中南大学概率论习题第四章答案2

第四章41设DX为退化分布DX,0,00,1XX讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数1DXN（2）DXN13DXN1，其中N1,2,。解（1）（2）不是；（3）是。42设分布函数列FNX如下定义FNX0,取M充分大，使有1FXN时有N时有IINNXFXFXF,4有1，3，4可得XFXFI21DIIXFXF,PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN即有0有故,22NHXDXXHXNP0HXP2NXXP0,02NNHX即对任意的0有PHX0成立，于是有11,011KKKPKPPHXHXHX从而1HXP成立，结论得证。46设随机变量序列NX，NH分别依概率收敛于随机变量与，证明1NNHXP；2NNHXP。证（1）因为22EHHEXXEHXHXNNNN，故NPPPNNNN,0220EHHEXXEHXHX即NNHXP成立。2先证明这时必有22XXPN。对任给的,0,0DE取M足够大DXE211MPM，使有（成立，对取定的M，存在N，当NN时有DEXXXX0，对任意的0X当N,31,MAX121DXXMPMPINNN时，其中的且因为,333EXXEXXEXXEXXNNMNMMMNFGGGGFFFPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN而,013,013MMFGPMMGFPNNNMNMXXEXXXXEXX所以,3132DEXXXXEXXEEXXXXEXXNNNXXXFXXXFXXXXFNEPPNNN,01111XXEEXEX对任意的成立，充分性得证。0必要性，对任给的故存在因为令,0XXEXXWEEPNNA充分大的N,使得当于是有时有,EEA（0E，存在0D，使当0E，取A0，B0足够大，使A,B是XF的连续点且1BFMNEHNNMBAPNNNEHXEHXMBAPNNNEHXEHX21I,其中01I，当NMAX1N,2N时有PBAPNNNXEHXBANEHEHXMNEHENNE520,有EXNPDXXNNEEP221NDTTNN,1112EEP故,0PNX结论得证414设NX为一列独立同分布随机变量,其密度函数为BB0常数,令NNXXXH,MAX21,证明BHPN证对任意的N,00，有PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN0NNNPPBEEBHEBH，N故BHPN成立，结论得证AXE，AX415设NX为一列独立同分布随机变量，其密度函数为XP，AXXF，AX这时有NIAXNNINEXFXPXP11XH，AX对任意的0E，有0EEHEHNNNAPAP，N故APNH，结论得证416设分布函数列XFN弱收敛于分布函数XF，且XFN和XF都是连续，严格单调函数，又X服从（，）上均匀分布，证明XX11FFPN，其中11,FFN表示FFN,的反函数证对任给的0,0DE，存在充分大的，使有D1MFMF，对取定的，可选取正整数K和，使有MKNKH，使有12E，由契贝晓夫不等式有NNDAPNN,01411222SEHEEH故APNH，结论得证。419设NE为独立同分布随机变量序列，且DNE2S存在，数学期望为零，证明2121SENKPKN。证这时2NE仍为独立同分布，且0，取N无穷大，使得当|IJ|N时有|COVXJ,XK2E，对PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN取定的N，存在足够大的N1，使当NN时有NNE2MAXN,N1，满足1I,JN的个数偶I，J中。满足条件|IJ|21时XN服从大数定律。证因为EXNNP，故ENH0，又当A1/2时，对任意的N有121NN1，于是DNHENH1211APNP1211APPC又COVNH,KNHAAAKNNPPPNP112PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN21111111111222AKPPAKPPAAAA0,K关于N一致，于是由4。25题知XN服从大数定律，结论得证。428设XN为独立同分布的随机变量序列，方差存在，又1NNA为绝对收敛级数，令NIIN1XH，则NNAH服从大数定律。证不妨设EXN0，否则令NXNXEXN并讨论NX即可。记E2NX2S，又C0，使对一切N有22211|NNNIKIKKCAN，则NNAH服从大数定律。证如同428题，不妨设0NEX，记22NEXD，对任意的NK，有|11NNIIKIKCCANKNN，因而222211121|16NNNIKIKKCCNNNANKNN如同428题之证明有222222111121|0,6NNNIIIKIKCNNDAANNDDDHPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN成立，由423题知服从大数定律，结论得证。430设NX为独立同分布随即变量序列，共同分布为P（NX22KK）,2,1,21KK试问NX是否服从大数定理答因为ENX存在，由辛钦大数定理知NX服从大数定理。431设NX为独立同分布随即变量序列，共同分布为PKNXKKC22LOG,K2,3,其中C（222LOG1KKK）1,问NX是否服从大数定理答因为ENX存在，由辛钦大数定理知NX服从大数定理。432如果要估计抛一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95以上的把握保证所观察到的频率与概率P的差小于P/10，向至少应该作多少次实验解令NX，其他上次试验时图钉的尖头朝第0N,1据题意选取试验N应满足P（NNNI1IX120，则公司亏本，（2）若一年中死亡人数80，则利润元40000若一年中死亡人数60，则利润元60000，若一年中死亡人数40，则利润元80000，令个人在一年内活着，第个人在一年内死亡，第I0I1IX则P（IX1）0006P，记N1IINXH，N104已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1）P（NH120）1PBNPQNPNPQNP120NHPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCNDXEBX22211P0723760B其中同理可求得（2）P（NH80）0995（对应的B259），P（NH60）21（对应的B0），P（NH40）0005（对应的B259）。435有一批种子，其中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以099的概率保证其中良种的比例与1/6相差多少解令XI粒不是良种，第粒为良种，第II01则P（XI1）1/6，记P1/6,NIII1XH,其中年，据题意即要求A使满足990|61|AHNPN。令Q1P,BNPQNA因为N很大，由中心极限定理有|61|AHNPN99021|22DXEBNPQNPBPBBXNPH。由N（0，1）分布表知当B260时即能满足上面不等式，于是知410251NPQNBA，即能以099的概率保证良种的比例与1/6相差不超过410251。436若某产品的不合格率为0005，任取100000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少解令,0,1件为合格品，第件为不合格品第IIIX则NIININPQPP1,10000,1,00501其中记XHX记NPQNPB70，由中心极限定理有9980217022DXEBNPQNPPPBXNNPHH。即不合格品不多于70件的概率约等于0998。437某螺丝厂的不合格品率是001，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中包含有100只合格品的概率不小于095PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN解令只是不合格品第只是合格品第III,0,1X，则,100,1,99011NIININPQNPBPQPPXHX记其中N尚待确定，它应满足0502110022）0997，记250S，B22200INNENXS，则由中心极限定理有P（12200NNH）PNINEBNHXS2212BEDXPP0997查N（0，1）分布表知275B，由此得189N，故至少应检查189只灯泡，这时检查通过的概率超过0997。439用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普瓦松定理。证设1NN独立同二项分布，即1,01,1NNNNNPPPQPNN的特征函数为ITNNQPE，记1NNNI，N的特征函数记作NT，因为NP，故11,1NNPQNNNN，于是有ITNNNNTQPE111111ITITNNEEITITEENNNNN1,ITEEN而1ITEE是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN440设随机变量服从分布，其分布密度为1,00,00,0XXEXPXX证当时的分布函数弱收敛于N（0，1）分布。证的特征函数为1ITT，易知的特征函数为LN11,ITITAITAITTEEA而22211LN123ITITTITTAAAAAAA，因而有22221LN1LN1,232ITITTITTTIATAAAAAAAA故22LIMTATE，所以相应的分布函数若收敛于N（0，1）分布，命题得证。441设NX为独立随机变量序列，且NX服从（N，N）上的均匀分布，证明对NX成立的中心极限定理。证易知ENX0，DNXE2NX22NN2N3XNDX，于是，22111D121318NNNKKKKBNNNX，故323NNB，对任意的0T，存在N，使当NN时有13NT，因而3NTN，从而当NN，2|0NKXBXDFXT，若KN，由此知22|011LIM0NNKXBNKNXDFXBT即林德贝尔格条件满足，所以对NX成立的中心极限定理，结论得证。442设NX，NH皆为独立同分布随机变量序列，且NX与NH相互独立，其中PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCNNEX0,NDX1112NPH,N1,2,证明11NNIIINSXH得分布函数弱收敛与正态分布N（0，1）。证明这时NNXH仍是独立同分布序列，易知有ENNXH0，D（NNXH）E2NNXH21NEX，由林德贝尔格勒维中心极限定理知11NNIIINSXH得分布函数弱收敛于N（0，1），结论得证。443设NX为独立同0,P上均匀分布的随机变量序列，又NNNAXHCOS，其中0NA，且NAANKKNKK0/2/3121，则对NH成立中心极限定理。证易知0COS10XDXAENNPPH，2COS122022NNNNAXDXAEDPPHH这时，,211212NKKNKKNADBH当1时330333234COSCOSKKKKKADXXAEAEPPXHPD2/3123221NKKNNABBD这时有NAAEBNKKNKKNKKNK,03421111212/322123PHDD由李雅普诺夫中心极限定理知对NH成立中心极限定理，命题得证。444设FX是一个分布函数，存在密度函数PX，且0XPXDX,21XPXDX若独立随机变量X与的分布函数都是FX，且X12的分布函数也是FX，证明PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCNFX必是（0，1）分布。证设NX，N为独立同分布随机变量序列，共同分布为FX，又2012111,22TKKNKKKNEPNPXEDTNBXXXPXXXX。）（解014130P201AFAPAFAPAFAAFAFAPXXXX32函数X211FX是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果在其它场合恰当定义。在其它场合恰当定义；）（,03,0210，有PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN。故上式右端知由证）121AP1A3P12FA2111,2221111111F123122P21110000000F2X0X1此时2XYDYXFXYDYDYXXPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN10505,8131131130245,02121202066PFPPFPFFZZZZ0037011290,027201128021902180DXXXPDXXXPDD因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为00272,若每天的供电量为90万度,则供电量不够需要的概率为00037314设随机变量D服从0,5上的均匀分布,求方程02442DDXX有实根的概率解当且仅当02164DD1成立时,方程02442DDXX有实根不等式1的解为D该方程有实根的概率因此或,12D535121252DXPPPDDDR315设随机变量D服从正态分布N0,1,求10408512332020001。解1P（1011APAPPAPAAPAAPAAPXXXXXXX55733231082,99031082AAA即查表得所以PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN7557,65135,95035,90135235353535300352923604314313530043135300250190,2250135,300,1732XXXXXXXXPXAXAPPPPXAXAXAAN即所以即解之间的概率不小于与使寿命在求小时以上的概率求电池寿命在小时小时其中分布服从正态某种电池的寿命XXXXXSSX22222222323433180,1,011111111112211112211113,111111XXYYXXXYXXXXXNXEXEXXXEDYEDYEEDYXYXXEDYXXYEXEXX设为分布的分布函数证明当有证所以0,5,4,0,3,0,2,1,5,43,2,1,1930,00,1,YXYXYXF对每个变元单调非降、左连续，且F（，Y）FX,0,F,0,但是F（X，Y）并不是一个分布函数。证设X0,若XY0,由于XXY0,所以F（X,Y）FXX,Y1,若XY0,则F（X,Y）0当XXY0时，F（XX,Y0，当XXY0时，F（XX,Y1。所以F（X，Y）F（XX，Y）。可见，F（X，Y）对X非降。同理，F（X，Y）对Y非降。（2）XY0时，。YXYXFYXFYYXFYXXF，YXYXFYYXFYXXFYXYX左连续对所以时,1,0,0,LIMLIMLIMLIM0000（3）F（，Y）FX,0,F,04P0,10,02,00,22,220,2，其它，00,0,43YXKEYXPYX（1）求常数K；（2）求相应的分布函数；（3）求P20,100,Y0时，DSEDTEDTDSEYXFYSXXTS040030431212,1143YXEE，所以PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN其它,00,0,11,43YXEEYXFYX（3）20,101,1YXDXDYYXPPHXDYDXXYX31021272652134652310DXXXX或利用求111EEEEEFFFPPPPPHXHXHXHX331设,21XXPP都是一维分布的密度函数，为使,21YXHYXYXPPP为一个二维分布的密度函数，问其中的,YXH必须且只需满足什么条件解若PX,Y为二维分布的密度函数，则1,0,DXDYYXPYXP。所以条件（1）0,2,21DXDYYXHYXYXHPP得到满足。反之，若条件（1），（2）满足，则,1,0,YXPDXDYYXPYXP为二维分布的密度函数。因此，为使PX,Y成为二维分布的密度函数，HX,Y必需且只需满足条件（1）和（2）。332设二维随机变量（HX,）具有下述密度函数，求边际分布。（1）其他01,1,2,31YXXEYXPY2其他或，00,00,01,2122YXYXEYXPYXP3XXDYXEXPYX1,0XXPXPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN12,1131YEDXXEYPYYH1,0YYPH（2）X0时，02210221,2110211222222XYXXYXEDYEXPXEDYEXPPPPPXX时，所以，21212222YXEYPEXPPPXX同理，（3）XYKKDYEXYKKXXP121121X0,1111XEXKXK0,0XXPXYKKYDXXYXKKEYP0112121H,112121YEYKKYKK0,0YYPH333设二维随机变量在边长为A的正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴，求边际分布密度。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN解GYXGYXAYXP,0,1,2当20AX时，,2212222XAADYAXPXAAXX当02XA时，,2212222XAADYAXPAXAXX所以，2,222AXXAAXPX2,0AXXPX同理，2,222AYYAAYPH2,0AYYPH334证明若随机变量X只取一个值A，则X与任意的随即变量H独立。XYGOAPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN证X的分布函数为1,0AXAXXFX设H的分布函数、（X，H）的联合分布函数分别为YFH、F（X，Y）当AX时，F（X，Y）P0,YFXFYXHXHXA时，F（X，Y）P,YFXFYPYXHXHHX1,0AXAXXFX故P（XC）1。336设二维随机变量,HX的密度函数为X,Z0时，有22A2/212/1AAXEDXEPPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN证设随机变量HX,相互独立，都服从N0,1分布。PX,Y1/2PIEXP1/2X2Y2显然，1000100/1002XXXXP一盒电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少三个这类管子全部要替换的概率是多少（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解设这类电子管的寿命为W，则3/2/1001501502DXXWP可以三个管子均不要替换的概率为8/27三个管子均要替换的概率为1/27342由点（0，A）任意作一直线与Y轴相交成角X（即X是服从（2,2PP上均匀分布的随机变量），求此直线与X轴相交的横坐标的密度函数。解过点（0,A）与Y轴相交成角X的直线方程为YCTGXA此直线与X轴交点的横坐标PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCNTGXH，得XARCTGAY,DXDYABA22则由X的密度函数22,1PPPXXXP同理得该点的饿纵坐标QHSINR的分布密度为|,0|,122RYYRYYPYRPHHP该点与（R，0）所成的弦的长度RR020,2COS2ZQZ，在RX20时，由2COS2XRPXP0。解（1）PXX1/BA,A0求XH的密度函数。解PXXPXHAXEA/|21,PHXXDYYPYXPHX,当XO时，PHXXDYYYX|EXP412AA00DYEDYEDYEXYXYXYYXYYXXEAAAAAAXES1412；当X0,00,XEXXLLPHX0,M0）,求XH的分布密度。解X0时，PHXXXXYXDYEE0LMLMXYXDYEE0MLMML,/2MLLMLMLMLLLMXXXXEEEPHX（X）0，X0。352设（X，H）的联合密度函数为PX,Y其他,01|,1|,14122YXYXXYPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN求XH的分布密度。解PHX（Y）DXXYXP,PX,YX0的充要条件为|X|1且|YX|1,也就是1X1且Y1XY1。当2Y0时，PHX（Y）1122141YDXXYXXYXY2/4。当00得PHXXEMM,X0时，HXP（X）XLEYLMEYXMDYXEMLM/ML。所以HXP（X）CPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN355设随机变量X与H独立，都服从（A，A）上的均匀分布（A0）求HX的分布密度。解HX的分布函数GZPHX0,00X,EX2/X2X证明HX服从N0,1分布。证由PHX0X,EX2/X2得PH/1X0X,EX21/2X3。故PHXYPHX1/Y|XPXYXPHXDX。DXXXYXY21/2X2|/1022E1PPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN令1/2X2,2/2YM则PHXYP2121/2XEDUEMM02/1,212/2YEP所以HX服从N0,1分布。357设二维随机变量的联合密度函数为PX,Y，其它，00,01YXXEYX求HX的密度函数。解HX的分布函数（）（HX）0,00,/XXEXAXPXBA其中,0,1BA求常数A，XE及XD。解PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN,111010/ABBAAABAADYEYADXEXAYX故111ABAA222230/2210/11,213,12BAXXXBAAABXBAABXABAABAEEDADXEXAEADXEXAEXX365分子运动速度的绝对值服从马克斯威尔分布，其密度函数为0,00,422/32XXEXXPXAPA其中0A。求分子的平均动能（分子的质量为M）及动能的方差。解42224222422222202/10/328316152724141,432522121,21,2,1,2322422AAPAXAPAXXPAPAPAXAMEVEVDVMMEMEVMMEMEVMVKKDYEYDXEXEKYKKXKK故动能366设随机变量X服从21,21上的均匀分布，求PXHSIN的数学期望与方差。解2/1SIN,0SIN2121222121XDXEDXDXEPHHPH367地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解设旅客候车时间为X（秒），则X服从0，300上的均匀分布，则PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN750015030000,300003001,15030012228000228000秒秒秒）XXXDDXXEXDXE368在长为A的线段上任取两点M及1M，试求线段M1M长度的数学期望。解设点M及1M的坐标分别为X及H，则（X，H）的联合密度函数为AYXAYXP,0,1,2。1M长度的数学期望为3/2020200ADXDYAXYDXDYAYXEYAAAHX。369滚珠直径的额定尺度为10MM,允许范围为99MM至101MM。滚珠用比重为78克/2CM的钢材制成。假设滚珠直径在允许范围内服从均匀分布，求滚珠重量的数学期望和方差。解设滚珠直径为XMM，则,011099,5XPXXPXX其它。滚珠重量6000873XGP（克）。故040,69165600087,086560008722221109932110993MMEGEGDGMMDXXEGMMDXXEGPP370设二维随机变量（X，H）服从0,0,022SSN的分布，证明PSHX/2,MAXE。证由（X，H）服从0,0,022SSN分布可知，X与H相互独立，且0,0,0222/10,有PX1EXX证01XPPTDTPTDTCXXXC,证明PXE/RREXE证RRXXXPPXPXDXEEXEEPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN1/RRRRXPXDXEXXEE374设二维随即变量X，H有分布密度1,PXY2601,010XYXYM）是独立同分布（连续型或离散型）且方差存在的随机变量，求的相关系数；与MNMMNXXXZXXXH2121（2）设随机变量，且任意两个均为的数学期望为零，方差1,2321NXXXX随机变量的相关系数都为的相关系数；与MNMMNXXXZXXXH2121解（1）不妨设,3,2,1,0MNIEIX。则21XZHZHENDDEE。COV121NMMNEEXXXXXXHXHPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCNNMKJINMMJJINIKE2,1,12XXXNM21XE。NMNDDZHZHR,COV2DX时为非降的连续函数相矛盾。故X与H不独立。380设一口袋中装有N个球，每个球上标有各不相同的数字，不放回地从袋中取球，每次一个球，第K次取到的球上的数字定义为KX，K1，2，N，对任意的KJ，求IX与KX的相关系数。解设这N个各不相同的数为1A，2A,，NA。NAPIJ1X，I,J1，N。故NIIJANE11X，22112/NAANDNIINIIJX，J1，N。IX与KX（KJ）的联合分布列为11,NNAAPLKIIXX，LI,1，N；LI。COVIX,KXKIKIEEEXXXX21111/20），则有。01LIMXPXPX证由PXP在0,上为单调递减函数，所以在X时22/1120XPPPDTTPTXPX022/1DTTPTXPP,故。01LIMXPXPX384证明下述不等式（设HX、都是连续型或离散型的变量）1若X与H都有P1阶矩，则有E|PPPPPPEE/1/1/1|HXHXEEPP2|1HX|PPEHX（2）若HX与都具有P0阶矩，则EEPP2|HX|PPEHX证（1）P0时，E|PPPPPPEE/1/1/1|HXHX即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。在P1时，|X|XP是的下凸函数，故2|2|PPPYXYX,即,|2|1PPPPYXYXPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN故。|2|1PPPPYXEHX（2）P0在时，,|2|2|2|PPPPPPPYXYXYXYX故EEPP2|HX|PPEHX。385设随机变量X具有P阶矩，则X必具有Q0XXYXXPXEDYEXP。0,00,XX。；YYYYYPYEYDXEYP0000,HH在Y0时，0时，其它0|XYEXYPYXXHPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN387设二维随机变量（HX,）服从椭圆0,0122BABYAX内的均匀分布,求条件密度函数YXP/HX及XYP/XH。解222212222AXADYABXPAXABAXABPPX，其它。；0XPAXX同理，2222BYBYPPH，其它。；0YPBYH所以在BY时，其它02/2222/BYBAXYBABYXPHX同理在AX时，其它02/2222/AXABYXABAXYPXH388设二维随机变量（HX,）的联合分布密度为其它00,0121,YXYXNNYXNJ其中N2。求的条件分布密度条件下HX1。解01212110XXNDYYXNNXPNNX故其它002/121/1/YYNYPNNXH389设随机变量X服从分布,2TMN，随机变量H关于X的条件分布为,2SXN求H的PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN分布及X关于H的条件分布。解222222EXP21,STPSTXHXXYMXXYPXPYXP。222222EXP2EXP21,TSTSSTTSTSPTSHYMXMYDXYXPYP故22,TSHMN22222222222/2EXP2/,/TSTSSTTSTSPSTHHXYMXYPYXPYXP，故在YH时，X的条件分布为STTSTSTS222222,YMN。390设,2,1NXXX为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量H只取正整数值，且与NX，N1独立，证明EHX1KKHX1KKEP（K）。证明EHX1KKEE（HX1KK）11SKKEHXPS11SKKEHXPS1KKEXKSSP）（H1KKEXP（K）。391求下列连续性分布的特征函数（）（，）上的均匀分布（），（）柯西分布，其密度函数为PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN（）PA221ABX，（A0）（3）分布，其密度函数为PX0001XXEXXBAAAB0，0解（1）J（T）AATXEA21DXATATSIN。（2）J（T）TXEPA221ABXDXPAETBDUAUETU22PA2ETBDUAUTU022COS，由拉普拉斯积分DXXX022COSABPA2EAB，（，0），得J（T）ETABT。（3）J（T）0TXEA/（）X1AEXBDXA/（）0XTEBX1ADXA/（）（）/ITA（1BIT）A392证明连续型随机变量X的特征函数TJ为实函数的充要条件是它的密度函数是对称的，即P（X）P（X）证必要性，设TJ是实的，则TFTJ，即TJTJ，ZITEZITE，ZZ与的分布函数相同。故ZZ与的分布函数，密度函数都相同。由于ZZ与的密度函数分别为P（X）和P（X），所以P（X）P（X）。充分性，若P（X）P（X），则ZZ与的密度函数，分布函数都相同，故ZZ与的特征函数也相同。由于ZZ与的特征函数分别为TJ与TJ，所以TFTJTJ，故TJ为实函数。393若TJ是特征函数，证明下列函数也是特征函数PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCOMCN（1）TJ；（2）/2TJ/；（3）NTJ（N为正整数）证（1）若TJ是随机变量Z的特征函数，则TJ是随机变量ZH的特征函数；（2）若ZH与独立同分布，其特征函数为TJ，则2TTTFFF是随机变量HVZ的特征函数；（3）若独立同分布NZZ,1独立同分布，其特征函数为TJ。则NTJ是随机变量NII1ZH的特征函数。394证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数；（1）COST2COS2T