统计学第三章---课后习题

1、1.略2 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？序号123456789101112性别男男男女男男女男女女男男职称工程师技术员技术员技术员技术员工程师工程师技术员技术员工程师技术员技术员解:设A女性，B工程师，AB女工程师，A+B女性或工程师（1）P(A)4/121/3（2）P(B)4/121/3（3）P(AB)2/121/6（4）P(A+B)P(A)P(B)P(AB)1/31/31/61/23.向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中

2、第一个和第二个军火库的概率分别是0.06、0.09，而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 解：本题考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清楚军火库只要一个爆炸就可以，所以知军火库爆炸是几个事件的和事件P(A)=0.06+0.09=0.154. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80，第二发命中的可能性为50。求该选手两发都脱靶的概率。解:设A第1发命中。B命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。 0.810.

3、20.50.9 脱靶的概率10.90.1或（解法二）：P(脱靶)P(第1次脱靶)P(第2次脱靶)5. 已知某产品的合格率是98%，现有一检查系统，它能以0.98的概率准确的判断出合格品，而对不合格品进行检查时，有0.05的可能性判断错误，该检查系统产生错判的概率是多少？解：考虑两种情况，一种就是将合格品判断错误，概率为98%*（1-0.98）=0.0196另一种情况就是将不合格品判断错误，概率为（1-98%）*0.05=0.001所以该检查系统产生错判的概率是0.0196+0.001=0.02066. 有一男女比例为51:49的人群，一直男人中5%是色盲，女人中0.25%是色

4、盲，现随机抽中了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率？ 7. 消费者协会经过调查发现，某品牌空调器有重要缺陷的产品数出现的概率分布如下：X012345678910P0.0410.1300.2090.2230.1780.1140.0610.0280.0110.0040.001 根据这些数值，分别计算：（1）有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。（2）只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。（3）有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。解：离散型随机变量的概率分布8. 已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84，超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到7

5、0岁以上的概率为多少？解: 设A活到55岁，B活到70岁。所求概率为：9. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？解:这是一个计算后验概率的问题。设A优质率达95，优质率为80，B试验所生产的5件全部优质。P(A)0.4，P()0.6，P(B|A)=0.955， P(B|)=0.85，所求概率为：决策者会倾向于采用新的生产管理流程。10. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品

6、，采购数量分别占总采购量的25、30和45。这三个企业产品的次品率分别为4、5、3。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少？（2）若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少？解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得：P(A1)0.25，P(A2)0.30， P(A3)0.45；P(B|A1)0.04，P(B|A2)0.05，P(B|A3)0.03；因此，所求概率分别为：（1） 0.250.040.300.050.450.030.0385（2）11. 某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是

7、相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p24/(24+36)0.4。设途中遇到红灯的次数X，因此，XB(3，0.4)。其概率分布如下表：xi0123P(X= xi)0.2160.4320.2880.064期望值（均值）1.2（次），方差0.72，标准差0.8485（次）12. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其

8、它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。解:设被保险人死亡数X，XB(20000，0.0005)。（1）收入2000050（元）100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X 10)0.58304。（2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为：P(X20)1P(X20)10.998420.00158（3）支付保险金额的均值50000E(X)50000200000.0005（元）50（万元）支付保险金额的标准差50000(X)50000(200000.0

9、0050.9995)1/2（元）13. 对上述练习题的资料，试问：（1）可否利用泊松分布来近似计算？（2）可否利用正态分布来近似计算？（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？解: （1）可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，= np=200000.0005=10，即有XP(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。（2）也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。本例中，np=200000.0005=10，np(1-p)=200000.0005(1-0.0005)=9.995，即

10、有X N(10,9.995)。相应的概率为：P(X 10.5)0.51995，P(X20.5)0.。可见误差比较大（这是由于P太小，二项分布偏斜太严重）。【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。（3）由于p0.0005，假如n=5000，则np2.53)=1-P(X3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-(0.31061+0.4419)=1-0.75253=0.2474716.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分

11、布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。解:（1）0.04779合格率为1-0.047790.95221或95.221。(2) 设所求值为K，满足电池寿命在200K小时范围内的概率不小于0.9，即有：即：，K/301.64485,故K49.3456。17.某公司决定对职员增发“销售代表”奖，计划根据过去一段时间内的销售状况对月销售额最高的5%的职员发放奖金。已知这段时间每人每月的平均销售额（元）服从均值为4000、方差为的正态分布，那末公司应该把“销售代表

12、”奖的最低发放标准定为多少？解：NORMINV(0.95,40000,600)=40986.9118. 一个具有个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。 给出的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差 描述的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？ 计算标准正态统计量对应于的值。 计算标准正态统计量对应于的值。解: 已知 n=64，为大样本，=20，=16，在重复抽样情况下，的抽样分布的均值为a. 20, 2 b. 近似正态 c. -2.25 d. 1.50 19. 参考练习18题求概率。23； 25； .落在16和22之间； 14。解: a. 0.0228 b. 0.0668

13、 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.001320. 一个具有个观察值的随机样本选自于、的总体。试求下列概率的近似值： 解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.969921. 一个具有个观察值的随机样本选自于和的总体。 你预计的最大值和最小值是什么？ 你认为至多偏离多么远？ 为了回答b你必须要知道吗？请解释。解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必22. 考虑一个包含的值等于0，1，2，97，98，99的总体。假设的取值的可能性是相同的。则运用计算机对下面的每一个值产生500个随机样本，并对于每一个样本计算。对于每一个样本容量，构造的50

14、0个值的相对频率直方图。当值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里和。解:趋向正态23. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（旅行新闻Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。1 描述（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明服从怎样的分布以

15、及的均值和方差是什么？证明你的回答；2 对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之间的概率呢？解： a. 正态分布, 213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.93824. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为克、标准差为克。监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36袋，并对每袋重量进行测量。现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量。（1）描述的抽样分布，并给出和的值，以及概率分布的形状；（3） 假设某一天技术人员观察到，这是否意味着装袋过程出现问题了呢，为什么？解： a. 406, 1.68,

16、正态分布 b. 0.001 c. 是，因为小概率出现了25. 某制造商为击剑运动员生产安全夹克，这些夹克是以剑锋刺入其中时所需的最小力量（以牛顿为单位）来定级的。如果生产工艺操作正确，则他生产的夹克级别应平均840牛顿，标准差15牛顿。国际击剑管理组织（FIE）希望这些夹克的最低级别不小于800牛顿。为了检查其生产过程是否正常，某检验人员从生产过程中抽取了50个夹克作为一个随机样本进行定级，并计算，即该样本中夹克级别的均值。她假设这个过程的标准差是固定的，但是担心级别均值可能已经发生变化。1 如果该生产过程仍旧正常，则的样本分布为何？2 假设这个检验人员所抽取样本的级别均值为830牛顿，则如果

17、生产过程正常的话，样本均值830牛顿的概率是多少？3 在检验人员假定生产过程的标准差固定不变时，你对b部分有关当前生产过程的现状有何看法（即夹克级别均值是否仍为840牛顿）？4 现在假设该生产过程的均值没有变化，但是过程的标准差从15牛顿增加到了45牛顿。在这种情况下的抽样分布是什么？当具有这种分布时，则830牛顿的概率是多少？解： a. 正态 b. 约等于0 c. 不正常 d. 正态, 0.0626. 在任何生产过程中，产品质量的波动都是不可避免的。产品质量的变化可被分成两类：由于特殊原因所引起的变化（例如，某一特定的机器），以及由于共同的原因所引起的变化（例如，产品的设计很差）。一个去除了

18、质量变化的所有特殊原因的生产过程被称为是稳定的或者是在统计控制中的。剩余的变化只是简单的随机变化。假如随机变化太大，则管理部门不能接受，但只要消除变化的共同原因，便可减少变化（Deming,1982,1986;De Vor, Chang,和Sutherland,1992）。通常的做法是将产品质量的特征绘制到控制图上，然后观察这些数值随时间如何变动。例如，为了控制肥皂中碱的数量，可以每小时从生产线中随机地抽选块试验肥皂作为样本，并测量其碱的数量，不同时间的样本含碱量的均值描绘在下图中。假设这个过程是在统计控制中的，则的分布将具有过程的均值，标准差具有过程的标准差除以样本容量的平方根，。下面的控制图中水平线表示过程均值，两条线称为控制极限度，位于的上下3的位置。假如落在界限的外面，则有充分的理由说明目前存在变化的特殊原因，这个过程一定是失控的。 当生产过程是在统计控制中时，肥皂试验样本中碱的百分比将服从和的近似的正态分布。1 假设则上下控制极限应距离多么远？2 假如这个过程是在控制中，则落在控制极限之外的概率是多少？3 假设抽取样本之前，过程均值移动到，则由样本