）代入（1）得LNU