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文档简介

第三节 幂级数,一、函数项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结 练习题,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,幂级数的收敛域为以下几个区间之一：,证明,由比值审敛法,定理证毕.,例2 求下列幂级数的收敛域:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛域为(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,(2) 乘法,(其中,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),2.和函数的分析运算性质:,(收敛半径不变),(收敛半径不变),解,两边积分得,解,解,收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定.,例,它们

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