理论力学习题答案谢传峰、王琪高等教育出版社

1静力学部分13试画出图示各结构中构件AB的受力图FAXFAYFBAAFAFBFBFDFDFBXFBYFBXFCFBFCFBYPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN214试画出两结构中构件ABCD的受力图15试画出图A和B所示刚体系整体合格构件的受力图15A15BFAXFAYFDFBYFAFBXFBFAFAXFAYFDXFDYWTEFCXFCYWFAXFAYFBXFBYFCXFCYFDYFBXFBYTENFBFDFANFAFBFDPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN318在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1解析法假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示由共点力系平衡方程，对B点有0XF045COS02BCFF对C点有0XF030COS01FFBC解以上二个方程可得221631362FFF解法2几何法分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知0245COSBCFF对C点由几何关系可知0130COSFFBC解以上两式可得21631FF23在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。解BC为二力杆受力如图所示，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲FABFBCFCD60OF130OF2FBC45OF2FBCFABB45OYXFCDC60OF130OFBCXY045030FBPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN4杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）0M045SIN100MAFAQAMFA3540其中31TANQ。对BC杆有AMFFFABC3540。A，C两点约束力的方向如图所示。24四连杆机构在图示位置平衡，已知OA60CM,BC40CM,作用在BC上力偶的力偶矩M21NM。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力ABF。各杆重量不计。解机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有0M030SIN20MCBFB对AB杆有ABFF对OA杆有0M01AOFMA求解以上三式可得MNM31，NFFFCOAB5，方向如图所示。26等边三角形板ABC,边长为A，今沿其边作用大小均为F的力321,FFF，方向如图A,B所示。试分别求其最简简化结果。FBFCFAFOOFAFBFBFCCXYFRMAFRXFRDYPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN5解26A坐标如图所示，各力可表示为JFIFFRRR23211，IFFRR2，JFIFFRRR23213先将力系向A点简化得（红色的）JFIFFRRRR3，KFAMARR23方向如左图所示。由于ARMFRR，可进一步简化为一个不过A点的力绿色的，主矢不变，其作用线距A点的距离AD43，位置如左图所示。26B同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为IFFRRR2其作用线距A点的距离AD43，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果213图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB长为L，斜绳与铅垂方向成A角。试求固定端的约束力。法1解整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为X轴正向，竖直向上为Y轴正向，力偶以逆时针为正）0XF0SINBXFPA0YF0COSAPPFBY选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程0XF0BXAXFF0YF0BYAYFF0AM0LFMBYAPBFBXFBYPMAFBXFBYFAXFAYPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN6求解以上五个方程，可得五个未知量ABYBXAYAXMFFFF,分别为ASINPFFBXAX（与图示方向相反）COS1APFFBYAY（与图示方向相同）LPMACOS1A（逆时针方向）法2解设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程0XF0SINAPFAX0YF0COSAPPFAY0AM02TANSINCOSAAARPRLPRLPMA求解以上三个方程，可得AAYAXMFF,分别为ASINPFAX（与图示方向相反）COS1APFAY（与图示方向相同）LPMACOS1A（逆时针方向）218均质杆AB重G，长L，放在宽度为A的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角A。解选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0AM0COSCOS2COSAAALFLGAND0YF0COSFGNDA求解以上两个方程即可求得两个未知量A,DN，其中3122ARCCOSLGFAGFA未知量不一定是力。227如图所示，已知杆AB长为L，重为P，A端用一球铰固定于地面上，B端用绳索CB拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与OYZ夹角为A，绳与轴OX的平行线夹角为Q，已知NPMCMAO200,45,43TAN,40,70QA。试求绳子MAPFAXFAYPANANDDPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN7的拉力及墙的约束力。解选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程0YM0TANSINCOSTAN21AQQACFCFCPBCBCNFBC6600XM0SIN21AFCFAPBCBQNFB100由0YF和0ZF可求出AZAYFF,。平衡方程0XM可用来校核。思考题对该刚体独立的平衡方程数目是几个229图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力F作用在平面BDEH内，并与对角线BD成O45角，OAAD。试求各支撑杆所受的力。解杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程0DEM045COS02F02F0AOM045COS45COS45COS0006AFAFFF226受拉PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN80BHM045COS45COS0604AFAFFF224受压0ADM045SIN45COS0061AFAFAFFF2211受压0CDM045SIN031AFAFAFFF213受拉0BCM045COS0453AFAFAF05F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。231如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩CMNM1500。已知棒料重NP400，直径CMD25。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数SF。解取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程000OYXMFF02045SIN045COS21102201MDFFNPFNPF补充方程2211NFFNFFSS五个方程，五个未知量SFNFNF，2211,，可得方程02222MFDPFMSS解得4914,223021SSFF。当49142SF时有01212221，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。解取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有0AM0MMFMBA即BF必过A点，同理可得AF必过B点。也就是AF和BF是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程0CM045COS45SIN00MBFAFAA解得BAMFA2方向如图所示320如图所示结构由横梁BCAB,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。解支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2QA，作用在BC杆中点。列平衡方程0BM0245SIN03MAQAAF223QAAMF受压选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程0XF045COS031FFQAAMF21受压0YF045SIN032FF22QAAMF受拉选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程FAFBFCXFCYFBXFBYF3DF3F2F1XYFAXFAYF3F2MAPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN13PFAXFAYN1N2N1T0XF045COS03FFAX2QAAMFAX与假设方向相反0YF0445SIN032QAPFFFAYQAPFAY40AM0345SIN242032MAFAQAAPAFMAMPAQAMA242逆时针321二层三铰拱由DGBCAB,和EG四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座BA,的约束力。解选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程0AM022AFAFBYFFBY0BM022AFAFAYFFAY0XF0FFFBXAX1由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得FFE22。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0CM045SIN0AFAFAFEBYBX2FFBX代入公式1可得2FFAX324均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为R的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，RACRAB2,3。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。FAXFAYFBXFBYFEFGFEFGFFCYFCXFEFBYFBXPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN14解取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程0AM060COS23301RPRN9361NN0XF060SIN01NFAX6NFAX0YF060COS01PNFAY512NFAY取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0XF030COS30COS001TN936NT注意由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。327均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数3530SF。试求平衡时Q角的范围。解取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程0AM0COS22SIN2QQLPLFNQTAN2PFN1取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0BM0COSCOS2SINQQQLFLPLFSNPFS2补充方程NSSFFF，将1式和2式代入有2TANSFQ，即010Q。330如图所示机构中，已知两轮半径量CMR10，各重NP9，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数20SF，滚动摩擦系数CM10D。今在BC杆中点加一垂直力F。试求平衡时F的最大值MAXF；当MAXFF时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程00YXFF020PFFFFFNENDSESD由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力BF和ACF，FAXFAYFNFSPPFBXFBYFNFSPFACPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN15由三力平衡汇交，可确定约束力BF和ACF的方向如图所示，其中31TANQ，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设ACF的作用线与水平面交于F点，列平衡方程0AM0DSDMRF0FM0DNDMRPF取轮B为研究对象，受力如图所示，设BF的作用线与水平面交于G点，列平衡方程0BM0RFMSEE0GM0TANQRFPMNEE解以上六个方程，可得FPFND41，FPFNE43，FFFSESD41，FRMMED41若结构保持平衡，则必须同时满足NDDFMD，NEEFMD，NDSSDFFF，NESSEFFF即PRFPFFPFPRPRFSSSSDDDDDD4314,14,34,4MIN，因此平衡时F的最大值360MAXF，此时0910NFFSESD，910CMNMMED335试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。解由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程FACFNDFSDMDFFNEFSEMEFBGF2F3F1SFGFHSPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN160CM0346COS1GHFFFQ58141KNF受拉0XF0SIN31HFFFQ3313F受拉0YF0COS12GFFFQ67412F受压338如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，GBGCAEAD,各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0XF0CDFFFFCD受压取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程00YXFF0SIN45SIN0COS45COS00QQCGBCCGCDBCFFFFF其中2221TANQ，解以上两个方程可得FFBC5860受压340试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0AM0322AFAFAFBFFB52FGFEGFCDFABCFBCFCDFCGCFAYFAXFBF1F3F4F5F2PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN17用截面SS将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程0CM032AFAFAFBFF672受拉0XF0221FFFFF651受拉41力铅垂地作用于杆AO上,115,6DOCOBOAO。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力MF的大小。解1选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为MFF,。2该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角Q完全确定，有一个自由度。选参数Q为广义坐标。3在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角DQ，相应的各点的虚位移如下DQDAORA，DQDBORB，DQDCORC1DQDDORD1，CBRRDD，EDRRDDRARRBRDPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN18代入可得EARRDD304由虚位移原理0IFWD有030EMEMARFFRFRFDDD对任意0ERD有FFM30，物体所受的挤压力的方向竖直向下。44如图所示长为L的均质杆AB，其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度Q。解4A1选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2该系统的位置可通过杆AB与Z轴的夹角Q完全确定，有一个自由度。选参数Q为广义坐标。由几何关系可知QTANAH杆的质心坐标可表示为QQCOS2TANLAZC3在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度DQ，则质心C的虚位移DQQDQQDSIN2SIN2LAZC4由虚位移原理0IFWD有0SIN2SIN2DQQQDLAPZPC对任意0DQ有0SIN2SIN2QQLA即杆AB平衡时312ARCSINLAQ。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN19解4B1选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2该系统的位置可通过杆AB与Z轴的夹角Q完全确定，有一个自由度。选参数Q为广义坐标。由几何关系可知QSINRZA杆的质心坐标可表示为QQCOS2SINLRZC3在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度DQ，则质心C的虚位移DQQDQQQDSIN2COSSIN2LRZC4由虚位移原理0IFWD有0SIN2COSSIN2DQQQQDLRPZPC对任意0DQ有0SIN2COSSIN2QQQLR即平衡时Q角满足0SINCOS23QQLR。45被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P，弹簧原长为2A，试求系统在Q角保持平衡时的弹簧刚度系数值。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN20解1选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力21,FF，且21FF，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有21,FF，以及重力P。2该系统只有一个自由度，选定Q为广义坐标。由几何关系可知QSINAZZBA3在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移DQ，则质心的虚位移为DQQDDDCOSAZZZBAC弹簧的长度2SIN2QAL，在微小虚位移DQ下DQQD2COSAL4由虚位移原理0IFWD有02COSCOS22DQQQDDAFPALFZPC其中22SIN22AAKFQ，代入上式整理可得022COSSIN2COS2DQQQQAKAP由于0A，对任意0DQ可得平衡时弹簧刚度系数为2COSSIN2COS2QQQAPK46复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动铰链支座，C点为铰链，作用于梁上的力KNFKNFKNF3,4,5321，以及力偶矩为MKNM2的力偶，如图所示。试求固定端A处的约束力。解解除A端的约束，代之以AAYAXMFF,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN21MFFF,321的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移AAYX,和梁AC的转角J为广义坐标。1在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0DJDDAAYX，如图所示。由虚位移原理0IFWD有0AAXXFD对任意0AXD可得0AXF2在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0DJDDAAYX，如下图所示。由虚位移原理0IFWD有0332211DQDDDDMYFYFYFYFAAY1由几何关系可得各点的虚位移如下ACYYYYDDDD31ACYYYDDD31312ACYYDDDQ3131代入1式03131321AAYYMFFFFD对任意0AXD可得4KNFAY，方向如图所示。3在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0DJDDAAYX，如上图所示。由虚位移原理0IFWD有0332211DQDDDDJMYFYFYFMA2有几何关系可得各点的虚位移如下DJD21YDJDD33CYYDJDQDJDQD2Y代入2式032321DJMFFFMA对任意0DJ可得7MKNMA，逆时针方向。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN2247图示结构上的载荷如下MKNQ2；力KNF41；力KNF122，其方向与水平成O60角；以及力偶，其力偶矩为MKNM18。试求支座处的约束力。解将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷3F，大小为Q6。1求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力BF，并将其视为主动力，系统还受到主动力MFFF,321的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角Q为广义坐标。给定虚位移DQ，由虚位移原理0IFWD有0150COS45COS330220YFYFMRFBBDDDQD1各点的虚位移如下DQD26BRDQD92YDQD33Y代入1式整理可得03239632DQFFMFB对任意0DQ可得618KNFB，方向如图所示。2求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以AAYAXMFF,，并将其视为主动力，系统还受到主动力MFFF,321的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移AAYX,和梁AC的转角Q为广义坐标。2A求AXFPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN23在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0DQDDAAYX，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理0IFWD有0120COS02211XFXFXFAAXDDD2各点的虚位移如下AXXXDDD21代入2式整理可得05021AAXXFFFD对任意0AXD可得2KNFAX，方向如图所示。2B求AYF在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0DQDDAAYX，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理0IFWD有030COS02233DQDDDMYFYFYFAAY3各点的虚位移如下ACYYYYDDDD212132AYYDDDQ61312代入3式整理可得061432123AAYYMFFFD对任意0AYD可得83KNFAY，方向如图所示。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN242C求AM在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0DQDDAAYX，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理0IFWD有0120COS02211XFXFMADDDQ4各点的虚位移如下DQD31XDQDD62CXX代入4式整理可得03321DQFFMA对任意0DQ可得24MKNMA，顺时针方向。48设桁架有水平力1F及铅垂力2F作用其上，且KEDKBECEDCAD，O30A。试求杆1，2和3所受的力。解假设各杆受拉，杆长均为A。1求杆1受力去掉杆1，代之以力1P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角Q为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有KARDARKDDD,，且DQDDQDARARKD3,滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转EBRED，且DQDDARRDE对刚性杆CD和杆CE，由于ECRDCREDDD,，因此0CRD。由虚位移原理0IFWD有060COS60COS01011EDRPRPFDD代入各点的虚位移整理可得0211DQAPF对任意0DQ可得211FP（受压）。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN252求杆2受力去掉杆2，代之以力2P，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角Q为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有KARKD，且DQDARK3同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转EBRED，且DQDAREDQDDARRDE杆AD绕A点转动DARDD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且DQDDARRED同理可知0CRD。由虚位移原理0IFWD有0120COS150COS120COS020201KDDRPRPRFDDD代入各点的虚位移整理可得03221DQAPF对任意0DQ可得6312FP（受压）。3求杆3受力去掉杆3，代之以力3P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角Q为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，KARDARKDDD,，且DQDDQDARARKD3,同理可知B点不动，EBRED，且DQDDARRDE0CRD由虚位移原理0IFWD有0120COS150COS60COS030301KEDRPRPRFDDD代入各点的虚位移整理可得03231DQAPFPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN26对任意0DQ可得6313FP（受拉）。412杆长2B，重量不计，其一端作用铅垂常力F，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为K，当0Y时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置Y，讨论此平衡位置的稳定性。解F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选Q为广义坐标，如图所示。取0Q为零势能位置，则系统在任意位置的势能为FVVV弹COS12COS121COS22COS21222QQQQFBKBBBFBBK由平衡条件0QDDV可得0SIN2COS1QQFKBB有0SINQ和02COS1FKBQ即0Q和KBF21COSQ也就是0Y和2FKBFKY两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数QQQ2COSCOS2222KBBFKBDVD当0Q时，0222时，022QDVD即2FKBFKY是稳定平衡位置；2当KBF21COSQ且FKB时，022QDVD即2FKBFKY是不稳定平衡位置。415半径为R的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN27解取半径为R的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与Y轴夹角Q为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中P34RH。由于半圆柱作纯滚动，有RRQB（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为COS34COSQBPQRRRMGMGZVC代入（1）式有COS34COSQPQRRRRRRMGVSINSIN34QQPQRRRRRMGDDV由平衡条件0QDDV可得0Q为平衡位置。势能V的二阶导数COSCOS3422QQPQRRRRRRRRMGDVD由上式可得当RR143P，0Q是稳定的。PDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN28动力学部分13解运动方程QTANLY，其中KTQ。将运动方程对时间求导并将030Q代入得34COSCOS22LKLKLYVQQQ938COSSIN2232LKLKYAQQ16证明质点做曲线运动，所以质点的加速度为NTAAA,设质点的速度为V，由图可知AAVVYNCOSQ，所以YVVAANXYOANAVYVQQPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN29将CVY，R2NVA代入上式可得RCVA3证毕17证明因为N2AVR，VAAVAQSINN所以VA3VR证毕110解设初始时,绳索AB的长度为L,时刻T时的长度为S,则有关系式TVLS0，并且222XLS将上面两式对时间求导得0VS，XXSS22由此解得XSVX0（A）A式可写成SVXX0，将该式对时间求导得2002VVSXXXB将A式代入B式可得3220220XLVXXVXAX（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有GFFAMMN将该式在YX,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程TAYZOANAQXOVOVFNFGMYQPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN30NFFYMFMGXMQQSINCOS其中2222SIN,COSLXLLXXQQ0,3220YXLVX将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得232201XLXLVGMF111解设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RVBW，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即QCOSABVV（A）因为XRX22COSQ（B）将上式代入（A）式得到A点速度的大小为22RXXRVAW（C）由于XVA，（C）式可写成RXRXXW22，将该式两边平方可得222222XRRXXW将上式两边对时间求导可得XXRXXRXXX22322222W将上式消去X2后，可求得AXWOQAVAXWOBVBRPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN3122242RXXRXWD由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为22242RXXRAAW取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有GFFAMMN将该式在YX,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程MGFFYMFXMNQQSINCOS其中XRXXR22COS,SINQQ,0,22242YRXXRXW将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525,225222242RXXRMMGFRXXRMFNWW113解动点套筒A；动系OC杆；定系机座；运动分析绝对运动直线运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理REAVVVXQAVAWONFBRGMFYAVEVRVPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN32有EACOSVVJ，因为AB杆平动，所以VVA，由此可得ECOSVVJ，OC杆的角速度为OAVEW，JCOSLOA，所以LVJW2COS当045J时，OC杆上C点速度的大小为LAVLAVAVC245COS02W115解动点销子M动系1圆盘动系2OA杆定系机座；运动分析绝对运动曲线运动相对运动直线运动牵连运动定轴转动根据速度合成定理有R1E1A1VVV，R2E2A2VVV由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即A1A2VV，由上两式可得R1E1VVR2E2VVA将（A）式在向在X轴投影,可得0R20E20E130COS30SIN30SINVVV由此解得SMBOMVVV/409330COS30SIN30TAN30TAN020120E1E20R2WW3202E2WOMVSMVVVVM/529022R2E2A2E1VE2VR2VR1VXPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN33117解动点圆盘上的C点；动系O1A杆；定系机座；运动分析绝对运动圆周运动；相对运动直线运动（平行于O1A杆）；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理有REAVVV（A）将（A）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得0E0A30COS30COSVV，0R0A30SIN30SINVVWRVVAE，WRVVRA，WWW502O1E1RRCV根据加速度合成定理有CAAAAARNETEA（B）将（B）式在垂直于O1A杆的轴上投影得CAAAA0NE0TE0A30SIN30COS30SIN其中2AWRA，21NE2WRA，R12VACW由上式解得2TE11232RWAA119解由于ABM弯杆平移，所以有MAMA,AAVV取动点滑块M；动系OC摇杆；定系机座；AVEVRVAATEANEARACAAVEVRVPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN34运动分析绝对运动圆周运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。根据速度合成定理REAVVV可求得M/S2222EAWBVVVVAM，M/S2ERWBVV，RAD/S324512211AOVAW根据加速度合成定理CAAAAAARNETENATA将上式沿CA方向投影可得CAAAATE0NA0TA45SIN45COS由于221NAM/S316LAW，2TEM/S1BAA，2RM/S82VACW，根据上式可得2TA231527316S/MA，2TA1RAD/S1610LAA120解取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动直线运动；相对运动直线运动；牵连运动定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中WWWRROMV260COS0E根据速度合成定理NAARATAACANEATEAAVQMOAWBRVEVPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN35REAVVV可以得到WWQRRVV3260TAN2TAN0EA，WRVV460COS0ER加速度如图所示，其中2022E260COSWWWRROMA，2R82WWRVAC根据加速度合成定理CAAAAREA将上式在X轴上投影，可得CAAAQQCOSCOSEA,由此求得2A14WRA121解求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取动点汽车B；动系汽车A（OXY）；定系路面。运动分析绝对运动圆周运动；相对运动圆周运动；牵连运动定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理REAVVV将上式沿绝对速度方向投影可得REAVVV因此AERVVVXCAAAQMOAWBRAEAOXYWEVAVRVYNRAPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN36其中AABBRVRVVVWW,EA，由此可得M/S9380RBAABVVRRV求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有22RNRRM/S781BRVAA123质量为M销钉M由水平槽带动，使其在半径为R的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速V向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力OF（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有REAVVV由此可求出QQCOSCOSEAVVV。再根据加速度合成定理有REAAAA由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0EA，并且上式可写成RNATAAAA因为Q222ANACOSRVRVA，所以根据上式可求出QQQ32NATACOSSINTANRVAA。根据矢量形式的质点运动微分方程有GFFAAMMONATA将该式分别在水平轴上投影QQQCOSCOSSINNATAOFAAMWXOQMROVGMOFQMROVGMFRAEVAVRVQMRONAAQMROTAAPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN37由此求出Q42COSRMVFO124图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为L，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度A沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角Q的关系式。解由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有ERFGFAMM将上式在切向量方向投影有QQQCOSFSINMGMLMATRE因为,EEMAMAFQQQQQQQQDDDDDDDDTT，所以上式可写成QQQQQCOSSINDDMAMGML整理上式可得QQQQQQDCOSDSINDAGL将上式积分CAGLQQQSINCOS22其中C为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度QLVR，上式可写成CAGLVQQSINCOS22R初始时0Q，系统静止，0EAVV，根据速度合成定理可知0RV，由此确定GC。重物相对速度与摆角的关系式为AMQTEAQGMEFFPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN38SIN1COS22RQQAGLV126水平板以匀角速度W绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图78），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为OR，求小球到转轴的距离为ORR时的相对速度。解取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有CMFFFAER将上式在RV上投影有QCOSDDERTRFTVMMA因为2EWMRF，TRRVTVDDDDDDRR，QCOSDDRVTR，所以上式可写成QWQCOSDDCOS2RRMRRVMV整理该式可得2RRDDWRRVV将该式积分有CRV222R2121W初始时ORR,0RV,由此确定积分常数2221ORCW，因此得到相对速度为22RORRVW127重为P的小环M套在弯成2CXY形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴X以匀角速度W转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。RROWOCFEFRROWFRVOXYMWXYMFEFPQPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN39解取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为0RA，因为金属丝为曲线，所以0RV，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中PFF,E分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有0EPFF其中2EWYGPF，将上式分别在YX,轴上投影有0COS0SINEQQFFFP（A）以为XYDDTANQ，XCY2,22DDXCXY,因此22TANXCQ（B）由（A）式可得ETANFPQ（C）将2EWYGPF和式（B）代入式（C），并利用2CXY，可得31223124,WWGCYGCX再由方程（A）中的第一式可得3424421111GCPCXPTANPSINPFWQQPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN4021解当摩擦系数F足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力NFFF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量R2VPM将其在X轴上投影可得BTMVMPX2R2根据动量定理有GMMFFFFBMTPNXDD212即当摩擦系数GMMBMF212时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数GMMBMF212时圆环已脱离地面，因此2QQ不是圆环脱离地面时的值。219取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为RV，牵连速度为EV，由系统对Z轴的动量矩守恒，有0COSRE20RMVRMVRMLZQW其中WRVE，则上式可表示成RMVRMMQWCOSR20由此解得RVRMMMVQMQWCOSCOSR0R其中MMM0M，RHPQ2TAN根据动能定理积分式，有2112WTTMGNHWMVRMTT212A220212121,0W其中2R2RE2ASINCOSQQVVVV，将其代入动能定理的积分式，可得MGHNVVRMRM2SINCOS2R2R220QQWW将RVQMWCOSR代入上式，可求得QM2RCOS12GHNV则QMQMW2COS12COSGHNR由2R2RE2ASINCOSQQVVVV可求得212RACOS21QMMVV220取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为R应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为ZEVRVQJSDGRPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN49QRP3RLO外力对O轴的矩为QRRQJJRRQJRRQQPQPSINDCOSDCOS220202GRGRRGRGRSGRGRMRROQRRQQRPSIN223GRGRRMLOOQ因为QQQQQQDDDDDDDDDDVRVVTVTVR，所以上式可表示成QQQPQQQPSINDDSINGGVRVGGRQQQPDSINDRGVV积分上式可得CRGVCOS212122QQP由初始条件确定积分常数GRC，最后得212/COS22PQQGRV33取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理REAVVV可得LVVWE0A30COS，LVVVBCBW332A研究AD杆，应用速度投影定理有030COSDAVV，LVDW334再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理RDBCDVVV将上式在X轴上投影有RDBCDVVV，LVVVBCDDW332R34AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度AVEVRVAVDVRDVPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN50SAOVA/0CM4510WAB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有RAD/S23ACVAABWBCVABBW，设OB杆的角速度为W，则有RAD/S415OBVBW设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，该点的速度CPVABPW齿轮I的角速度为RAD/S61RVPIW36AB杆作平面运动，取A为基点根据基点法公式有BAABVVV将上式在AB连线上投影，可得0,01BOBVW因此，041WWABVAAB因为B点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。根据加速度基点法公式NTBABAABAAAA将上式在AB连线上投影，可得N060COSBAABAAA，RAB2052WAVBVPVCABWIWBVBAVAVAABATBAANBAAPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN51201231WABOABBO（瞬时针）37齿轮II作平面运动，取A为基点有NTBABAABAAAANT1BABAAAAA将上式在X投影有N1COSBAAAAB由此求得212N2COS2RAARABAIIBW再将基点法公式在Y轴上投影有2T2SINRAAIIBAAB，由此求得22SINRAIIBA再研究齿轮II上的圆心，取A为基点NTNT2222AOAOAOOAAAAA将上式在Y轴上投影有2SIN2TT22BAARAAIIAOO，由此解得2SIN2121T221RRARRAOOOBA再将基点法公式在X轴上投影有N1N22AOOAAA由此解得2COS1N2AAAOB，又因为221N212OOORRAW由此可得2COS21121RRAAOOBWTAN2AOAXYN2OAT2OAPDF文件使用“PDFFACTORYPRO“试用版本创建WWWFINEPRINTCN5239卷筒作平