数理统计习题与解答赵选民版

习题01设二维随机变量,XY的联合分布函数为1,0,0,XYXYXYEEEXYFXY其它1求,XY的边缘分布函数2问X与Y是否独立为什么3求条件密度函数|,|FYXFXY。解（1）,XY的边缘分布函数当0X时，LIM,0XYFXFXY；当0X时，LIM,LIM11XYXYXYXYYFXYEEEE1000XXEXFXX同理可得1000YYEYFYY（2）令,XYFXYFXFY0；所以，当0时，X与Y独立；当0时，X与Y不是相互独立的。（3）X的边缘密度为000XXXDFXEXFXDXXY的边缘密度为000YYYDFYEYFYDYY,XY的联合分布密度函数2,110,0,0,XYXYFXYXYEXYFXYXY其它,110,|00,0XXYYXYEXFXYFXYYFYX,110,|00,0YXYXXYEYFXYFYXXFXY,2设12,NXXX是独立的随机变量，有同样的分布函数，令11MAX,MINIIININUXVX试求,UV的联合分布函数。解设IX的分布函数为FX，,UV的联合分布函数为,FUV，则11,MIN,MAXIIININFUVPXUXV（1）当UV5设随机变量1X与2X独立，且分别服从（5，1）与（1，5）内的均匀分布，求12YXX的分布密度。解法一根据题设可知1X与2X的分布密度函数分别为1111,5160,XFX求随机变量/ZXY的分布密度。解法一因为随机变量X与Y独立同分布，所以随机变量/ZXY的分布密度为ZFZYFZYFYDY当0Z时，0ZFZYFZYFYDY，当0Z时，120210AZYAYZAZYFZYFZYFYDYYAEAEDYAYEDY211Z即21010,0ZZZFZZ,解法二我们利用Z的分布函数进行计算当0Z,7设随机变量X与Y独立同分布，且分别服从自由度为M和N的2分布，证明XY与/XY相互独立。解作变换UXY,XVY；可解出1UVXV，1UYV，得其变换的雅可比行列式的值为JXXUVYYUV21VU，而由X与Y独立可知，其联合密度函数为,11222222,1122XYXYMXNYMNFXYFXFYXEYE0,0XY由公式得,/,XYXYXYFUVFXUVYUVJ112222122MNMUMNMNUVENMV）（0,0VU又因为,222NMYXNYMX且独立，即1222122MNUXYMNFUUEMN0U从而VFYX1222122MMNMNVNMV0V即YXYX与独立。8设独立随机变量,XY有相同分布函数,00,0XEXFXX，问XY与XXY是否独立，为什么解令,UXYXVXY得XUV，1YUUV（），其变换的雅可比行列式的值为JU，TXY（，）的联合密度函数为,0,0,0XYXYXYEXYFXYFXFY其它故TUV，）的联合密度函数为1,0,01UVUVUUVXYFUVFXUVYUVJEUUEUV,000,0101UUUVUVFVFUVDVUEDUUDEEDUV因此，U与V的密度函数为221,02,0,20,00,UUVVUEUFUFVU其它所以有,UVUVFUVFUFV从而U与V独立，由于222,COTXUXYVY，所以22UXY与/VXY也相互独立。10对二元正态密度函数2211,EXP2222146522FXYXYXYXY（1）将它化为标准型；（2）指出1212,；（3）求1FX；（4）求|FXY。解（1）设该二元正态密度函数的标准形为2211222221211,EXP22121XXYYFXY2222221465216322682469414332212212XYXYXYXXXYXYYY（）（）（）（）（）所以2211,EXP2222146522FXYXYXYXY的标准形为22111433,EXP421212221212122XYYFXYX（2）由第（1）的分析可得121214,3,1,2,2（3）根据多元正态分布函数的性质可知随机变量X与Y的分布为4,1,3,2XNYN分别可得到他们的分布密度函数22121413EXP,EXP2422XYFXFY（4）根据条件分布的性质有22222,|11EXP222214652213EXP42111EXP22FXYFXYFYXYXYXYYXY即该条件分布是随机变量Y的函数，服从21111,222NY的分布。11设17320,341212，（1）试写出分布密度，并求出12,XX的边缘密度函数；（2）试写出其特征函数。解1令123,TXXXX，由题意可知0,0,0T由1732341212，我们有74527272741012727275119272727，11127同样也可以得到1222123121323742642TXXXXXXXXX所以分布密度为11233122131222221231213233211,EXP2211EXP22271EXP74264222TTFXXXXXXXXXXXXXX12,TXX的边缘密度函数12121233222123121323332221122,271EXP742642223317EXP5422FXXFXXXDXXXXXXXXDXXXXX2令123,TTTTT由定理19可知123,XXX的特征函数1232221121322331,EXP21781010219EXP2272727272727TTGXXXITTTTTTTTTT12试求0,1上均匀分布的特征函数。解设X服从0,1上的均匀分布，即X的密度函数为1010XFX试求X的特征函数。解2AXITXITXXAGTEFXDXEEDX00LIMLIM22AITXAXITXAXAAAAAEEDXEEDX222112AAAITAITAT14若特征函数是211T，试证明对应的分布密度是1,2XEX则特征函数为101ITXITXITXXXITGTEEEFXDXEEDX若,X，即密度函数为1,0,0,0XXEXFXX，则X的特征函数为1010,1ITXITXITXXXITXGTEEEFXDXEXEDXITITXEIT（2）要证明具有相同值的分布，关于参数具有再生性，即证若,1,2JJXJN且各JX间相互独立，就有11,NNJJJIX下证此结论成立由特征函数的性质可知1NNJJYX的特征函数为11111NJJJNJNNYXJJITITGTGT再根据唯一性定理可知11NJJIT为分布1,NJI的特征函数，即11,NNNJJJJYX结论得证。16设12,NXXX相互独立且服从相同分布0,1N，试证21NIIX服从自由度为N的2分布，并说明2分布也有再生性。证明先计算的分布函数21,00,0NIIPXXXFXPXX12,NXXX相互独立,且服从0,1N分布，12,TNXXX的联合密度函数为11211,2NNIINXNFXXE对0X2122111211EXP22NIINNIINNXXFXPXXXDXDXNULL为了计算这个积分,作变换112121211COSCOSCOSCOSCOSSINSINNNNXXX雅可比行列式为111,111,NNNNXXJD其中1,1ND是1,1N的函数,不包含,于是得到22221,1110022212XXNNNNNNFXEDDDDCED其中2211112221,2NNNNCDD，令2U,则1121,2UDUDU进一步可以得到12202NUNCFUEDU由于12220122NUNNNCCNFUEDU，故12122NNCN。于是可以得到12202122XNNNFXUEDUN12221,022NXNFXNFXXEXN故221NINIX。设21XM，22XN，且相互独立，则12,XX的特征函数分别为1/212MXGTIT和2/212NXGTIT从而12ZXX的特征函数为12/2/2/2121212ZXXMNMNGTGTGTITITIT即212ZXXNM17设12,1,1XAXB且独立，则112,XYABXX证明因为1X与2X相互独立，所以12,XX的联合概率密度函数为12111,2121XXABFXXXEXEAB1211112XXABCXXE令11212,XUVXXXX，则121XUVXVV，那么变换的雅可比行列式的值为JV，则,UV的联合概率密度函数为12,GUVFXUVXUVJ111ABVCUVVUEV1111ABABVCUUVE,0UV因此，U与V独立，且,U，,1VAB。18若2212,XMXN（且独立，则112,22XMNYXX（证明令11212,XUVXXXX，则121XUVXVU，（）；该变换的雅可比行列式为JV，因为12,XX（）的联合密度函数为121211222121212,1,21,0,0,2220,XXMNMNXXXXEXXMNFXX其它所以,UV（）的联合密度函数为12,112222,110,02220UVXXMNUMNFUVFXUVYUVJUVVUEVUVMN其它1112222211,0,02220,MNUMNMNUUEVUVMN（其它1112222,021112222202111222121,12221112222221112222122MNVMNUUVMNMNMNMNVMNMNNNFUFUVDVUUEVMNVVUUEDMNMNUUUMNMNUUMN12N因此，112,2222XMNMNUXX即（）19证明多元分布的性质6。要证明的命题为若12,TNXXXXNULL服从N元正态分布,N，而C是任意MN矩阵，则YCX服从M元正态分布,NTCCC证明因为对任意M维实值列向量T，TTTIIIGEEEEEETYTCXCTXYT1EXP2TTTTTICTCTCT1EXP2TTTICTTCCT根据定义可知，Y服从M元正态分布,TNCCC20、设XY为二元正态变量，其分布为041,111N，试写出给定X下Y的条件分布和给定Y下X的条件分布及条件数学期望。解由04,1,11,1XNY可得到,XY的均值分别为1201，方差（协方差）分别为221212411，,则有,XY的相关系数为121211212,并且220,2,1,1XNYN,即,XY的分布密度函数分别为2212111EXP,EXP82222XYFXFY根据二元正态随机变量的标准形式可以得到,XY的联合分布密度函数为2211222221211,EXP22121XXYYFXY2222221111EXP2114221121221122121EXP134223XXYYXXYY则在给定XX下Y的条件分布为1,|FXYFYXFX222121EXP1342231EXP822XXYYX2221EXP13423YX在给定XX下Y期望为2|221EXP13423114EYXYFYXDYYYXDYX在给定YY下X的条件分布为22222,|121EXP13422311EXP2212EXP1323FXYFXYFYXXYYYXY在给定YY下X的条件期望为2|12EXP13231EXYXFXYDXXXYDXY。习题一1设总体X服从泊松分布，即X的分布律为KPXKEK,0,1,2,0,KNULL12,NXXX是来自总体X的样本，试求112,TNXXX的联合分布律；222,NNEXDXESES，解（1）12,NXXX是来自总体X的样本，X服从泊松分布111221112,NIIIXXNNNNNIIIIINPXXXXXXPXXEEXXXXNULLNULL，11NIIEXDXXXN，11111NNIIIIEXEXEXNNN，21111NNIIIIDXDXDXNNN21NIIXX221NIIXNX，2221122221111,1NNIIIINNINNIEXXEXNEXNDXNNSXXSSNN21NNESN，2NES2设总体X服从对数正态分布，即X的分布密度为221LN212XFXEX，0X（2）211YYN，12221122222221122022NNNXYYNNNNXNNFXNFNXNNXENNXEXN（3）因为210,NIIXNN，所以2211NIIXZN，23YNZ，因此22311/222222110XXNNYXFXEXEXNNN（4）431YYN，2243121122NXXNYYFXNFNXNEXENNX4，设1212,TNNNNMXXXXXX（，是来自正太总体20,N容量为NM的样本，试求下列统计量的概率分布（1）121NIINMIINMXYNX；（2）2121NIINMIINMXZNX。解（1）112211NINIIINMMNIIININXMXNYXNXM因为IX服从20,N1,2,1,INNNM且相互独立，所以11NIIXN服从正态分布0,1N，又因为21MNIINX服从2M，且11NIIXN与21MNIINX相互独立，所以121NIINMIINMXYTMNX。2因为22112211NINIIIMNNMIIININXMXNZXNXM，又因为21NIIX服从2N，21MNIINX服从2M且相互独立，所以2121,NIINMIINMXZFNMNX。5设12X,TNXX是来自正态总体2,的样本，X和2NS是样本均值和样本方差；又设21,NXN，且与12X,NXX独立，试求统计量111NNXXNTSN的概率分布。解根据正态总体抽样分布的性质可知211,NIIXXNNN，根据定理可知2221NNSN，且2NXS与相互独立，又已知21,NXN，且与12,NXXX独立，所以2110,NNXXNN，即10,11NXXNNN，且2121NNXXNSNN与独立，因此122111NNNXXNTTNNSN即1111NNXXNTTNSN。6设12,TMXXX和12,TNYYY分别是来自两个独立的正态总体21,N和22,N的样本，和是两个实数，试求122222122MNXYZMSNSMNMN的概率分布。其中X，21MS和Y，22NS分别是两个总体的样本均值、样本方差。解因为21,XNM、22,YNN且相互独立，所以222212,XYNMN，即1222XYUMN服从0,1N。又22121MMSM，22221NNSN且相互独立，所以，22212222MNMSNSVMN，且1222XYUMN与相互独立从而，由T分布的定义得1222221222MNXYZTMNMSNSMNMN7、设总体X的分布函数为FX、分布密度为FX，12,TNXXXNULL为来自总体X的一个样本，记111MIN,MAXINIININXXXX，试求1X和NX各自的分布函数和分布密度。解1,1,2,NNNXNIIIFXPXXPXXINPXXFXNULL111111,1,2,1NXIIIFXPXXPXXPXXXNPXXNULL1111NNIPXXFX1111NXFXFXNFXFX，1NNXNFXFXNFXFX8设总体X的分布密度为2,010,XXFX其中0，12X,TNXX为来自总体X的样本，试求次序统计量12,TNXXX的联合分布密度和1,TNXX的联合分布密度。解（1）12X,TNXX的联合分布密度1121,NIINYNNIIFYYYNFYNE）（120NYYY01,00,0YYYYFYDYEDYEYFYY则代入上式可得到1X,TNX的联合分布密度为122,1,0,0,NNXYXYXXNNEEEXYFXYXY且满足11NII，试证（1）NIIIX1是EX的无偏估计；（2）在EX的所有形如NIIIX1的线性无偏估计类中，11NIIXXN的方差最小即X是EX的最小方差线性无偏估计。证明（1）111NNNIIIIIIIIEXEXEXEX，即NIIIX1是EX的无偏估计。（2）22111NNNIIIIIIIIDXDXDX考虑条件极值问题12,11MAX1NNIINIIST其解为11NNNULL；于是11NIIXXN是EX的最小方差线性无偏估计。3设总体X服从区间,0上的均匀分布，TNXXX,21NULL是其样本，1证明12X和211MAXIINNXN均为的无偏估计；2比较1，2，哪个有效。解11,00,XFX其他012EXXDX，122EEXEX1为的无偏估计。记1MAXININXX，则11,00,NNXXNXFX其它1201111NNNNXNNEEXXNDX，2也为的无偏估计。22222201412DXEXEXXDX，21443DDXDXNN，22NNNDXEXEX211200NNXXXNDXXNDX2221NNN，222212NNDDXNNN，由于12DD2N，故2比1有效。4设总体XP，其中参数0，1X为总体X的一个样本，试证112XTX是待估计函数3E的无偏差估计。证明131022KXKKETXEEEK所以12X是待估计函数3E的无偏差估计。5、设总体X的均值和方差2存在，12,TNXXX为来自总体X的样本，求的估计量121NIIIXNN的均方误差,MSE。解因为,MSED2E，而111222111NNNIIIEEIXEIXIEXNNNNNN，于是,MSED121NIIDIXNN222141NIIDXNN222241212211631NNNNNNNN6设总体20,XN，0是未知参数，12,TNXXXNULL是来自总体X的一个样本，试证估计量2211NIIXN是2的相合估计。证明因为20,XN，所以0EX，2DX，于是22211NIIEEXN，即2211NIIXN是2的无偏估计。又因为2211NIIXN20,IXN，所以44422222112NIIDDXNNN从而422LIMLIM0NNDN，因此估计量2211NIIXN是2的相合估计。7、设TNXXX,21是来自正态总体,2N的一个样本，证明2NS是2的相合估计。证明因为21NNESDXN，所以221LIMLIMNNNNESDXDXN，即2NS是2的渐近无偏估计。而2221NNSN，所以2221NNDSN，即24212NNDSN，可得42221LIMLIM0NNNNDSN，故2NS是2的相合估计。8设总体X服从几何分布,2,1,11NULLKPPKXPKTNXXX,21NULL为总体X的样本，试求参数P的矩估计和极大似然估计。解1111KKEXKPPP,得1PEX，故P的矩估计量为1PX似然函数为111111NIIIXNNNXNIIIILPPXXPPPP1LNLNLN1NIILPNPXNP1LN01NIIXNDLPNDPPP，所以P的极大似然估计为1PX。9，设总体X的分布密度为22,00,XXFX，12,TNXXXNULL为其样本，求参数的矩估计和极大似然估计。当样本值为01,02,09,08,07,07T时求的估计值。解（1）矩估计11100111222EXXXDXXDX12EX令12112XXX所以参数的矩估计量为211XX（2）似然函数1211,1NNNNIIIILXXXFXX1LNLN1LNNIILNX1LNLN01NIILNX1111LNNIIXN所以参数的极大似然估计量为1111LNNIIXN当样本值01,02,09,08,07,07T10102090807070576X由上所述（1）211XX03；（2）1111LNNIIXN0212、设TNXXX,21是来自总体X的样本，试分别求总体分布中未知参数的极大似然估计，已知总体X的分布密度为（1）22220,0,XXFXEX，（2）1,02XFXEX，（3）,XEXFX，（4）1,0XFXEX，解1似然函数121,NNIILXXXFX22122INXIINXE221LNLN22LNNIIIXLXN令LN0L，得231220IXN，解得211NIIXN所以参数的极大似然估计为211NIIXN；2似然函数121,NNIILXXXFXIXNE211LNLN2NIIXLN令0INL，得1210NIIXN，解得11NIIXN所以参数的极大似然估计为11NIIXN；3似然函数121,NNIILXXXFXNXIE，12,NXXX1LNNIILXN，0INLN所以LNL为参数的单调递增函数，因此当1X时，函数12,NLXXX达到最大，故参数的极大似然估计为1X；4似然函数121,NNIILXXXFX11NIIXNNE，12,NXXX1LNLNNIIXNLN，0INLN，所以LNL为参数的单调递增函数，因此当1X时，函数L达到最大，又令LN0L，得1220NIIXNN解得111NIIXXXN，所以参数和的极大似然估计分别为1X和1XX。13设总体,2NX，对于容量为N的样本，求使得050XP的参数的极大似然估计。解将随机变量X标准化005XP,095XP095,查表得1645,1645,的极大似然估计为1645NXS,而211NNIISXXN14，设总体2,XN,想得到总体X的一个样本值为（147，151，148，150，152，146）T1试用极大似然估计与次序统计量法估计的值2试用极大似然估计与次序统计量法估计2的值。解因为2,XN,即X的概率密度函数为2X212EFX2（），12,TNXXX是其样本，试求参数的最小方差无偏估计。解法一因为1111,NIIXNXNINNIFXEE，所以_X是的充分完备统计量，又因为01XEXEXXEDX所以_X是的无偏估计量，由所以|EXXX，因此，_X是的最小方差无偏估计。解法二利用极大似然估计法可以计算出的极大似然估计量为_X，又因为EX，所以_X是的无偏估计量；因为FISHER信息量为2222LN11FXXIEE所以RAOCRAMER下界为21NIN，而2DXDXNN，由上面可知达到了RAOCRAME下界，所以_X是的最小方差无偏估计。17、设总体20,XN，TNXXX,21为其样本，试求（1）2的最小方差无偏估计；（2）和4的最小方差无偏估计；解20,XN，2221,2XFXER，因此，似然函数为212211,2NIIXNNIIFXE即21NIITX是2的充分完备统计量。（1）因为2211NIIEXN（），所以211NIIXN是2的无偏估计量，又2211|NNIIEXTX（），故211NIIXN是2的最小方差无偏估计；（2）因为222111,22NIINXN，所以211121222220121NNNXIINEXXEDNN2222222111NNNIIIEXVARXEX222NNNN即212122NIINEXN，224112NIIEXNN（）（），所以212122NIINXN是的无偏估计量且22112NIIXNN）（）是4的无偏估计量，又221122|NNIIEXTX222211|22NNIIEXTXNNNN（）（）（）因此212122NIINXN是4的最小方差无偏估计，22112NIIXNN）（）是4的最小方差无偏估计；18设总体,2NX，TNXXX,21NULL为其样本，试求1243的最小方差无偏估计；2224的最小方差无偏估计。解211,NNTIIIITXX是T,2的充分完备统计量1因为11NIIXXN为的无偏估计,22111NIISXXN为2的无偏估计,所以234XS为243的无偏估计，又2234|34EXSTXS，因此234XS是243的最小方差无偏估计；2因为22211NIIEXN，所以22211NIIEXSN，即22115NIIXSN是224的无偏估计；又2222115|5NNIIEXSTXS，因此22115NIIXSN是224的最小方差无偏估计。19，在下列情况下，分别求罗克拉美不等式的下界（1）总体,1XN，2G；（2）总体0,XU，GDX；（3）总体,XBNP，2GPP解罗克拉美不等式下界为2GNI，其中2,FXIE（1）X的概率密度函数为2212XFXEXR21LN,LN22FXX22LN,1FXIEEXDX所以，罗克拉美不等式下界为GNI2224NN（2）X的概率密度函数为1,00,XFX其它22LN1FXIE又2112G，所以，罗克拉美不等式下界为2436GNIN；（3）X的概率分布函数为21LNLNLNLN12XXNXNXNFXPCPPXFXPCPNXP）LN2211FXPXNXXNPPPPPP2LNFXPIPEP211XNPNEPPPPCR下界为2341PPPNIPNN20、设12,TNXXX是来自正态总体20,N的一个样本，试证（1）2211NIIXN是2的有效估计；（2）22111NIIXXN不是2的有效估计，而是2的渐近有效估计。证明设总体20,XN，12,TNXXX是来自正态总体X的一个样本，则总体X的分布密度为2221EXP22XFX222211LNLN2LN22FXX则有222241LN22XFX222461LN2XFX则可得222264411LN22EXIEFX则2的无偏估计量的方差下界为4212NIN（1）对于2211NIIXN已知12,NXXX相互独立，且由2212NIIXN可知，422242221111NIIXDDXNDXDNNNN即221DNI故2211NIIXN是2的有效估计（2）对于22211NSN，由2分布的性质知22121NSDN，所以442222211DDSNNNI即2的方差达不到CR下界，故2不是2的有效估计；而4242/LIMLIM12/1NNNEN即2是2的渐近有效估计。21、设12,TNXXXNULL是取自正态总体2,N的一个样本，为已知，试证11|2NIIXN是的无偏估计；并求的效率E。证明121|21|2NEXXXNXNENNULL222|122XXEDX即11|2NIIXN是的无偏估计；估计量的方差为2222|221XDNDNNN，FISHER信息量为2422LN312FXXIEECR下界为21,2NIN因此，的效率1108762NIED22、设总体21,XN，TNXXX,21为其样本，试求参数2的有效估计。解先考虑2的极大似然估计，,21XFXXXLN22212221IXNE令20INL，得2211IXN，而22111NIIEXN，所以2111NIIXN是2的无偏估计；又224LN1122FXX，2222246LN112FXX，2246411122XIE,所以4212NIN，而422DN，所以2111NIIXN是2的有效估计。23设总体X服从,GA分布，即分布密度为,0,0,0,1XXXEXFX其中0为已知常数，0为未知常数，TNXXX,21NULL为X总体的一个样本，试求1G的极大似然估计，并判别其是否为有效估计。解似然函数111121NIIINXNXINNILEEXNULL对数似然函数11LNLN1LNLNNNIILNXX1LN0NIIDLNXD,得1NIINXX，X是的极大似然估计由极大似然估计的不变性知,G是G的极大似然估计,即X是1G的极大似然估计EX,2DX,1XFXE令1,则1XFXELNLN1LNLNXFXX22LN1FXXX，2224442LN11FXDXEEXEX2I,21NIN,22XDXDGDNN故11XNIEEXD,故X是1的有效估计24设总体X的分布密度为1,0,0,0,XEXFXX其中0为未知参数，12,NXXXNULL为来自总体X的样本，证明样本均值X是参数的充分完备统计量。解样本12,NXXXNULLT（）的联合分布密度为1121,NIIXNNLXXXE（），则121,NTNNLXXXE（）为指数型分布族；其中1211,NNIITTXXXXXN（）；因此，11NIIXN，即X是参数的充分完备统计量。25设总体20,XN，12,NXXX12,NXXXNULL为来自总体X的样本，证明样211NIITXN是参数2的充分完备统计量。解由于12,NXXX是来自正态总体20,N的一个样本，则12,NXXX的联合概率密度函数为2/22211221,EXP22NNININXFXXX其为指数分布族，其中/222121,1,2NNNHXXXC22122111,2NNIITXXXXBN于是由定理知211NIITXN是参数2的充分完备统计量。26设总体,XBNP，N已知，12,NXXXNULL为来自总体X的样本，证明样本均值X是参数P的充分完备统计量。解由于12,NXXX是来,BNP的一个样本，则12,NXXX的联合概率分布为111212121,11EXPLNLN1NNIINIINNNIIIXNNXXXXNNNXXXNNNNNFXXXPPXXCCCPPCCCPXNPPNULLNULL其为指数分布族，其中1212,1NXXXNNNNNNHXXXCCCCPPNULL1211,LNLN1NNIITXXXXBPNPPN于是由定理知样本均值X是参数P的充分完备统计量。27，随机的从一批零建中抽取16个，测得其长度（单位CM）为214，210，213，215，213，212，213，210215，212，214，210，213，211，214，211假设该零件的长度服从正态分布2,N，试求总体均值的置信度为90的置信间（1）若已知001（CM）；（2）若未知。解（1）2,XN01XUNN，），由1/21PUU97N32，设总体20,XN，0已知，12TNXXXNULL，为其样本，试求未知参数2的置信度为1的置信区间。解20,XN，00,1IIDIXN，于是202212NIIXN，则对给定的置信度1，有2221/2/21PNN221/2/2和分别为置信度为N的卡方分别的221和的上侧分位数，故解得2的1的置信区间为22001122/21/2,NNIIIIXXNN33、投资的回收利润率常常用来衡量投资的风险，随机地调查26个年回收利润率（），得样本标准差15S，社回收利润率服从正态分布，求它的均方差的置信度为95的置信区间。解根据题意26N,005,15S；构造枢轴量222211NSN可得均方差的置信区间为2222/21/211,11NSNSNN查附表3得22/20025125406N，221/20975125131N置信下限22/2126122511761406NSN；置信上限221/2126122520721131NSN；故回收利润率的均方差的置信度为95的置信区间为1176,207234，对某农作物两个品种A，B计算了8个地区的亩产量，产量如下（单位KG）品种A86，87，56，93，84，93，75，79；品种B79，58，91，77，82，74，80，66假定两个产品的亩产量均服从正态分布，且方差相等，试求两品种平均亩产量之差的置信度为95的置信区间。解用X表示A品种的产量，Y表示B品种的产量；由题意有128,005,NN经计算得81625X,12211111019875NIINSXX；75875Y，2222211714875NIINSYY；22112212111113152WNSNSSNN查表得002500258821421448TT，所以置信下限为/2121211261874AWXYTNNSNN置信上限为/21212112176874AWXYTNNSNN所以所求区间为（61874，176874）。35、某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布，现从两个不同班次的产品中各抽验5个套筒，测定它们的直径，得知如下数据A班2066，2063，2068，2060，2067B班2058，2057，2063，2059，2060试求两班所加工的套筒直径的方差比22AB的置信度为90的置信区间。解由样本值计算得20648X，1221111000001071NIISXXN（）；20594Y，2222121000000531NIISYYN（）；125NN，010，查附表4得00544639F（，）；0950051440156544FF（，）（，）；22AB的置信区间为22111/212/2121,1,1,1SSFNNFNN（03159，1290）36为估计一批钢索所能承受的平均张力，从其中取样做10次试验，由试验值算得平均张力PAX6700，标准差220SPA，设张力服从正态分布，求平均张力的单侧置信下限（置信度为095）。解已知10,6700,220NXS,又1095,005,查表得005918331T,故平均张力的置信度为095的单侧置信区间为2201,670018831,6592471,10SXTNN单侧置信下限为659247137，从一批魔中型号电子管中抽出容量为10的样本，计算出标准差45SH设整批电管寿命服从正态分布，试求这批电子管寿命标准差的单侧置信上限（置信度为095）解已知10,45NS，又1095,005，查表得20959333所以标准差的置信度为95的单侧置信上限为2119457398133NSN38、从某批产品中随意抽取100个，其中一等品为64个，试求一等品率P的置信区间（置信度为95）。解记一等品为1，非一等品为0，则总体X服从两点分布1,BP，当样本数量N较大时，可根据中心极限定理构造枢轴量0,1/DXPUNN，其中MXN，211MMXXNN；一等品率P的置信度为1的（近似）置信区间为112211MMMMMMUUNNNNNNNN，根据题意100N，64M，1095，0975196U置信下限1/2116464106419610546100100100MMMUNNNN置信上限1/2116464106419610734100100100MMMUNNNN则一等品率P的95置信区间为0546,073439、在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货物次品率的95的置信区间。解法一、记次品为1，正品为0，次品率为P，则总体X服从两点分布1,BP，当样本数量N较大时，可根据中心极限定理构造枢轴量0,1/DXPUNN，其中MXN，211MMXXNN；这批货物次品率P的置信度为1的（近似）置信区间为112211MMMMMMUUNNNNNNNN，根据题意100N，16M，1095，0975196U置信下限1/21116161016196100881100100100MMMUNNNN置信上限1/21116161016196102319100100100MMMUNNNN这批货物次品率的95的置信区间为（00881，02314）解法二记次品为1，正品为0，次品率为P，则总体X服从两点分布1,BP，当样本数量N较大时，可根据中心极限定理构造枢轴量0,11/DXPUNPPN，故这批货物次品率的95置信区间为22114,422BBACBBACAA其中21/2ANU，21/22BNXU，2CNX，100N，016X，005，求得10384A，3584B，256C；因此，置信下限1358414870101210384；置信上限1358414870244210384故这批货物次品率的95的置信区间为0101,024440、假定总体X服从泊松分布P，0,TNXXX,21为总体的样本，试在N充分大的条件下，求参数的置信度为1近似置信区间。解X服从泊松分布P，EX，DX，由中心极限定理知10,1NIIXNNN由121NXNPUN故拒绝0H。（2）由（1）知，0H的拒绝域为12,4804OR5196NWXXXXX，所以该假设检验问题的检验函数为12121,0,NNXXXWXXXWX当当所以在148H下犯第II类错误的概率48045196|48PX480448485196481/1001/1001/100XP