最新2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）

1、2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（二）1如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点（1）求该抛物线的解析式；（2）当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线yx2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），

2、过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，CAO60，OA2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿ACB运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若PAMPDM，求

3、点P的坐标；（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作MEAD，MFx轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，QPB的面积为2d，求点P的坐标4如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y2x2+x+1，动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）当AMN是以MN为直角边的等腰

4、直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ1且KNQBNP时，请直接写出点Q的坐标5如图，已知二次函数yax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标6如图，

5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值（3）求tanOAB的值（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标7如图，抛物线yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点点A坐标的为（3，0），点C的坐标为（0，3）（）求抛物线的解析式；（）点M为线段AB上一

6、点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；（）在（）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG2DQ，求点F的坐标8如图，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为（4，0），连结OG抛物线yax（x2）+1+的顶点为P（1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；（2）连结OP，求当AOG2AOP时a的值（3）如图，若抛物线开口向上，点C，D分

7、别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值；当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式9如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OAOC3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF

8、为直径作G，求G最小面积10如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线yax2+bx+c（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MNy轴交抛物线于点N1求线段MN的最大值；2当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上时，求点P的坐标参考答案1解：（1）直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，点B（3，0），点C（0，3），抛物线yx2+bx+c经过B，C两点，解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）如图，连接AM，y

9、x24x+3（x2）21，抛物线的对称轴为直线x2，点A与点B关于对称轴对称，AMBM，点A（1，0），点C（0，3），点A（1，0），点B（3，0），OA1，OC3，OB3，四边形COAM周长OC+OA+AM+CM，四边形COAM周长4+BM+CM，当点B，点M，点C三点共线时，BM+CM有最小值为BC的长，四边形COAM周长的最小值4+BC，BC3，四边形COAM周长的最小值4+3；（3）yx24x+3（x2）21，顶点P（2，1），又点C（0，3），PC2，设点M（2，t），MC，MP|t+1|，以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形，CPM是等腰三角形，若MCMP，则|t+1|，t，点M

10、（2，）；若MPPC，则2|t+1|，t11+2，t212，点M（2，1+2）或（2，12）；若MCPC，则2，解得：t31（不合题意舍去），t47，点M（2，7）；综上所述：点M的坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）2解：（1）抛物线yx2+x+2，当x0时，y2，因此点C（0，2），当y0时，即：x2+x+20，解得x14，x21，因此点A（1，0），B（4，0），故：A（1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）点D与点C关于x轴对称，点D（0，2），CD4，设直线BD的关系式为ykx+b，把D（0，2），B（4，0）代入得，解得，k，b2，直线BD的关系式为yx2

11、，设M（m，m2），Q（m，m2+m+2），QMm2+m+2m+2m2+m+4，当QMCD时，四边形CQMD是平行四边形；m2+m+44，解得m10（舍去），m22，答：m2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在RtBOD中，OD2，OB4，因此OB2OD，若MBQ90时，如图1所示，当QBMBOD时，QP2PB，设点P的横坐标为x，则QPx2+x+2，PB4x，于是x2+x+22（4x），解得，x13，x24（舍去），当x3时，PB431，PQ2PB2，点Q的坐标为（3，2）；若MQB90时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，Q（1，0）；由于点M在直线BD上，因此QMB90，这种情况不

12、存在QBMBOD综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似，点Q（3，2）或（1，0）3解：（1）四边形ABCD是矩形，CDAO2，AOC90，且CAO60，OA2，OC2，点C（0，2），点D（2，2），设抛物线解析式为ya（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）解得：抛物线解析式为y（x+1）2+，（2）M为AC中点，MAMD，PAMPDM，PAPD，点P在AD的垂直平分线上点P纵坐标为，x11+，x21点P（1+，）或（1，）（3）如图2，AOBO2，COAB，ACBC4，CAO60，ACB是等边三角形，由题意可得：CM2t4，BF

13、（82t）4t，MF4t，AFt四边形AEMF是矩形，AEMF，EMAF，EMAB，CMHCBA60，CHMCAO60，CMH是等边三角形，CMMH2t4，S（2t4+t）（4t）（t）2+当t时，S最大，（4）SABP4d2d，又SBPQ2dSABPSBPQ，AQBP设直线AC解析式为ykx+b，把A（2，0），C（0，2）代入其中，得直线AC解析式为：yx+2，设直线BP 的解析式为yx+n，把B（2，0）代入其中，得02+n，b2直线BP解析式为：yx2，x2，x12（舍去），x28，P（8，）4解：（1）抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1）解得：抛物线C1：解

14、析式为yx2+x1（2）动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M点N的纵坐标为t2+t1，点M的纵坐标为2t2+t+1MN（2t2+t+1）（t2+t1）t2+2当ANM90，ANMN时，由已知N（t，t2+t1），A（2，1）ANt（2）t+2MNt2+2t2+2t+2t10（舍去），t21t1当AMN90，AMMN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（2，1）AMt（2）t+2，MNt2+2t2+2t+2t10，t21（舍去）t0故t的值为1或0（3）由（2）可知t1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B、O、N三点共线A（2，1）N（1，1）P（0，

15、1）点K、P关于直线AN对称设半径为1的K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）Q2与点O关于直线AN对称Q2是满足条件KNQBNP则NQ2延长线与K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足KNQBNP由图形易得Q1（1，3）设点Q3坐标为（m，n），由对称性可知Q3NNQ1BN2，由K半径为1解得，同理，设点Q4坐标为（m，n），由对称性可知Q4NNQ2NO，解得，满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（，）、（，）5解：（1）二次函数yax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），二次函数的表达式为：yx2+x+4；（2）A

16、（0，4），C（8，0），AC4，以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8，0），以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（84，0）或（8+4，0）作AC的垂直平分线，交x轴于N，ANNC，AN2AO2+NO2，AN216+（8AN）2，AN5，ON3，N的坐标为（3，0），综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（8，0）或（84，0）或（3，0）或（8+4，0）；（3）抛物线yx2+x+4与x轴交于B，C两点，0x2+x+4，x12，x28，点B（2，0），BO2，设点N的坐标为（n，0），则BN

17、n+2，过M点作MDx轴于点D，MDOA，BMDBAO，MNAC，OA4，BC10，BNn+2，MD（n+2），SAMNSABNSBMNBNOABNMD（n+2）4（n+2）2（n3）2+5，当n3时，AMN面积最大，N点坐标为（3，0）6解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入yx2+bx+c得：，解得：，即抛物线的表达式为：yx2+4x，它的对称轴为：x2；（2）把点A（3，m）代入yx2+4x得m32+433，则点A的坐标为：（3，3），由点O（0，0），A（3，3）得直线OA的解析式为：yx，设点P（p，p2+4p），则点Q（p，p），PQyPyQp2+4ppp2+3p（p）

18、2+，当p时，PQ的值最大，最大值为；（3）如图1，过点B作BDOA，交OA于点D，过点A作AEOB，交OB于点E，A（3，3），AE3，OE3，AOE为等腰直角三角形，AOE45，OAOE3，在等腰RtBOD中，OB4，ODBD2，ADOAOD32，tanOAB2；（4）存在，设点N（2，a），若ABAN，点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），a10，a26，当a26时，点P，点A，点B共线，a26不合题意舍去，点N坐标为（2，0）若ABBN，点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），a3，a4，点N坐标为（2，）或（2，），综上所述：点N（2，）或（2，）或（2，0）7解：

19、（）依题意解得抛物线的解析式yx22x+3；（）yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的对称轴是直线x1，设M（x，0），P（x，x22x+3），其中3x1，P、Q关于直线x1对称，设Q的横坐标为a，则a（1）1x，a2x，Q（2x，x22x+3），MPx22x+3，PQ2xx22x，周长d2（22xx22x+3）2x28x+22（x+2）2+10，当x2时，d取最大值，此时，M（2，0），AM2（3）1，设直线AC的解析式为ykx+b，则，解得，设直线AC的解析式为yx+3，将x2代入yx+3，得y1，E（2，1），EM1，；（）由（）知，当矩形PMNQ的周长最大时，x2，此时点Q （0，3

20、），与点C重合，OQ3，yx22x+3（x+1）2+4，D（1，4），如图，过D作DKy轴于K，则DK1，OK4，QKOKOQ431，DKQ是等腰直角三角形，DQDK，设F （m，m22m+3），则G （m，m+3），FGm+3（m22m+3）m2+3m，m2+3m4，解得m14，m21，当m4时，m22m+35，当m1时，m22m+30，点F（4，5）或（1，0）18解：（1）如图，连接AG并延长AG交OB于H，点B坐标为（4，0），OB4，点G是等边三角形AOB的外心，AHOB，OAOB4，AOB60，OAH30，OHOA2，AHOH2，点A（2，2），抛物线yax（x2）+1+ax22a

21、x+1+，对称轴为：直线x1；（2）如图，过点P作PNOB于N，交AO于F，ON1，点G是等边三角形AOB的外心，OG平分AOB，AOG30BOG，当点P在AOB内，AOG2AOP，AOP15POG，PON45，PNOB，PONOPN45，PNON1，点P坐标（1，1），1a（12）+1+，a，当点P在AOB外，同理可得AOP15，PON75，OPN15AOP，OFPF，AOB60，PNOB，OF2ON2PF，FNON，PNPF+FN2+，点P坐标为（1，2+），2+a（12）+1+，a1，综上所述：a1或；（3）如图，连接AG并延长AG交OB于H，点G是等边三角形AOB的外心，AG2GH，O

22、HBH2，AH2，GH，四边形GDQO为平行四边形，GDOB，GDOQ，GD，QH，GQ；如图，在OB上截取OMBD，连接CM，GM，GB，MD，GD，点G是等边三角形AOB的外心，OGGB，GOBGBOABG30，又OMBD，OGMBGD（SAS），MGGD，OGMBGD，OGBMGD1803030120，MDGD，GDM30，CDE中CEDE，CED120，CDDE，CDE30，MDCGDE，GDEMDC，当GE最小值为1时，MC最小值为，当点C与抛物线顶点P重合，且CMOB时，CM有最小值，CM的最小值为顶点P的纵坐标，点P坐标（1，），a（12）+1+，a1，抛物线的解析式为：yx（x

23、2）+1+（x1）2+9解：（1）点A的坐标是（3，0），OA3，OAOC3OB，OC3，OB1，点C（0，3），点B（1，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x3），33a，a1，抛物线解析式为：y（x+1）（x3）x2+2x+3；（2）ACP是以AC为底的等腰三角形，APCP，又OAOC，OP是AC的垂直平分线，OAOC，AOC90，OP是AC的垂直平分线，OP平分AOC，直线OP解析式为yx，联立方程组可得：，或，点P坐标为（，）或（，）；（3）如图，点A的坐标是（3，0），点C坐标为（0，3），直线AC解析式为：yx+3，设点D坐标为（m，m+3），DE|m|，DF|m+3|，EF2DE2+DF2m2+（m+3）2，G的面积EF2m2+（m+3）22（m）2+，当m时，G最小面积为10解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线yax2+bx+c（a0）中，得，解得，抛物线的解析式为：yx24x+3；（2）1设直线BC的解析式为ymx+n（m0），则，解得，直线BC的解析式为：yx+3，设M（t，t+3）（0t3），则N（t，t24t+3），MNt2+3t，当t时，MN的值最大，其最大值为；2PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上，PMN为直角三角形，由1知，当MN取最大值时，M（），N（），当PMN90时，PMx轴，则P点与M点的纵坐标相等，P点的纵