2019高考数学黄金专题100讲 第80讲 圆锥曲线的定点、定直线、定

1、2019高考数学黄金专题100讲 第80讲 圆锥曲线的定点、定直线、定 第80讲 圆锥曲线的定点、定直线、定值问题 i题源探究黄金母题 【例1】【2018安徽合肥高三二模】已知点a?1,0?和动点b，以线段ab为直径的圆内切于圆o:x?y?4 （i）求动点b的轨迹方程； （ii）已知点p?2,0?，q?2,?1?，经过点q的直线l与动点b的轨迹交于m，n两点，求证：直线pm与直线pn的斜率之和为定值 22精彩解读 【试题】2018安徽合肥高三二模 【母题评析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系定点问题，考查考生的分析问题解决问题的能力 【思路方法】（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用

2、定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题 （2）求定值问题常见的方法 x2y2?1；【答案】（i）（ii）见解析 43【解析】试题分析：（i）设以线段ab为直径的圆的圆心为c，取 a?1,0?，借助几何知识分析可得动点b的轨迹是以a，a为焦点，从特殊入手，求出定值，再证明这个 长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点b的轨迹方程为 22值与变量无关 直接推理、计算，并在计算推理的过 xy?1；（ii）当直线l垂直于x轴时，不合题意；当直线l的程中消去变量，从而得到定值 43斜率存在时，设直线l的方程为y?1?k?x?2?，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次

3、方程根与系数的关系及斜率公式可得 kpm?kpn?3，为定值 试题解析： （i）如图，设以线段ab为直径的圆的圆心为c，取a?1,0? 依题意，圆c内切于圆o，设切点为d，则o，c，d三点共线，o 为aa的中点，c为ab中点，?a?b?2oc ?ba?ba?2oc?2ac?2oc?2cd?2od?4?aa?2， 动点b的轨迹是以a，a为焦点，长轴长为4的椭圆， x2y2设其方程为2?2?1(a?b?0)，则2a?4，2c?2， ab?a?2，c?1，?b2?a2?c2?3， x2y2?1 ?动点b的轨迹方程为?43（ii）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x?2，此时直线l与椭 x2y2?1

4、相切，与题意不符 圆43当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?1?k?x?2? ?y?1?k?x?2?,?由?x2y2，消去y整理得 ?1?3?4?4k2?3x2?16k2?8kx?16k2?16k?8?0 ?直线l与椭圆交于m，n两点， ?16k2?8k?2?44k2?316k2?16k?8?0，解得k? ?1216k2?8k16k2?16k?8设m?x1,y1?,n?x2,y2?，则x1?x2?， ,x1x2?224k?34k?3?kpm?kpn?k?x1?2?k?x2?2?1y1y1? ?2?2k?x1?2x2?2x1?2x2?2x?2x?22?1?2k?x1?x2?4x1?x2?4

5、?2k? x?2x?2xx?2x?x?4?1?2?12?12?16k2?8k?424k?3? ?2k?2k?3?2k?3（定值）2216k?16k?8?16k?8k?2?424k2?34k?3?ii考场精彩真题回放 【例1】【2017高考全国ii16】已知f是抛物线c:y?8x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n若m为fn的中点，则 2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题的形式出现，若作为解答题则难度较大 【难点中心】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的

6、距离、抛物线上的点到 fn? 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点m位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点f，做mb?l与点b，na?l与点a， 由抛物线的解析式可得准线方程为x?2，则an?2,ff?4，在直角梯形anff中，中位线bm?准线的距离)进行等量转化如果问题中an?ff?3，由抛物线的定义有：2涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化 mf?mb?3，结合题意，有mn?mf?3，线段fn的长度： fn?fm?nm?3?3?6 x2y2【

7、例2】【2017高考全国i20】已知椭圆c：2?2=1（ab0），四 【命题意图】这类题主要考查直线与圆ab锥曲线的位置关系定点、定直线、 33点p1（1，1），p2（0，1），p3（1，），p4（1，）中恰有三点定值问题能较好的考查考生的运算求22在椭圆c上 （i）求c的方程； （ii）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点 【解析】试题分析：（i）根据p3，p4两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知c经过p3，p4两点另外 解能力、复杂式子的变形能力、分析问题解决问题的能力等 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解

8、答题的形式出现，难度中等，若作为解答题则难度较大 1113知，c不经过点p1，【难点中心】 ?2222aba4b1椭圆的对称性是椭圆的一个重要性点p2在c上因此p1,p3,p4在椭圆上，代入其标准方程，即可求出c的方程；（ii）先设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2，在设直y?kx?m线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l： 质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关 x2通过一定关系转化，（m?1），将y?kx?m代入?y2?1，写出判别式，韦达定理，表键是设出直线方程，4找出两个参数之间的关系式，从而可以 示出k1?k2，根据k1?k

9、2?1列出等式表示出k和m的关系，判断出直 判断过定点情况另外，在设直线方程 线恒过定点 之前，若题设中为告知，则一定要讨论 试题解析：（i）由于p3，p4两点关于y轴对称，故由题设知c经过p3，直线斜率不存在和存在情况，接着通法又由p4两点 1113知，c不经过点p1，点p2在c上因?2222aba4b是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简 2求轨迹方程的常用方法有： （1）直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系f?x,y?0 （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程 （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 ?1?

10、1,2 ?x2?a?4?b2此?，解得?2故c的方程为?y2?1 4?1?3?1?b?1 ?a24b2（ii）设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t?0，且|t|?2，可得a，b的4?t24?t2坐标分别为（t，），（t，?） 224?t2?24?t2?2?1，得t?2，不符合题设 则k1?k2?2t2t（4）代入（相关点）法：动点p?x,y?依赖于另一动点q?x0,y0?的变化而运动，常利用代入法求动点p?x,y?的轨迹方程 x2从而可设l：y?kx?m（m?1）将y?kx?m代入?y2?1得 4 (4k2?1)x2?8kmx?4m2?4

11、?0由题设可知?=16(4k2?m2?1)?0 4m2?48km设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=?2，x1x2= 4k?14k2?1y?1y2?1kx1?m?1kx2?m?1?而k1?k2?1 x1x2x1x2?2kx1x2?(m?1)(x1?x2) x1x2由题设k1?k2?1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0 4m2?4?8kmm?1即(2k?1)?2 ?(m?1)?2?0，解得k?24k?14k?1m?1当且仅当m?1时，?0，欲使l：y?x?m， 2即y?1?m?1(x?2)，l过定点?2,?1? 2【例3】【2017高考全国ii】设o为坐标原点

12、，动点m在椭圆c： x2?y2?1上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足np?2nm 2（i）求点p的轨迹方程； （ii）设点q在直线x?3上，且op?pq?1证明：过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f 【答案】（i） x2?y2?2；（ii）证明略 【解析】试题分析：（i）设出点p的坐标，利用np?2nm得到点p 与点，m坐标之间的关系即可求得轨迹方程为x2?y2?2；（ii）利用 op?pq?1可得坐标关系?3m?m2?tn?n2?1，结合（i）中的结论 整理可得oqpf?0，即oq?pf，据此即可得出题中的结论 试题解析：（i）设p?x,y?,m?x0,y0?，设n?x0,0?，

13、np?x?x0,y?,nm?0,y0?由np?2nm得x0?x,y0?2y 2x2y2?1 m?x0,y0?在c上，22因此点p的轨迹方程为x?y?2 （ii）由题意知f?1,0?设q?3,t?,p?m,n?，则 22oq?3,t?,pf?1?m,?n?,oq?pf?3?3m?tn， op?m,n?,pq?3?m,t?n? 22由op?pq?1得?3m?m?tn?n?1， 22又由（i）知m?n?2，故3?3m?tn?0 oqpf?0，即oq?pf又过点p存在唯一直线垂直于oq，过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f iii理论基础解题原理 考点一 定点问题 解决定点问题的常见模型：三大圆锥

14、曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点 （i）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线y?kx?b，若b为常量，则直线恒过(0,b)点；若 bb为常量，则直线恒过(?,0) kk（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x,y)?f2(x,y)?0（?为参数），解方程组?考点二 定直线问题 模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，当定点p(x0,y0)在曲线上时，相应的定直线 ?f1(x,y)?0,即得定点 ?f2(x,y)?0x0xy0y?2?1，a2bx0xy0y?2?1，y0y?p(x0?x)均为在定点p(x0,y0)处的切线 2ab考点三 定

15、值问题 模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点p与曲线上的两动点a，b满足直线pa与直线pb的斜率互为相反数，则直线ab的斜率为定值 iv题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等 【技能方法】 1定点问题：多为两类，一是证明直线过定点，关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点求定值问题常见的方法有两种： （i）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值 2定直线问题：证明两动直线的交点在某定直线上，一般都用特殊到一般的解题思想，即先取斜率不存在或者斜率为0等特殊情况，求出交点，把这条定直线求出来，再证明对任意情况，这条定直线都是成立的