代数基本定理的初等证明

1、代数基本定理的初等证明乔明云（四川 成都师范高等专科学校数学系 ）摘要 本文给出了代数基本定理的初等证明关键词 代数基本定理，初等证明，复数域，一元次多项式，根，闭曲线，映射，幅角增量。1799年，年仅21岁的高斯在他的博士论文中首次证明了定理 在复数域上，一元次多项式（）（）至少有一个根。由于这个定理是方程论的基础，方程论又是初等代数学的主要内容，因而称为代数基本定理。高斯的证明是数学史上的一个里程碑。二百多年来，数学家们找到了这个定理的许多不同证明，但无不用到较为高深的数学知识（至少用到复变函数论）及数学思想方法，因此，几乎所有的高等代数教科书都仅叙述定理的内容而未给出证明。本文给出一个初

2、等浅显的简单证明，供教学参考。首先证明两条引理：引理1 设是复平面上的一条连续闭曲线，则在映射下的象仍是一条连续闭曲线。证明：设的参数方程是 则上的任意点满足 令 ，则其中 ，是，的实多项式。于是，当时，从而在映射下的象是以 为参数方程的一条有向曲线，其中。当动点从上一点开始，沿着运动一周回到时，动点则从曲线上相应的点开始，沿着连续变动到，因而也是一条闭曲线。引理2 存在正数，当简单闭曲线内含圆盘：时，点沿正向（逆时针方向）运动一周，多项式的值的幅角增量 。证明：首先证明，对任意，存在，当时，点一定落在：的内部。不失一般性，可设的首项系数，记 则 于是，当时，令 ，显然 ，因此，当 时即 当

3、时，点一定落在内部。如图1 （图1）记，则时，。故充分大时，充分小。显然，对于落在圆内的任何点均满足，从而有 （1）当简单闭曲线内含圆：时，一方面，上的任何点都满足，从而点一定落在内部，于是，上的每一点均满足（1）。另一方面，由于原点在内部，当点沿正向转一周时，的幅角增量，从而的幅角增量 （2）于是，当点沿正向转一周时，与的幅角增量相同，即有下面，我们来证明代数基本定理：首先证明，在复平面上存在这样的点，在它的任何邻域内都能找到闭曲线，使得根据引理2，存在正数，当正方形内含圆时，如图2点沿的周界正向转一周，的幅角增量把平分为四个小正方形，它们的周界记为。 （图2） （图3）当点沿每一个的周界正

4、向运动一周时，在它们的公共边界上按互为相反的方向各运动一次，的相应的幅角增量互相抵消（图3）。从而的幅角增量之总和恰好等于沿的周界运动一周时的幅角增量，即有由此可知，在四个小正方形中至少有一个，记为，其边界为，满足。再把平分为四个小正方形，重复前述推理可知，其中又至少有一个小正方形，其周界满足。把这一过程无限地继续下去，我们得到一列闭正方形域其中每一个均是由其前一个平分为四而得到，它们的边界分别为，。对每一个都有。根据闭矩形套定理，存在唯一的点，=1，2，。于是对于的任何一个邻域，只要取足够大的正数，便有正方形满足这样，我们的论断获证。下面，我们证明就是的根。只须证明：如果，则存在，对于的邻域

5、内的任何闭曲线恒有事实上，当时，记，则 记，因，故，于是，当时，即时这表明，当点时，点一定落在圆：的内部。对于邻域内的任何闭曲线，根据引理1 在映射下的象仍是一条闭曲线。据上述证明可知，被圆所包含（如图4）。 （图4）当点沿运动一周时，点沿运动一周，由于原点在的外部，当然有，于是综合上述两个方面，代数基本定理获证。AN ELEMENTARY PROOF FOR ALGEBRAIC BASIC THEOREMQiao Ming Yun(Sichuan, Mathematics Department Chengdu Teachers College, )Abstract: In this paper ,well give an elementary proof for algebraic basic theorem .Keywords: Algebraic basic theorem ,Elementary proof ,Complex field ,Mona