无锡市宜兴XX中学2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2016年江苏省无锡市宜兴 ）期中数学试卷 一、选择题（本大题共有 10小题，每题 3分，共计 30 分） 1一元二次方程 x2+x 2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 2已知点 的距离为 4，则 ） A r 4 B r 4 C r 4 D r 4 3为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上 15 名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（ ） 阅读量（ 单位：本 /周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A中位数是 2 B平均数是 2 C众数是 2 D极差是 2 4 如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 及 相 关 数 据 ， 则 该 几 何 体 的 全 面 积 是 （ ）A 15 B 24 C 20 D 10 5若 x= 2是关于 的一个根，则 ） A 1或 4 B 1或 4 C 1或 4 D 1或 4 6 如图， 线 ， ，连接 P=40 ，则 ） A 20 B 25 C 40 D 50 7若（ ） 2 2（ ） 3=0，则 ） A 2 B 2 C 2 D以上都不对 第 2 页（共 31 页） 8有一个边长为 50正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ） A 50 25 50 50 某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为 x，那么 ） A 50（ 1+=196 B 50+50（ 1+=196 C 50+50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=196 D 50+50（ 1+x） +50（ 1+2x） =196 10如图，扇形 径 边 合，弧 B 的长，已知 ，扇形 首次与正方形的某顶点重合时停止，则点 ） A 4 B 2+4 C 4 2 D以上都不对 二、填空题（本大题共 8 空，每空 2分，共计 16分） 11方程 2x 1=0的两根为 x1+ 12在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球 2只，红球 6只，黑球 4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛 随机从袋中取出 1只球，则取出黑球的概率是 13图中 14如果一组数据 ， ，则另一组数据 ， ， ， 的方差是 15如图， B=140 ，则 度 第 3 页（共 31 页） 16如图， C=90 ， ， ，以 C 点为圆心， 半径的圆与 ， E，则弦 长为 17如图，在 ， C=90 ， B=70 ， 内切圆 O 与边 别相切于点 D、 E、 F，则 18如图，平面直角坐标系中，已知点 M（ 2， 3）、以点 B（ 3， 4）为圆心， 3为半径作 B， B 上的动点， P为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84分） 19 解方程： （ 1）（ 2x 5） 2=9 （ 2） 4x=96 （ 3） 3x 2=0 （ 4） 2（ x 3） 2= x（ 3 x） 第 4 页（共 31 页） 20每个小方格是边长为 1个单位长度的小正方形，菱形 菱形 顺时针旋转 90 菱形 画出菱形 求出线段 转到点 21已知关于 2m+1） x+m（ m+1） =0 （ 1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （ 2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（ 2m 1） 2+（ 3+m）（ 3 m） +7m 5的值（要求先化简再求值） 22在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位： m），绘制出如下的统计图 和图 ，请根据相关信息，解答下列问题： （ ）图 1中 ； （ ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数； （ ）根据这组初赛成绩，由高到低确定 9 人进入复赛，请直接 写出初赛成绩为 运动员能否进入复赛 23在校园文化艺术节中，九年级一班有 1 名男生和 2 名女生获得美术奖，另有 2 名男生和 2 名女生获得音乐奖 （ 1）从获得美术奖和音乐奖的 7名学生中选取 1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率； （ 2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取 1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率 第 5 页（共 31 页） 24如图，在锐角 为圆心， O，交 ，过O 作 ，连结 证： （ 1） 中点； （ 2） B+ 25如图，在 C， （ 1）过 A、 B、 O，交线段 （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）若 = ，求证： （ 3）在（ 2）的条件下，若 3， 0，求 26阅读探索： “ 任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ ” （完成下列空格） （ 1）当已知矩形 和 1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意得方程组： ，消去 27x+6=0， =49 48 0， ， ， 满足要求的矩形 （ 2）如果已知矩形 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 B （ 3）如果矩形 m和 n，请你研究满足什么条件时，矩形 27小明锻炼健身，从 A 地匀速步行到 B 地用时 25 分钟若返回时，发现走一小路可使 A、 B 两地间路程缩短 200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用 （ 1）求返回时 A、 （ 2）若小明从 地后，以跑步形式继续前进到 个锻炼过程不休息）据测试， 第 6 页（共 31 页） 在他整个锻炼过程的前 30 分钟（含第 30 分钟），步行平均每分钟消耗热量 6 卡路里，跑步平均每分钟消耗热量 10 卡路里；锻炼超过 30 分钟后，每多跑步 1 分钟，多跑的总时间 内平均每分钟消耗的热量就增加 1 卡路里测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗 904 卡路里热量问：小明从 地共锻炼多少分钟？ 28如图 M 的坐标是（ 3， 1），点 A 坐标为（ 2， 0），点 1， ），点 D在 点 D 在点 （ 1）求菱形 （ 2）若 M 沿 x 轴向右以每秒 3 个单位长度的速度平移，菱形 x 轴向左以每秒 2 个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为 t（秒），当 M 与 切点为 接 （ 3）在（ 2）的条件下，当点 D 所在的直线的距离为 1时，求 第 7 页（共 31 页） 2016年江苏省无锡市宜兴 ）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 10小题，每题 3分，共计 30 分） 1一元二次方程 x2+x 2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【考点】根 的判别式 【专题】压轴题 【分析】先计算出根的判别式 的值，根据 的值就可以判断根的情况 【解答】解： =42 4 1 （ 2） =9， 9 0， 原方程有两个不相等的实数根 故选 A 【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式 的值 0，有两个不相等的实数根； =0，有两个相等的实数根； 0，没有实数根 2已知点 的距离为 4，则 ） A r 4 B r 4 C r 4 D r 4 【考点】点与圆的位 置关系 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解 【解答】解： 点 r 而 ， r 4 故选 C 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系 第 8 页（共 31 页） 3为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上 15 名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（ ） 阅读量（单位：本 /周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A中位数是 2 B平均 数是 2 C众数是 2 D极差是 2 【考点】极差；加权平均数；中位数；众数 【分析】根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断 【解答】解： 15 名同学一周的课外阅读量为 0， 1， 1， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 4， 4， 中位数为 2； 平均数为（ 0 1+1 4+2 6+3 2+4 2） 15=2； 众数为 2； 极差为 4 0=4； 所以 A、 B、 故选 D 【点评】此题考查了极差，平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键 4 如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 及 相 关 数 据 ， 则 该 几 何 体 的 全 面 积 是 （ ）A 15 B 24 C 20 D 10 【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体 【专题】计算题 【分析】根据三视图可得到该几何体为圆锥，并且圆锥的高为 4，母线长为 5，圆锥底面圆的直径为6，先计算出圆锥的底面圆的面积 =9 ，圆锥的底面圆的周长为 6 ，根据扇形的面积公式得到 5 6=15 ，然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积 【解 答】解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为 4，母线长为 5，圆锥底面圆的直径为 6， 第 9 页（共 31 页） 所以圆锥的底面圆的面积 = （ ） 2=9 ， 圆锥的侧面积 = 5 6=15 ， 所以圆锥的全面积 =9 +15=24 故选 B 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长也考查了三视图 5若 x= 2是关于 的一个根，则 ） A 1或 4 B 1或 4 C 1或 4 D 1或 4 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x= 2代入已知方程，列出关于 过解新方程可以求得 【解答】解：根据题意，将 x= 2代入方程 ，得： 4 3a ，即 a 4=0， 左边因式分解得：（ a 1）（ a+4） =0， a 1=0，或 a+4=0， 解得： a=1或 4， 故选： C 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 6如图， 线 ， ，连接 P=40 ，则 ） A 20 B 25 C 40 D 50 【考点】切线的性质 第 10 页（共 31 页） 【分析】利用切线的 性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角 度数，然后利用圆周角定理来求 【解答】解：如图， 线 ， 0 又 P=40 ， 0 ， 5 故选： B 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理圆的切线垂直于经过切点的半径 7若（ ） 2 2（ ） 3=0，则 ） A 2 B 2 C 2 D以上都不对 【考点】换元法解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】设 =t，则原方程可化为 2t 3=0，利用因式分解法克解得 ， 1，当 t=3时，易得 ，当 t= 1， = 1，此方程无实数解 【解答】解：设 =t， 原方程可化为 2t 3=0， （ t 3）（ t+1） =0， 所以 ， 1， 当 t=3时， =3， ， 当 t= 1， = 1，此方程无实数解， 所以 故选 A 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元 第 11 页（共 31 页） 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的 8有一个边长为 50正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ） A 50 25 50 50 考点】正多边形和圆 【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为 50而由勾股定理可得答案 【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为： =50 故选 C 【点评】本题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边 的倍，可以给解决此题带来方便 9某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为 x，那么 ） A 50（ 1+=196 B 50+50（ 1+=196 C 50+50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=196 D 50+50（ 1+x） +50（ 1+2x） =196 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量 =增长前的量 （ 1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为 x，那么可以用 月份的产量，然后根据题意可得出方程 【解答】解：依题意得八、九月份的产量为 50（ 1+x）、 50（ 1+x） 2， 50+50（ 1+x） +50（ 1+x） 2=196 故选 C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为 a（ 1+x） 2=b， 10如图，扇形 径 边 合，弧 B 的长，已知 ，扇 第 12 页（共 31 页） 形 方形 首次与正方形的某顶点重合时停止，则点 ） A 4 B 2+4 C 4 2 D以上都不对 【考点】轨迹；正方形的性质；弧长的计算 【分析】首先求得扇形绕 B 旋转时 O 的路径长，然后求得弧 合时 O 经过的路径长，再求得扇形绕 的路径长，然后求和即可 【解答】解：当扇形绕 径长是 =2 ， 当弧 是 2； 当扇形绕 径长是 =2 ； 则点 +2 +2=2 +4 故选： B 【点评】本题考查了图形的旋转和弧长的计算公式，理解 二、填空题（本大题共 8 空，每空 2分，共计 16分） 11方程 2x 1=0的两根为 x1+ 2 【考点】根与系数的关系 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：由原方程知，方程的二次项系数 a=2，一次项系数 b=4， x1+ = 2 故答案为： 2 【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1+， 12在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球 2只， 第 13 页（共 31 页） 红球 6只，黑球 4只，将袋中的球搅匀， 闭上眼睛随机从袋中取出 1只球，则取出黑球的概率是 【考点】概率公式 【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： 白球 2只，红球 6只，黑球 4只， 共有 2+6+4=12只， 取出黑球的概率是 = ； 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为： 概率 =所求情况数与总情况数之比 13图中 （ 5， 2） 【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质 【专题】压轴题 【分析】本题可先设圆心坐标为（ x， y），再根据 “ 三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等 ” 列出等式，化简即可得出圆心的坐标 【解答】解：设圆心坐标为（ x， y）； 依题意得： A（ 3， 6）、 B（ 1， 4）、 C（ 1， 0）， 则有： = = ； 即（ 3 x） 2+（ 6 y） 2=（ 1 x） 2+（ 4 y） 2=（ 1 x） 2+ 化简后得： x=5， y=2； 因此圆心坐标为：（ 5， 2） 【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质 14如果一组数据 ， ，则另一组数据 ， ， ， 的方差是 5 第 14 页（共 31 页） 【考点】方差 【分析】因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了 5，所以波动不会变，方差不变 【解答】解： 数据 ， ， ， ， ， 的方差不变，还是 5； 故答案为： 5 【点评】此题考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变 15如图， B=140 ，则 80 度 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分 析】由 B=140 ，可求得 D，然后由圆周角定理，即可求得答案 【解答】解： 四边形 B=140 ， D=180 B=40 ， D=80 故答案为： 80 【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质与圆周角定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 16如图， C=90 ， ， ，以 C 点为圆心， 半径的圆与 ， E，则弦 长为 第 15 页（共 31 页） 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】先根据勾股定理求出 长，过 M 点 M，由垂径定理可知 D 的中点，由三角形的面积可求出 长，在 ，根据勾股定理可求出 长，进而可得出结论 【解答】解： 在 ， 0 ， ， ， = =5， 过 M 点 M，如图所示， S ， ， ， ， 在 据勾股定理得： 9= ） 2， 解得： ， 故答案为： 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 17如图，在 ， C=90 ， B=70 ， 内切圆 O 与边 别相切于点 D、 E、 F，则 80 【考点】三角形的内切圆与内心 第 16 页（共 31 页） 【分析】连接 用切线的性质得出 0 ，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出 而利用圆周角定理得出 【解答】解：连接 在 C=90 ， B=70 A=20 ， 内切圆 B、 别相切于点 D、 E、 F， 0 ， 60 ， 0 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出 60是解题关键 18如图，平面直角坐标系中，已知点 M（ 2， 3）、以点 B（ 3， 4）为圆心， 3为半径作 B， B 上的动点， P为 5 3 【考点】轴对称 标与图形性质 【分析】如图，作点 ，连接 交 ，交 由圆外一点的性质可知，此时 PM +PN 最小，最小值为 MN= ，求出 即可解决问题 【解答】解：如图，作点 M 关于 ，连接 交 ，交 第 17 页（共 31 页） 由圆外一点的性质可知，此时 PM +PN 最小，最小值为 MN= ， M （ 2， 3）， B（ 3， 4）， =5 ， N 的最小值为 5 3 故答案为 5 3 【点评】本题考查轴对称最小值问题、圆的有关性质等知识，解题的关键是掌握求圆外一点到圆上的点的最大值距离以及最小距离，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84分） 19解方程： （ 1）（ 2x 5） 2=9 （ 2） 4x=96 （ 3） 3x 2=0 （ 4） 2（ x 3） 2= x（ 3 x） 【考点】解一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程 【分析】（ 1）直接开平方法求解可得； （ 2）十字相乘法因式分解后求解即可； （ 3）十字相乘法因式分解后求解即可； （ 4）移项后提公因式法分解因式后求解可得 【解答】解：（ 1） 2x 5=3 或 2x 5= 3， 解得： x=4或 x=1； （ 2） 4x 96=0， 则（ x+8）（ x 12） =0， 第 18 页（共 31 页） x+8=0或 x 12=0， 解得： x= 8或 x=12； （ 3） （ x+2）（ 3x 1） =0， x+2=0或 3x 1=0， 解得： x= 2或 x= ； （ 4） 2（ x 3） 2 x（ x 3） =0， （ x 3）（ 2x 6 x） =0，即（ x 3）（ x 6） =0， x 3=0或 x 6=0， 解得： x=3或 x=6 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 20每个小方格是边长为 1个单位长度的小正方形，菱形 菱形 顺时针旋转 90 菱形 画出菱形 求出线段 转到点 【考点】作图 形的性质；扇形面积的计算 【分析】根据图形旋转的性质画出图形，再根据勾股定理求出 据线段 S 扇形 S 扇形 【解答】解：如图，菱形 = ， = ， 第 19 页（共 31 页） 线段 1S 扇形 S 扇形 = 【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关 键 21已知关于 2m+1） x+m（ m+1） =0 （ 1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （ 2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（ 2m 1） 2+（ 3+m）（ 3 m） +7m 5的值（要求先化简再求值） 【考点】根的判别式；一元二次方程的解 【分析】（ 1）找出 a， b及 c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于 0，即可得证 （ 2）把 x=0代入方程即可求 后化简代数式再将 【解答】解：（ 1） 关于 2m+1） x+m（ m+1） =0 =（ 2m+1） 2 4m（ m+1） =1 0， 方程总有两个不相等的实数根； （ 2） x=0是此方程的一个根， 把 x=0代入方程中得到 m（ m+1） =0， m=0或 m= 1， （ 2m 1） 2+（ 3+m）（ 3 m） +7m 5=44m+1+9 m 5=3m+5， 把 m=0代入 3m+5得： 3m+5=5； 把 m= 1 代入 3m+5得： 3m+5=3 1 3+5=5 【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解解题时，逆用一元二次方程解的定义 易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析 第 20 页（共 31 页） 22在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位： m），绘制出如下的统计图 和图 ，请根据相关信息，解答下列问题： （ ）图 1中 25 ； （ ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数； （ ）根据这组初赛成绩，由高到低确定 9 人进入复赛，请直接写出初赛成绩为 运动员能否进入复赛 【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数 【 分析】（ ）用整体 1减去其它所占的百分比，即可求出 （ ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可； （ ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛 【解答】解：（ ）根据题意得： 1 20% 10% 15% 30%=25%； 则 5； 故答案为： 25； （ ）观察条形统计图得： = = 在这组数据中， 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是 则这组数据的中位数是 （ ）能； 第 21 页（共 31 页） 共有 20个人，中位数是第 10、 11个数的平均数， 根据中位数可以判断出能否进入前 9名； 能进入复赛 【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数 23在校园文化艺术节中，九年级一班有 1 名男生和 2 名女生获得美术奖，另有 2 名男生和 2 名女生获得音乐奖 （ 1）从获得美术奖和音乐奖的 7名学生中选取 1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率； （ 2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取 1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【专题】计算题 【分析】（ 1）直接根据概率公式求解； （ 2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果 数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（ 1）从获得美术奖和音乐奖的 7名学生中选取 1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率= = ； （ 2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为 6， 所以刚好是一男生一女生的概率 = = 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 的结果数目 m，求出概率 第 22 页（共 31 页） 24如图，在锐角 为圆心， O，交 ，过O 作 ，连结 证： （ 1） 中点； （ 2） B+ 【考 点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】（ 1）根据圆周角定理得到 0 ，则 根据平行线的性质得 后根据垂径定理即可得到结论； （ 2）延长 C 于点 F ，如图，根据圆周角定理由弧 F而 0 ，则 ，根据等腰三角形的判定得到 等腰三角形，则 ，而 = B+ ，于是 B+ 【解答】解：（ 1） 0 ， 而 E， 即点 （ 2）延长 ，如图， 弧 0 ， ， 为等腰三角形， 第 23 页（共 31 页） F ， ， 而 = B+ ， B+ ， 即 B+ 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理和等腰三角形的判定与性质 25如图，在 C， （ 1）过 A、 B、 O，交线段 （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）若 = ，求证： （ 3）在（ 2）的条件下，若 3， 0，求 【考点】作图 复杂作图；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【分析】（ 1）作 D 的垂线，交于点 O，点 C 于点 E； （ 2）连结 据圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，即可得到 而证明 （ 3）连结 据勾股定理得到关于 方程，解方程即可求解 【解答】（ 1）解：如图， （ 2）证明： 过 A、 B、 O，交线段 ， 第 24 页（共 31 页） A、 B、 D、 C， D， = ， D， D， （ 3）解：连结 由勾股定理可得， 2，即 132 02（ 13 2， 解得 故 【点评】此题考查的是作图复杂作图，线段垂直平分线的作法，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想的应用 26（ 10分）（ 2016 济宁校级模拟）阅读探索： “ 任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ ” （完成下列空格） （ 1）当已知矩形 和 1时，小亮同学是这样研究的： 第 25 页（共 31 页） 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意得方程组： ，消去 27x+6=0， =49 48 0， 2 ， ， 满足要求的矩形 （ 2）如果已知矩形 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 B （ 3）如果矩形 m和 n，请你研究满足什么条件时，矩形 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（ 1）直接利 用求根公式计算即可； （ 2）参照（ 1）中的解法解题即可； （ 3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求 m， 【解答】解：（ 1）由上可知 （ x 2）（ 2x 3） =0 ， ； （ 2）设所求矩形的两边分别是 x和 y，由题意，得 消去 23x+2=0 =9 16 0 不存在矩形 B； （ 3）（ m+n） 2 80 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意 ，得 消去 第 26 页（共 31 页） 2 m+n） x+ =（ m+n） 2 80 即（ m+n） 2 80时，满足要求的矩形 【点评】此类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况 27小明锻炼健身，从 A 地匀速步行到 B 地用时 25 分钟若返回时，发现走一小路可使 A、 B 两地间路程缩短 200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用 （ 1）求返回时 A、 程； （ 2）若小明从 地后，以跑步形式继续前进到 个锻炼过程不休息）据测试，在他整个锻炼过程的前 30 分钟（含第 30 分钟），步行平均每分钟消耗热量 6 卡路里，跑步平均每分钟消耗热量 10 卡路里；锻炼超过 30 分钟后，每多跑步 1 分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加 1 卡路里测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗 904 卡路里热量问：小明从 地共锻炼多少分钟？ 【考点】一元二次方程的应用；一