正弦定理和余弦定理

1、5.4正弦定理和余弦定理1. （ 2008陕西理， 3） ABC 的内角 A 、B、C 的对边分别为a、 b、 c ，若 c=2 ， b =6 ，B=120, 则a 等于A.6B.2 C. 3 D. 22.（ 2008福建理， 10）在 ABC 中 , 角 A 、B、C 的对边分别为a、b 、 c，若（ a2 +c2 - b2 ）tan B=3 ac，则角 B 的值为A.B.C.或 5D.或 26366333.（2008浙江理， 13）在 ABC 中，角 A 、B、C 所对的边分别为a、b 、c. 若（ 3 b - c ）cosA=a cos C，则 cos A=.4.在 ABC 中，若 2c

2、os Bsin A=sin C, 则ABC 一定是 A. 等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形5.已知 ABC 的三边长分别为a, b , c, 且面积 S ABC=1 （ b2 +c 2 - a2），则 A 等于A. 45B.30 C.120 4D.1 56.在 ABC 中， BC=2，B=，若 ABC 的面积为3 ，则 tan C 为A.3B.1C.3 D. 332327.在 ABC 中， a2- c2+b 2=ab , 则角 C 为A. 60B.45或 135C.120 D.308.在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a, b , c ，若 a=1,

3、b =7 , c=3 , 则 B=.9.在 ABC 中，若 ( a+b +c)( a+b- c)=3 ab , 且 sin C=2sin A cosB, 则 ABC 是A. 等边三角形B.等腰三角形但不等边C.等腰直角三角形D.直角三角形例 1在 ABC 中， a 、b 、c 分别是角 A ， B， C 的对边，且 cosB =-b.cosC2ac（ 1）求角 B 的大小；（ 2）若 b =13 ，a+c=4，求 ABC 的面积 .解（ 1）由余弦定理知： cos B= a 2c 2b 2， cos C= a 2b2c2. 将上式代入 cosB =-b得:2ac2abcosC2aca2c 2b

4、 2a22abc 2=-b整理得 : a 2+c 2- b 2=- ac cos B= a 2c 2b2= ac =-12acb22a c2ac2ac2 B 为三角形的内角， B= 2.3（ 2）将 b =13, a+c=4, B= 2代入b2=a2 +c 2 -2 accos B, 得 b2 =(a +c) 2 -2 ac-2 accosB3 b 2 =16-2 ac 11, ac=3.S ABC= 1ac sin B=3 3 .224例 2.（ 2008辽宁理， 17）在 ABC中，内角 A 、B 、C 对边的边长分别是a、 b、 c . 已知 c=2, C= .3（ 1）若 ABC 的面

5、积等于 3 ，求 a、 b 的值；（2）若 sin C+sin( B - A)=2sin2 A, 求 ABC 的面积 .解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2- ab =4. 又因为 ABC 的面积等于3 ，所以 1 ab sin C=3 ，所以 ab =4. 联立方程组a 2b 2ab 4, 解得 a2 .2ab4,b2（ 2）由题意得 sin( B+A)+sin(B- A )=4sin A cosA, 即 sin BcosA =2sin A cosA ,当 cosA =0 时， A=，B=，a= 43，b= 23 . 当 cos A 0 时，得 sin B=2sin A, 由正弦

6、定理得 b =2a,263322ab 4,a23 ，123联立方程组ab解得3所以 ABC 的面积S=.b2a,43 .2ab sin C=3b3例 3. 在 ABC 中，角 A ，B，C 所对的边分别为a , b , c ，并且 a2 =b ( b +c).（ 1）求证： A=2B；（ 2）若 a= 3 b , 判断 ABC 的形状 .（ 1）证明因为 a 2=b( b +c) ，即 a2=b 2+bc , 所以在 ABC 中，由余弦定理可得 ,cos B= a 2c 2b2= c2bc = bc =a 2= a= sin A , 所以 sin A=sin2 B, 故 A =2B.2ac2a

7、c2a2ab2b2sin B（ 2）解因为 a=3 b , 所以 a =3, 由 a 2=b( b +c) 可得 c=2b ,bcos B= a 2c 2b2= 3b 24b2b 2=3 , 所以 B=30 , A =2B=60 , C=90. 所以 ABC 为直角三角形 .2ac43b22例 4. （ 2008广东五校联考） 在 ABC 中，角 A 、B、C 的对边分别为 a、 b 、 c，已知 a+b =5， c=7 ，且 4sin 2 A B -cos2 C= 7 .22(1) 求角 C 的大小；（ 2）求 ABC 的面积 .解（ 1 ） A +B+C=180 由4sin 2 A B-c

8、os2 C= 7,得 4cos 2 C-cos2 C= 7 , 22224 1cos C -(2cos 2C-1)=7 ,2221, 0 C 180, C=60.整理 , 得 4cos C-4cos C+1=0, 解得 cosC=2(2) 由余弦定理得c2 =a2 +b 2-2 ab cos C, 即 7=a2+b 2- ab , 7=( a+b ) 2-3 ab ，由条件 a+b =5, 得 7=25-3 ab , ab =6, S ABC = 1 ab sin C= 163 = 33 .2222单元检测五1. （ 2008海南理， 8）平面向量a, b 共线的充要条件是A . a , b

9、方向相同B. a, b 两向量中至少有一个为零向量C. R, b =aD . 存在不全为零的实数1 ,2 ,1 a +2 b =03. 向量 a, b 满足 | a|=1,|b |=2 ,( a+b ) (2a - b ), 则向量 a 与 b 的夹角为A .45 B .60 C.90D .120 5. 在 ABC 中， A =105， C=45 , AB=2 ，则 AC 等于A .1B.2C.2 D .227.（ 2008湖北理，1）设 a=(1,-2),b =(-3,4),c=(3,2)，则( a +2b ) c 等于 A .（ -15 ，12）B.0C.-3D .-119. 已知非零向量

10、a2b等于A .1 B.2C.1D .1a, b , 若 ab =0, 则2ba4212. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且 | a|=3,| a +b |= 13，则 | b | 等于A .5B.4C.3D .113. （ 2008北京理， 10）已知向量 a 与 b 的夹角为120 , 且| a |=| b |=4,那么 b （ 2a+b ）的值为.14. （2008天津文， 14）已知平面向量 a=(2,4),b =(-1,2).若 c=a-(a b ) b ，则 | c|=.15. （ 2008陕西理， 15）关于平面向量 a， b ，c有下列三个命题：若a b =a c ，

11、则 b =c ；若a=(1, k), b =(-2,6),a b , 则 k=-3;非零向量 a 和 b 满足 | a |=|b |=| a- b | ，则 a 与 a +b的夹角为 60.其中真命题的序号为.20. （2008重庆理， 17）（12 分）设 ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b ， c，且 A =60 , c=3b.求:（ 1） a 的值 ; （ 2）11的值 .ctan Btan C解 (1)由余弦定理得 a2 =b 2+c2-2 bc cos A= ( 1 c)2+c2 -2 1 c c 1= 7 c2， 故 a =7 .3329c3（ 2）方法一11= cos B sin CcosC sin B = sin( BC ) =sin A,tan Btan Csin B sin Csin B sin Csin B sin C= 12= 27 c 214 = 143 . 故由 正 弦 定 理 和 （ 1 ） 的 结 论 得sin Aa9=sin B sin Csin Abc31339c c311=143 .tan Btan C97c2c21c)2222(方 法 二由 余 弦 定 理 及 （ 1 ） 的 结 论 有 cos