高等数学（下）试卷及答案

1、高等数学（下）试卷及答案 高等数学（下）试卷 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、曲面z?x?y22是 （a）zox平面上曲线z?x绕z轴旋转而成的旋转曲面 （b）zoy平面上曲线z?y绕z轴旋转而成的旋转曲面 （c）zox平面上曲线z?x绕x轴旋转而成的旋转曲面 （d）zoy平面上曲线z?y绕y轴旋转而成的旋转曲面 11?ysin?xcos2、函数f(x,y)?yx?0xy?0xy?0，则极限limf(x,y)= 。 x?0y?0(a)不存在 (c)等于零 x(b)等于1 (d)等于2 则 2 ? 3

2、、设u?arcsin?u?xx?yxx?yyx?y22222(a) (b) ?yx?y22 (c) (d) ?xx?y22 4、用格林公式计算得 ，其中c为圆周x2+y2=r2,其方向为逆时针方向。则 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) ?1、已知级数?un的前n项部分和sn?n?13nn?1?n?1 ,2? 则此级数的通项un? 。 1 ?2、设幂级数?anxn的收敛半径是4，则 n?0?幂级数?anx2n?1的收敛半径是 。 n?03、已知向量a与c?4,7,?4?方向相反，且a?27，则a= _ 。 3?22?2?,?)处的切平面6462 2

3、 ?4、曲面sin(x?2y)?cos(y?3z)?sin(z?2x)?方程是_。 在点(5、柱面以xoy平面上的线段l为准线，母线平行于oz轴，则介于平面z=0及曲面z=1+x+y 之间的部分的面积可用曲线积分表示为_. 三、解答下列各题 (本大题共5小题，总计31分) 1、(本小题2分) 设z?arccos(xy)，求zx。 2、(本小题6分) 设?n?x?cosln?xl,n?0,1,2,?, 其中l为正常数。求积分 ?x?x?dx,0mnm,n?0,1,2,?。 3、(本小题7分) 设c=asinx,acosy,bz,u=|c|2,计算div(cgradu). l 五、解答下列各题 (

4、本大题共2小题，总计11分) 1、(本小题4分) 利用二重积分计算由直线y=x,y=5x及x=1所围成区域的面积。 2、(本小题7分) 利用二重积分求不等式ra(1+cos),ra所表达的区域的面积。 六、解答下列各题 ( 本 大 题16分 ) 计算 xdv,其中是第一卦限中由曲面y=z;z=0;y=sinx所围介于0x部分的区域。 2y2?(x?2y?4xy3)y?0的通解。 3 2004级高等数学（下）试卷解答（b卷2005.7） 试卷号：b020001(答案) 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、

5、b 2、c 3、c 4、c 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、 u3n?n?n?1? 2、 2 3、?3?4,7,?4? 4、x?(2?2)y?32z?(2?234)? 5、答 三、解答下列各题 (本大题共5小题，总计31分) 1、(本小题2分) zx?y （2分） 1?(xy)22、(本小题6分) 作变量替换 ?xl?t, 则 ?ln?x0?0?x?n?x?dx?l0cosldx ?ln?0? 0cosntdt?l,?0,n?0 当m?0,n?0且m?n时, ?lm?xn?xm?x?n?x?dx?0?lcoslcosldx?00 当m?n?

6、0时, ?lm?x?n?x?dx?lcos2m?x00ldx 4 (2分) (4分) ? ?l?l2? ?0cosmtdt (6分) 23、(本小题7分) u=cc=a2sin2x+a2cos2y+b2z2. 2分 gradu=a2sin2x,a2sin2y,2b2z 4分 =2ab2zcosy+a2bzsin2y,a2bzsin2x+ +2ab2zsinx,a3sinxsin2ya3 sin2xcosy div(cgradu)=0. 4、(本小题7分) 特征方程为 ?2?2?6?0 特征根为 ?1?1?5i,?2?1?5i 通解为： y?e?x(c1cos5x?c2sin5x) 由初始条件得 c1?1,c2?2 5原问题的解为： y?e?x(cos5x?2 5sin5x)5、(本小题9分) 原方程化为 (y?2y2)dx?(x?2y?4xy3)dy?0?2 ?y(y?y2)?4x?x(x?2y?y3)?1?4y3故为全微分方程 令 u(x,y)?(x,y)(0,1)(y?2y2)dx?(x?2y?4xy3)dy 5 2分） 4分） 5分） 7分） （4分） 6分 7分 （ ?xy?y2?2xy2?1 （8分） 故通解为 xy?y2?2xy2?c （9分） 四、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 由高斯公式 第一行2分 第二行2分 第三行2分 五、解答下列各题