3.4生活中的优化问题举例

1、3.4 生活中的优化问题举例,练习：函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76,得x1=3，x2=1,函数值为f (3)=27, f (1)=5,76,-5,当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，得函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=5,复习旧知,你是否注意到：市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的

2、利润越大?,问题引入,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm.,（）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,知识背景,问题1: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?,问题探究（一）,解：,由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：,

3、令,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；,因此,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。,（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；,（2）半径为6时，利润最大。,练习1:某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？,解:设宾馆定价为(18010 x)元时，宾馆的利润最大,问题探究（二）,问题2: 如何设计饮料罐，使用料最省?,知识背

4、景,例2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,例2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2. R0,由V=R2h,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,因此, 是函数 的极小值点,也是最小值点.此时,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学模型,作答,利用导数解决优化问题的基本思路：,解题思路的总结,练习2 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的

5、竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为：,练习巩固,因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。,所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。,求导数，有,解得，x=16 (x=-16舍去）,练习3:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?,x,h,解: 设箱底边长为 x,则箱高为,箱子容积,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,练习巩固,x,h,解: 设箱底边长为 x,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,当x(0,40)时,V(x)0;当x(40,60)时,V(x)0.,函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.,答 :当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3,优化问题,用函数表示数