数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第1章

时域离散信号和时域离散系统第1章第1章时域离散信号和时域离散系统11学习要点与重要公式12解线性卷积的方法13例题14习题与上机题解答时域离散信号和时域离散系统第1章11学习要点与重要公式本章内容是全书的基础。学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念。数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件实现，数字系统则通过运算方法实现。如果读者对本章关于时域离散信号与系统的若干基本概念不清楚，则学到数字滤波器时，会感到“数字信号处理”这门课不好掌握，总觉得学习的不踏实。因此学好本章是极其重要的。时域离散信号和时域离散系统第1章111学习要点（1）信号模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别；常用的时域离散信号；如何判断信号是周期性的，其周期如何计算等。（2）系统什么是系统的线性、时不变性以及因果性、稳定性；线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法（列表法）、解析法，以及用MATLAB工具箱函数求解；线性常系数差分方程的递推解法。（3）模拟信号的采样与恢复采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。时域离散信号和时域离散系统第1章112重要公式（1）MNHNXMNHMXNY这是一个线性卷积公式，注意公式中是在之间对M求和。如果公式中XN和HN分别是系统的输入和单位脉冲响应，YN是系统输出，则该式说明系统的输入、输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。时域离散信号和时域离散系统第1章（2）XNXNN该式说明任何序列与N的线性卷积等于原序列。XNN0XNNN0（3）KANKXTXJJ1JS这是关于采样定理的重要公式，根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。NAATNTTTNTTNTXTX/SIN这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。时域离散信号和时域离散系统第1章12解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。解线性卷积有三种方法，即图解法（列表法）、解析法和在计算机上用MATLAB语言求解。它们各有特点。图解法（列表法）适合于简单情况，短序列的线性卷积，因此考试中常用，不容易得到封闭解。解析法适合于用公式表示序列的线性卷积，得到的是封闭解，考试中会出现简单情况的解析法求解。解析法求解过程中，关键问题是确定求和限，求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积，实验中常用。时域离散信号和时域离散系统第1章解线性卷积也可用Z变换法，以及离散傅里叶变换求解，这是后面几章的内容。下面通过例题说明。设XNR4N,HNR4N，求YNXNHN。该题是两个短序列的线性卷积，可以用图解法（列表法）或者解析法求解。表121给出了图解法（列表法），用公式可表示为YN,0,0,1,2,3,4,3,2,1,0,0,时域离散信号和时域离散系统第1章时域离散信号和时域离散系统第1章下面用解析法求解，写出卷积公式为MMMNRMRMNHMXNY44在该例题中，R4M的非零区间为0M3，R4NM的非零区间为0NM3，或写成N3MN，这样YN的非零区间要求M同时满足下面两个不等式0M3M3MN上面公式表明M的取值和N的取值有关，需要将N作分段的假设。按照上式，当N变化时，M应该按下式取值时域离散信号和时域离散系统第1章MAX0,N3MMIN3,N当0N3时，下限应该是0，上限应该是N；当4N6时，下限应该是N3，上限应该是3；当N6时，上面的不等式不成立，因此YN0；这样将N分成三种情况计算（1）N6时，YN0（2）0N3时，NMNNY011时域离散信号和时域离散系统第1章（3）4N6时，NNMNNY371将YN写成一个表达式，如下式YN071NNNY0N34N6其它时域离散信号和时域离散系统第1章在封闭式求解过程中，有时候决定求和的上下限有些麻烦，可借助于非零值区间的示意图确定求和限。在该例题中，非零值区间的示意图如图121所示。在图121B中，当N0时,0011MMMMAAANS最后得到111NUNUAANSN1J2JNUNHN例133设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应HN和输入激励信号XN分别为时域离散信号和时域离散系统第1章XNCOSNUN求系统的稳态响应YN。解XNCOSNUN1NUN2J12J1112J112J12J10NNNMMNNMNMNMNMNMUMNXMHNY时域离散信号和时域离散系统第1章当N时，稳态解为J2J541NNY例134假设5项滑动平均滤波器的差分方程为YNXNXN1XN2XN3XN4输入信号用图131表示，画出该滤波器输出的前16个序列值的波形，并说明该滤波器对输入信号起什么作用。51时域离散信号和时域离散系统第1章图131时域离散信号和时域离散系统第1章解已知系统的差分方程和输入信号求系统输出，可以用递推法求解，这里采用MATLAB函数FILTER计算。调用MATLAB函数FILTER计算该系统的系统响应的程EXP134M如下程序EXP134M调用CONV实现5项滑动平均滤波XN05ONES1，15；XN41；XN61；XN101；HNONES1，5；YNCONVHN，XN；时域离散信号和时域离散系统第1章以下为绘图部分N0LENGTHYN1；SUBPLOT2，1，1；STEMN，YN，XLABELN；YLABELYN程序运行结果如图132所示。由图形可以看出，5项滑动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用，将信号的第4、8、12、16的序列值平滑去掉。时域离散信号和时域离散系统第1章图132时域离散信号和时域离散系统第1章例135已知X1NN3N12N2，X2NUNUN3，试求信号XN，它满足XNX1NX2N,并画出XN的波形。解这是一个简单的计算线性卷积的题目。XNX1NX2NN3N12N2UNUN3N3N12N2R3NR3N3R3N12R3N2N4N16N25N32N4画出XN的波形如图133所示。时域离散信号和时域离散系统第1章图133时域离散信号和时域离散系统第1章例136已知离散信号XN如图134A所示，试求YNX2NXN，并绘出YN的波形。（选自西安交通大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题）解这也是一个计算线性卷积的题目，只不过要先求出X2N。解该题适合用列表法图解法。X2N1,1,1,05YNX2NXN1,2,3,3,3,3,275,2,1,025绘出YN的波形如图134B所示。时域离散信号和时域离散系统第1章图134时域离散信号和时域离散系统第1章14习题与上机题解答1用单位脉冲序列N及其加权和表示题1图所示的序列。题1图时域离散信号和时域离散系统第1章解XNN42N2N12NN12N24N305N42N62给定信号2N54N160N40其它1画出XN序列的波形，标上各序列值；2试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示XN序列；XN时域离散信号和时域离散系统第1章（3）令X1N2XN2，试画出X1N波形；（4）令X2N2XN2，试画出X2N波形；（5）令X3NX2N，试画出X3N波形。解1XN序列的波形如题2解图（一）所示。2XN3N4N3N23N16N6N16N26N36N44014652MMMNMNM时域离散信号和时域离散系统第1章（3）X1N的波形是XN的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。4X2N的波形是XN的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。5画X3N时，先画XN的波形即将XN的波形以纵轴为中心翻转180，然后再右移2位，X3N波形如题2解图（四）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第1章3判断下面的序列是否是周期的若是周期的，确定其周期。是常数ANANX873COS81JENNX12解（1）因为,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T14。（2）因为,所以16,这是无理数，因此是非周期序列。738123142时域离散信号和时域离散系统第1章4对题1图给出的XN要求1画出XN的波形；2计算XENXNXN，并画出XEN波形；3计算XONXNXN，并画出XON波形4令X1NXENXON,将X1N与XN进行比较，你能得到什么结论2121时域离散信号和时域离散系统第1章解（1）XN的波形如题4解图（一）所示。2将XN与XN的波形对应相加，再除以2，得到XEN。毫无疑问，这是一个偶对称序列。XEN的波形如题4解图（二）所示。3画出XON的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章4很容易证明XNX1NXENXON上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中2的公式计算，奇对称序列可以用题中3的公式计算。5设系统分别用下面的差分方程描述，XN与YN分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）YNXN2XN13XN2（2）YN2XN3（3）YNXNN0N0为整常数（4）YNXN时域离散信号和时域离散系统第1章（5）YNX2N（6）YNXN2（7）YN（8）YNXNSINN解（1）令输入为XNN0输出为YNXNN02XNN013XNN02YNN0XNN02XNN013NN02YNNMMX0时域离散信号和时域离散系统第1章故该系统是非时变系统。因为YNTAX1NBX2NAX1NBX2N2AX1N1BX2N13AX1N2BX2N2TAX1NAX1N2AX1N13AX1N2TBX2NBX2N2BX2N13BX2N2所以TAX1NBX2NATX1NBTX2N故该系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（2）令输入为XNN0输出为YN2XNN03YNN02XNN03YN故该系统是非时变的。由于TAX1NBX2N2AX1N2BX2N3TAX1N2AX1N3TBX2N2BX2N3TAX1NBX2NATX1NBTX2N故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章3这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为XNN1输出为YNXNN1N0YNN1XNN1N0YN故延时器是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1NN0BX2NN0ATX1NBTX2N故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章4YNXN令输入为XNN0输出为YNXNN0YNN0XNN0YN因此系统是线性系统。由于TAX1NBX2NAX1NBX2NATX1NBTX2N因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（5）YNX2N令输入为XNN0输出为YNX2NN0YNN0X2NN0YN故系统是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1NBX2N2ATX1NBTX2NAX21NBX22N因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（6）YNXN2令输入为XNN0输出为YNXNN02YNN0XNN02YN故系统是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1N2BX2N2ATX1NBTX2N故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（7）YNXM令输入为XNN0输出为YN0DDXMN0YNN0XMYN故系统是时变系统。由于TAX1NBX2NAX1MBX2MATX1NBTX2N故系统是线性系统。NM0NM000NNMNM0时域离散信号和时域离散系统第1章（8）YNXNSINN令输入为XNN0输出为YNXNN0SINNYNN0XNN0SINNN0YN故系统不是非时变系统。由于TAX1NBX2NAX1NSINNBX2NSINNATX1NBTX2N故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章6给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）YNXNK（2）YNXNXN1（3）YNXK（4）YNXNN0（5）YNEXN101NKN00NNNNK时域离散信号和时域离散系统第1章解（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与N时刻的和N时刻以前的输入有关。如果|XN|M，则|YN|M，因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统，因为N时间的输出还和N时间以后（N1）时间）的输入有关。如果|XN|M,则|YN|XN|XN1|2M,因此系统是稳定系统。（3）如果|XN|M，则|YN|XK|2N01|M，因此系统是稳定的；假设N00，系统是非因果的，因为输出还和XN的将来值有关。00NNNNK时域离散信号和时域离散系统第1章M（4）假设N00，系统是因果系统，因为N时刻输出只和N时刻以后的输入有关。如果|XN|M,则|YN|M，因此系统是稳定的。（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于XN的未来值。如果|XN|M,则|YN|EXN|E|XN|EM，因此系统是稳定的。7设线性时不变系统的单位脉冲响应HN和输入序列XN如题7图所示，要求画出YN输出的波形。解解法（一）采用列表法。YNXNHNXMHNM时域离散信号和时域离散系统第1章题7图时域离散信号和时域离散系统第1章YN2,1,05,2,1,45,2,1N2,1,0,1,2,3,4,5时域离散信号和时域离散系统第1章解法（二）采用解析法。按照题7图写出XN和HN的表达式分别为XNN2N12N3HN2NN1N2由于XNNXNXNANKAXNK故21时域离散信号和时域离散系统第1章YNXNHNXN2NN1N22XNXN1XN2将XN的表示式代入上式，得到YN2N2N105N2N1N245N32N4N52121时域离散信号和时域离散系统第1章8设线性时不变系统的单位脉冲响应HN和输入XN分别有以下三种情况，分别求出输出YN。（1）HNR4N,XNR5N（2）HN2R4N,XNNN2（3）HN05NUN,XNR5N解（1）YNXNHNR4MR5NM先确定求和域。由R4M和R5NM确定Y（N）对于M的非零区间如下0M34MNM时域离散信号和时域离散系统第1章根据非零区间，将N分成四种情况求解N7时，YN0NM034NM时域离散信号和时域离散系统第1章最后结果为0N7N10N38N4N7YN的波形如题8解图（一）所示。2YN2R4NNN22R4N2R4N22NN1N4N5YN的波形如题8解图（二）所示YN时域离散信号和时域离散系统第1章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章3YNXNHNR5M05NMUNM05NR5M05MUNMY（N）对于M的非零区间为0M4,MNN0时，YN00N4时，MM时域离散信号和时域离散系统第1章NMNMNNY0115015015050105N105N205NN5时NNMMNNY50315050150150504015最后写成统一表达式YN205NR5N3105NUN5时域离散信号和时域离散系统第1章9证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立（1）XNHNHNXN（2）XNH1NH2NXNH1NH2N（3）XNH1NH2NXNH1NXNH2N证明（1）因为令MNM,则MMNHMXNHNXNXNHMHMNXNHNXM时域离散信号和时域离散系统第1章2利用上面已证明的结果，得到12121221KMNHKHMXMNHMNHMXNHNHNXNHNHNXMKM时域离散信号和时域离散系统第1章交换求和号的次序，得到121221KNHKNXKHKMNHMXKHNHNHNXKMK12NHNXNH21NHNHNX时域离散信号和时域离散系统第1章321212121NHNXNHNXMNHMXMNHMXMNHMNHMXNHNHNXMMM10设系统的单位脉冲响应HN3/805NUN，系统的输入XN是一些观测数据，设XNX0,X1,X2,XK,，试利用递推法求系统的输出YN。递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第1章解508350830MNNMMMNMMXMNUXNHNXNYN0时，N0083XNYN1时，5083508310110XXXNYMMM时域离散信号和时域离散系统第1章50508350832102220XXXXNYMMMN2时，最后得到NMMNMXNY0508311设系统由下面差分方程描述121121NXNXNYNY设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第1章解令XNN,则121121NNNHNHN0时，112101210HHN1时，1212102110211HH时域离散信号和时域离散系统第1章N2时，211212HHN3时，2212213HH归纳起来，结果为1211NNUNHN时域离散信号和时域离散系统第1章12设系统用一阶差分方程YNAYN1XN描述，初始条件Y10，试分析该系统是否是线性非时变系统。解分析的方法是让系统输入分别为N、N1、NN1时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。（1）令XNN,这时系统的输出用Y1N表示。111NNAYNY该情况在教材例141中已求出，系统的输出为Y1NANUN时域离散信号和时域离散系统第1章2令XNN1，这时系统的输出用Y2N表示。1122NNAYNYN0时，011022YAYN1时，100122YAYN2时，AYAY1122212NANY任意N时，时域离散信号和时域离散系统第1章最后得到112NUANYN3令XNNN1,系统的输出用Y3N表示。1133NNNAYNYN0时，N1时，1101033YAY1010133AYAYN2时，23311212AAAAYAY时域离散信号和时域离散系统第1章N3时，任意N时，322332323AAAAAYAY13NNAANY最后得到113NUANUANYNN时域离散信号和时域离散系统第1章由（1）和（2）得到Y1NTN,Y2NTN1Y1NY2N1因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此Y3NTNN1。观察Y1N、Y2N、Y3N，得到Y3NY1NY2N，因此该系统是线性系统。最后得到结论用差分方程YNAYN1XN,0A1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。时域离散信号和时域离散系统第1章13有一连续信号XATCOS2FT，式中，F20HZ,/2。（1）求出XAT的周期；（2）用采样间隔T002S对XAT进行采样，试写出采样信号的表达式；（3）画出对应的时域离散信号（序列）XN的波形，并求出XN的周期。解（1）XAT的周期为TXATXAS0501FT时域离散信号和时域离散系统第1章40COS2COSNTTNTNTTFNTTXNNA（2）（3）XN的数字频率08，故，因而周期N5，所以XNCOS08N/2画出其波形如题13解图所示。252时域离散信号和时域离散系统第1章题13解图时域离散信号和时域离散系统第1章14已知滑动平均滤波器的差分方程为432151NXNXNXNXNXNY（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如前面例134的图131所示，试求出YN并画出它的波形。解（1）将题中差分方程中的XN用N代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即432151NNNNNNH时域离散信号和时域离散系统第1章（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号YN为KKNHKXNY表141表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中XK不动，HK反转后变成HK，HNK则随着N的加大向右滑动，每滑动一次，将HNK和XK对应相乘，再相加和平均，得到相应的YN。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图132所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。时域离散信号和时域离散系统第1章时域离散信号和时域离散系统第1章15已知系统的差分方程和输入信号分别为22121NXNXNYNY1,2,4,3,2,1NX用递推法计算系统的零状态响应。解求解程序EX115M如下程序EX115M调用FILTER解差分方程YN05YN1XN2XN2XN1，2，3，4，2，1，ZEROS1，10；XN单位脉冲序列，长度N31B1，0，2；A1，05；差分方程系数时域离散信号和时域离散系统第1章YNFILTERB，A，XN调用FILTER解差分方程，求系统输出信号YNN0LENGTHYN1；SUBPLOT3，2，1；STEMN，YN，；AXIS1，15，2，8TITLE系统的零状态响应；XLABELN；YLABELYN程序运行结果时域离散信号和时域离散系统第1章YN1000015000425005875050625646880765616172080860404302021010110050500253001260006300032000160000800004000020000100000000000000000000程序运行结果的YN波形图如题15解图所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题15解图时域离散信号和时域离散系统第1章16已知两个系统的差分方程分别为（1）YN06YN1008YN2XN（2）YN07YN101YN22XNXN2分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。解（1）系统差分方程的系数向量为B11，A11，06，008（2）系统差分方程的系数向量为B22，0，1,A21，07，01时域离散信号和时域离散系统第1章调用MATLAB函数FILTER计算两个系统的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应的程序EX116M如下程序EX116MB11；A11，06，008；设差分方程（1）系数向量B22，0，1；A21，07，01；设差分方程（2）系数向量系统1XN1，ZEROS1，30；XN单位脉冲序列，长度N31XIFILTICB1，A1，YS；由初始条件计算等效初始条件输入序列XI时域离散信号和时域离散系统第1章HN1FILTERB1，A1，XN，XI；调用FILTER解差分方程，求系统输出信号HN1N0LENGTHHN11；SUBPLOT3，2，1；STEMN，HN1，TITLEA系统1的系统单位脉冲响应；XLABELN；YLABELHNXNONES1，30；XN单位阶跃序列，长度N31SN1FILTERB1，A1，XN，XI；调用FILTER解差分方程，求系统输出信号SN1N0LENGTHSN11；SUBPLOT3，2，2；STEMN，SN1，时域离散信号和时域离散系统第1章ITLEB系统1的单位阶跃响应；XLABELN；YLABELSN系统2XN1，ZEROS1，30；XN单位脉冲序列，长度N31XIFILTICB2，A2，YS；由初始条件计算等效初始条件输入序列XIHN2FILTERB2，A2，XN，XI；调用FILTER解差分方程，求系统输出信号HN2N0LENGTHHN21；SUBPLOT3，2，5；STEMN，HN2，时域离散信号和时域离散系统第1章TITLEA系统2的系统单位脉冲响应；XLABELN；YLABELHNXNONES1，30；XN单位阶跃序列，长度N31SN2FILTERB2，A2，XN，XI；调用FILTER解差分方程，求系统输出信号SN2N0LENGTHSN21；SUBPLOT3，2，6；STEMN，SN2，TITLEB系统2的单位阶跃响应；XLABELN；YLABELSN程序运行结果如题16解图所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题16解图时域离散信号和时域离散系统第1章17已知系统的差分方程为YNA1YN1A2YN2BXN其中,A108,A2064,B0866。（1）编写求解系统单位脉冲响应HN0N49的程序，并画出HN0N49；（2）编写求解系统零状态单位阶跃响应SN0N100）的程序，并画出SN0N100）。时域离散信号和时域离散系统第1章解调用MATLAB函数FILTER计算该系统的系统响应的程序EX117M如下程序EX117M调用F