《高考风向标》2012年高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性精品课件 理

1、,第3讲,函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性的定义,f(x)f(x),(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有,(或,)，则称 f(x)为奇函数,奇函数的图像关于,对称,f(x)f(x)0,原点,(2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 则称 f(x)为偶函数偶函数的图像关于,(或， 轴,对称,f(x)f(x),f(x)f(x)0),y,(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的 函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函 数的必要条件是其定义域关于原点对称),2函数的周期性的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个 每一个 x 值，都满足,，使

2、得定义域内的 ，那么函数 f(x)就叫做周期函,数，非零常数 T 叫做这个函数的,周期,非零常数 T,f(xT)f(x),),B,1对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)有( Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(0)0,2若 f(x)是偶函数，且当 x0，)时，f(x)x1，则,不等式 f(x1)0 的解集是(,),C,Ax|1x0,Bx|x0 或 1x2,Cx|0x2,Dx|1x2,3设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f(x)在(0,3)内单 调递增，且 yf(x)的图像关于直线 x3 对称，则下面正确的结,论是(,),C,Af(1.5)

3、f(3.5)f(6.5) Bf(3.5)f(1.5)f(6.5) Cf(6.5)f(1.5)f(3.5) Df(3.5)f(6.5)f(1.5),4函数 f(x)|x2|x2|的奇偶性是,偶函数,5设函数 f(x)(x21)(xa)为奇函数，则 a,.,0,考点 1,判断函数的奇偶性,例 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)|x1|x1|；, .,(6)f(x),x 2x1,x 2,解题思路：依照定义判断函数的奇偶性，要先考查函数的 定义域 解析：(1)函数的定义域 x(，)，对称于原点 f(x)|x1|x1|x1|x1| (|x1|x1|)f(x)， f(x)|x1|x1|是奇函数 (

4、2)函数定义域为 R.,f(x)为偶函数,方法二：先化简：,为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多 (3)去掉绝对值符号，根据定义判断,故 f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，且有 x2,0，从而有,1(x)2,1x2,f(x),x,x,f(x)，,故 f(x)为奇函数 (4)函数 f(x)的定义域是(，0)(0，)， 当 x0 时，x0， f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0) 当 x0 时，x0， f(x)x(1x)f(x)(x0) 故函数 f(x)为奇函数,(5)此函数的定义域为1，1，且 f(x)0，可知图像既关 于原点对称、又关于 y 轴对称，故此函数

5、既是奇函数又是偶函 数,(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域 具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为 D，则 xD 时x D) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)分段函数的 奇偶性一般要分段证明；(3)判断函数的奇偶性应先求定义域再 化简函数解析式 【互动探究】,义域均为 R，则(,),B,Af(x)与 g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数,考点 2,利用函数的奇偶性求函数的表达式,例 2：设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0，)时，f(x) ，那么当 x(，0)时，求 f(

6、x)解析式,解析：f(x)是奇函数，当 x0 时，x0.,【互动探究】 2(1)已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x),xx2，则 x0 时，f(x),；,f(x)x2x,(2)已知函数 f(x)是定义在(，)上的偶函数当 x( ，0)时，f(x)xx4，则当 x(0，)时，f(x),.,考点 3,函数奇偶性与单调性的综合应用,例 3：已知奇函数 f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若 f(m 1)f(2m1)0，求实数 m 的取值范围,f(x)xx4,利用函数的奇偶性，可以求关于原点对称区间上 的函数的表达式 【互动探究】 3偶函数 f(x)(xR)满足：f(4)

7、f(1)0，且在区间0,3,与3，)上分别递减和递增，则不等式 xf(x)0 的解集为(,),A(，4)(4，) C(，4)(1,0),B(4，1)(1,4) D(，4)(1,0)(1,4),解析：由已知条件通过 f(x)(xR)的草图得知函数 f(x)(xR) 的值在(，4)，(1,1)，(4，)上都为正，在(4，1)， (1,4)上为负，故不等式 xf(x)0 的解集为(，4)(1,0) (1,4),D,错源：没有考虑定义域,例 4：判断函数 f(x)(1x),的奇偶性,误解分析：对函数奇偶性定义实质“函数的定义域关于原 点对称”理解不全面这是函数具备奇偶性的必要条件,正解：f(x)(1x

8、),有意义时，必须满足,1x 1x,0,1x1，即函数的定义域是x|1x1，由于定义域不关于 原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 纠错反思：在处理函数的任何问题时，都要树立定义域优 先的意识,【互动探究】,4给出四个函数：ylg,1x ；ylg(1x)lg(1x)； 1x,ylg(x1)(x1);,ylg(x1)lg(x1)，其中奇函数,是,，偶函数是,.,例 5：已知函数 f(x)，当 x0 时，f(x)x22x1. (1)若 f(x)为 R 上的奇函数，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)为 R 上的偶函数，能确定 f(x)的解析式吗？请说明 理由, .,【互动探究】,解析

9、：由 f(x2),1 f(x),得 f(x4),1 f(x2),f(x)，所以 f(5),f(1)5，则 ff(5)f(5)f(1),1 f(12),1 5,关于周期函数的几种判定方法： (1) 对于函数 f(x) 定义域中的任意的 x ，总存在一个常数 T(T0)，使得 f(xT)f(x)恒成立，则 T 是函数 yf(x)的一个 周期； (2)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(xa)(a0)，则 T2a 是 它的一个周期； (3)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(x)(a0)，则 T2a 是它 的一个周期；,1 f(x),(a0)，则 T2a 是它,(4)若函数 yf(x)满足 f(

10、xa) 的一个周期；,1 f(x),(a0)，则 T2a 是它的,(5)若函数 yf(x)满足 f(xa) 一个周期；,(6)若函数 yf(x)满足 f(xa),1f(x) 1f(x),(a0)，则 T2a 是,它的一个周期； (7)若函数 yf(x)(xR)的图像关于直线 xa 与 xb 对称， 则 T2|ba|是它的一个周期； (8)若函数 yf(x)(xR)的图像关于点(a,0)与直线 xb 对 称，则 T4|ba|是它的一个周期,函数 y ln,1(2010 年江西)给出下列三个命题：,1 2,1cosx x 与 ylntan 是同一函数； 1cosx 2,若函数 yf(x)与 yg(x)的图像