高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 51 空间角的求法课时作业

1、高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 51 空间角的求法课时作业 课时作业51 空间角的求法 1(2014福建卷)在平面四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图 (1)求证：abcd； (2)若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值 解：(1)平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab?平面abd，abbd， ab平面bcd. 又cd?平面bcd，abcd. (2)过点b在平面bcd内作bebd，如图 由(1)知ab平面bcd，be?平面bcd，bd?平面bcd， abbe，abbd. 以b为坐标原点，分别以

2、be，bd，ba的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 依题意，得b(0，0，0)，c(1，1，0)，d(0，1，0)， a(0，0，1)，m(0，)， 11则bc(1，1，0)，bm(0，)，ad(0，1，1) 22设平面mbc的法向量n(x0，y0，z0)， ?0，?nbc?则即?1 1?nbm0，?y0z00，? 11 22 x0y00， 2 ?2 取z01，得平面mbc的一个法向量n(1，1，1) 设直线ad与平面mbc所成角为， 1 则sin|cosn，ad|错误!错误!， 6 . 3 即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为2(2015广东卷)如图，三角形pdc所在的平面

3、与长方形abcd所在的平面垂直，pdpc4，ab6，bc3.点e是cd边的中点，点f，g分别在线段ab，bc上，且af2fb， cg2gb. (1)证明：pefg； (2)求二面角padc的正切值； (3)求直线pa与直线fg所成角的余弦值 解：(1)证明：pdpc，e为dc的中点， pedc. 又平面pcd平面abcd，且平面pcd平面abcdcd， pe平面abcd. 又fg?平面abcd， pefg. (2)取ab中点h，连接eh，由(1)知pedc，peeh，由于四边形abcd为矩形， 所以hedc， 故以eh、ec、ep所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 故由pd4，a

4、bcd6得ep7l 设二面角padc的平面角为，由图知为锐角， 2 |mn|37 所以cos，tan. |m|n|43 (3)由(2)知pa(3，3，7)，g(2，3，0)，f(3，1，0)， 所以gf(1，2，0) 设异面直线pa与fg所成角为， 则cos? ?pagf ? |gf|?|pa 31（3）（2）95 . 2555 3(2015浙江卷)如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac90，abac2，a1a4， a1在底面abc的射影为bc的中点，d是b1c1的中点 (1)证明：a1d平面a1bc； (2)求二面角a1bdb1的平面角的余弦值 解： (1)证明：设e为bc的中点，连接a

5、1e，ae，de，由题意得a1e平面abc，所以a1e ae. 因为abac，所以aebc. a1ebce且a1e，bc?平面a1bc， 故ae平面a1bc. 由d，e分别为b1c1，bc的中点，得 deb1b且deb1b， 从而dea1a且dea1a， 所以a1aed为平行四边形 故a1dae. 又因为ae平面a1bc，所以a1d平面a1bc. 3 (2)以cb的中点e为原点，分别以射线ea，eb，ea1为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系exyz，如图所示 由题意知各点坐标如下：a1(0，0，14)，b(0，2，0)，d(2，0，14)，b1(2，2，14) 因为a1b(0，2，14

6、)，bd(2，2，14)，db1(0，2，0) 设平面a1bd的一个法向量为m(x1，y1，z1)，平面b1bd的一个法向量为n(x2，y2， z2) 由? ?2y114z10， 即? ?mbd0，?2x12y114z10， ?ma1b0，? 可取m(0，7，1) 由? ?2y20， 即? ?nbd0，?2x22y214z20， ?ndb10，? 可取n(7，0，1) |mn|1于是|cosm，n|. |m|n|8由题意可知，所求二面角的平面角是钝角， 1 故二面角a1bdb1的平面角的余弦值为. 8 1(2015天津卷)如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，aba

7、c， ab1，acaa12，adcd5，且点m和n分别为b1c和d1d的中点 (1)求证：mn平面abcd； (2)求二面角d1acb1的正弦值； 1 (3)设e为棱a1b1上的点，若直线ne和平面abcd所成的角的正弦值为，求线段a1e的 3 4 长 解：如图，以a为原点建立空间直角坐标系，依题意可得a(0，0，0)，b(0，1，0)， c(2，0，0)，d(1，2，0)，a1(0，0，2)，b1(0，1，2)，c1(2，0，2)，d1(1，2，2) ?1?又因为m，n分别为b1c和d1d的中点，得m?1，1?，n(1，2，1) ?2? 5?(1)证明：依题意，可得n(0，0，1)为平面ab

8、cd的一个法向量mn?0，0?. 2?由此可得mnn0， 又因为直线mn?平面abcd，所以mn平面abcd. (2)ad1(1，2，2)，ac(2，0，0) 设n1(x1，y1，z1)为平面acd1的法向量， ?0，?n1ad1?x12y12z10， 则?即? ?n1ac?2x10.0，? 不妨设z11，可得n1(0，1，1) 设n2(x2，y2，z2)为平面acb1的法向量， 则? ?n2ab10，? ?0，?n2ac ?y22z20，又ab1(0，1，2)，得? ?2x20.? 不妨设z21，可得n2(0，2，1) 因此有cosn1，n2 n1n210 ， |n1|n2|10 310 于是sinn