重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案

1、一.填空题:1 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m次.2 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中断 ;. 主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .3 当A具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b用简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛.4 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格式. 5 一个n阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n偶数时,此公式可以有 n+1 次代数精度.6 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 . 二计算题:1. 线性方程组

2、: 1) 对系数阵作LU分解,写出L阵和U阵；2) 求出此方程组的解.2. 线性方程组: 1)对系数阵作LU分解,写出L阵和U阵；2)求出此方程组的解.3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.A对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;用简单迭代法不收敛3. 设f(x)= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点,1) 试写出f(x)的三次拉格朗日插值多项式P3(x)及其插值余项R3(x);x-1012y101162) 求出f(1.5)的近似值,并估计误差.或:=64 设, 以1,2,3为插值节点,1) 试写出f(x)的二次拉格朗日插值多项式P2(x)及其插值余项R2(x);x123y

3、00.60311.09862) 求出的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.5 有积分公式，是待定参数，试确定，使得上述公式有尽可能高的代数精度,并确定代数精度为多少.至少有2次代数精度.此公式代数精度为3.6 有积分公式1) 试确定代数精度为多少;2) 用它计算,精确到2位小数,与作比较.代数精度为3.7. 某企业产值与供电负荷增长情况如下表：年份2000年2001年2002年2003年2004年企业产值x（万元）79121519用电量y（万千瓦时）1.21.62.22.93.3拟合值y1（万千瓦时）1.261.622.172.713.431) 试用一次多项式拟合出经验公式； kx

4、kykxk2xkyk171.249 8.4291.681 14.43122.214426.44152.9225 43.55193.336162.7合计6211.2860155.4正规方程组:解之: 8. 测试某型号水泵得到扬程(米)和出水量(立米/小时)的对照表如下:扬程x(米)23456出水量y(立米/小时)25171085拟合值y1(立米/小时)25.59 15.60 10.60 7.60 5.611) 试用一次多项式拟合出经验公式； kxkykXkXk2Xkyk12250.5000 0.2500 12.5000 23170.3333 0.1111 5.6667 34100.2500 0.

5、0625 2.5000 4580.2000 0.0400 1.6000 5650.16670.02780.8333合计651.450.491423.1正规方程组:解之: 2) 计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合；3) 某用户使用此型号水泵时扬程为2.6米,试估计此时出水量? 9 方程 有一个实根：1)用区间对分法搜索确定根所在的区间 (a,b)，使 b-a 0.2;(0.6,0.8)1) 用某种迭代法求出此正根,精确到5位有效数字10 方程 1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；2) 证明，在(0,1)区间内收敛；3) 用牛顿迭代法求出此根,精确到5位有效数字1) (0,1)区间有一个实根；是严格增函数，只有一个实根。2) 迭代收敛；3) 取11. 用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取h=0.2，计算精确到4位小数xkyk000.20.20000.40.37630.60.49210.80.54231.00.546612 微分方程初值问题，用改进的欧拉方法求的近似值，（即h=0.2，计算二步）,并与准确解: 比较计算精确到4位小数xkykY(xk)01.0000 0.20.83600.8333 0.40.71760.7143 其他13 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积