材料力学第10章压杆稳定.ppt

1、材 料 力 学,第10章 压杆稳定,10.1 工程中的压杆稳定问题 理解 10.2 压杆稳定性概念 掌握 10.3 细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握 10.4 压杆的临界应力 掌握 10.5 压杆的稳定性计算 掌握 10.6 提高压杆稳定性的措施 了解,第10章 压杆稳定,关键术语 压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr，柔度（长细比），计算长度l 重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计 难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计,构件的承载能力：,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工

2、作。,10.1 工程中的压杆稳定问题,理想压杆： 均质材料 压力作用线与轴线重合 直杆,两根相同材料（松木）制成的杆，b=20MPa；A10mm30mm,短杆长：l30mm,长杆长：l1000mm,一、压杆稳定问题的提出,若按强度条件计算，两根杆压缩时的极限承载能力均应为：,F= b A=6kN,两杆的极限承载能力是否相同？,（1）短杆在压力增加到约为6kN时，因木纹出现裂纹而破坏。,（2）长杆在压力增加到约4kN时突然弯向一侧，继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断。,压杆的破坏实验结果：,短压杆的破坏属于强度问题,长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡状态的问题（稳定性问题）,结论：,

3、短压杆与长压杆在压缩时的破坏性质完全不同！,压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。,压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆失稳。,稳定失效是区别于强度失效和刚度失效的又一种失效形式。,二、工程中的稳定问题,二、工程中的稳定问题,二、工程中的稳定问题,桁架稳定性,二、工程中的稳定问题,桁架吊索式公路桥,二、工程中的稳定问题,压杆失稳的严重后果：,案例1 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌死502人，伤937人。,案例2 2010年1月3日下午14:20，在昆明新机场的配套引桥工程在混凝土

4、浇筑施工中，突然发生了支架垮塌事故，造成7人死亡，8人重伤，26人轻伤，直接经济损失616.75万元。,其原因是桥下支撑体系突然失稳，8m高的桥面随即垮塌下来。,压杆失稳的严重后果：,案例3 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶倒塌，死6人，伤34人。,压杆稳定性问题不容忽视！,压杆失稳的严重后果：,研究压杆稳定性的意义：,压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。,在机械工程中的一些受压杆件如千斤顶、活塞连杆、托架结构的压杆等和在建

5、筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。,10.2 压杆稳定性的概念,一、平衡的稳定性,稳定平衡：,干扰平衡的外力消失后，小球能自动回到原来的平衡位置,不稳定平衡：,干扰平衡的外力消失后，小球不能回到原来的平衡位置,临界平衡：,干扰平衡的外力消失后，小球可在任意位置继续保持平衡。,显然，临界平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态，也称为随遇平衡。,Fcr,二、压杆的稳定平衡状态与不稳定平衡状态,扰动力撤除后，能恢复到原有的直线平衡状态。,原有的直线平衡状态是稳定平衡状态。,1、稳定的平衡状态,当扰动力撤除后，它不能恢复到原有的直线平衡状态，而保持微弯状态下的平衡临界平

6、衡状态。这时压杆的的轴向压力称为临界压力Fcr。,压杆由直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡-失稳（屈曲）,原有的直线平衡状态是不稳定平衡状态。,2、临界平衡状态与临界压力Fcr,当压力大于临界压力，压杆只要受到轻微干扰，就会屈曲，直至弯折。,3、不稳定的平衡状态,原有的直线平衡状态是不稳定平衡状态。,弹性压杆的稳定性,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,确定压杆的临界力压 Fcr,稳定失效杆件在压力超过某一值后，在外界扰动下，其直线的平衡形式将突然转为弯曲形式，致使杆件丧失正常功能。这种失效形式即为稳定失效。,三、稳定问题与强度问题的区别,平衡状态,应力,平衡方程,极限承载能力,直线平衡状态不变,

7、平衡形式发生变化,达到强度限值,小于比例限值 ss p,变形前的形状、尺寸,变形后的形状、尺寸,实验确定,理论分析计算,强度问题,稳定问题,压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？,压杆,假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。,10.3 细长压杆临界压力的欧拉公式,思考:1、什么压杆才是细长压杆？ 2、临界力Fcr与哪些因素有关？它是由外力确定的吗？,一、两端铰支的细长压杆,弯矩：,挠曲线近似微分方程：,微分方程的通解：,确定积分常数A、B：,临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩I最小的轴弯曲。,该式由瑞士科学家

8、欧拉于1744年提出，故称两端铰支压杆临界力的欧拉公式,由于两端球铰约束，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲，因此杆件弯曲变形一定发生在抗弯能力最小的纵向平面。,1.理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）； 2.线弹性范围内,小变形； 3.两端为铰支座。,两端铰支压杆临界力的欧拉公式,公式的应用条件：,显然，,两端铰支压杆临界力的欧拉公式,例：矩形截面压杆若失稳将绕哪根轴弯曲？,杆件将绕y轴弯曲失稳。,在其他支座情况下，压杆临界压力的欧拉公式,E材料的弹性模量； 长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载荷的影响。 l压杆的计算长度或相当长度。 l压杆的实际长度。 I压杆失稳发生弯

9、曲时，截面对其中性轴的惯性矩。,压杆临界压力欧拉公式的一般形式,二、其他支座约束下细长压杆的临界压力,适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内,压杆临界力与外力有关吗？,1、两端铰支,2、一端固定一端自由,欧拉公式普遍形式,l=l,3、一端固定另端铰支,l=0.7l,欧拉公式普遍形式,4、两端固定,C、D 挠曲线拐点,l=0.5l,欧拉公式普遍形式,表101 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式,支承情况,两端铰支,一端固定另端铰支,两端固定,一端固定另端自由,失稳时挠曲线形状,临界力Pcr欧拉公式,长度系数,=1,0.7,=0.5,=2,A,C 挠曲线拐点,C、D 挠曲线拐点,应

10、用欧拉公式时，应注意以下两点： 1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题 2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。 对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的最小惯性矩，即 IImin； 对于不同方向具有不同约束条件的情形，计算时，应根据截面惯性矩和约束条件，首先判断失稳时的弯曲方向，从而确定截面的中性轴以及相应的惯性矩。,欧拉临界压力公式 :,压杆是否一定在最小刚度平面内失稳 ？,在最小刚度平面与最大刚度平面内支承情况不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确定。,欧拉临界压力公式 :,例10.1 一根两端铰支的20a工字钢细

11、长压杆，长l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界压力。,由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆就会失稳。,解 查型钢表得,Iz=2370cm4，Iy=158cm4,压杆的临界力,例10.2 求下列细长压杆的临界压力。,两端铰支 = 1.0 ，,解：绕 y 轴弯曲：,=0.7，,绕 z 轴，左端固定，右端铰支：,x,例10.3 一矩形截面的中心受压的细长木柱，长l =8m，柱的支承情况:在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支（图a）；在最小刚度平面内弯曲时为两端固定（图b）。木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的临界压力。,解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承情况不同，所以需

12、分别计算。,（1）计算最大刚度平面内的临界力,两端铰支，长度系数=1,（2）计算最小刚度平面内的临界力。,两端固定，长度系数=0.5,此例说明，当在最小刚度平面与最大刚度平面内支承情况不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确定。,木柱的临界力: Fcr=Fcr,y=123kN,压杆绕Y轴弯曲。,一、临界应力与柔度 临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。,10.4 压杆的临界应力,临界压力：,临界应力：,令：,压杆柔度或长细比, 取决于压杆截面形状和尺寸、杆长度和支承条件。,欧拉临界压力:,欧拉临界应力：, 集中地反映了压杆的长度 l 和杆端约束条件、截面尺寸和

13、形状等因素对临界压力和临界应力的影响。,显然：压杆临界压力与外力无关, 越大，相应的Fcr 越小，压杆越容易失稳。,柔度, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,讨论：,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力 cr 。,矩形、工字型等截面：,若：,取,二、欧拉公式的适用范围,欧拉公式只适用于线弹性范围,故只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧拉公式才适用，即：,柔度界限值。对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。,满足p的压杆称为大柔度杆或细长杆，其临界力用欧拉公式求解。 满足

14、p的杆称为中小柔度杆，其临界力不能用欧拉公式求解。,欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）,令：,三、 压杆的分类及经验公式,根据压杆的柔度的大小，可将压杆分为三类：,1、大柔度杆（细长杆） 柔度：大于柔度界限值，即满足,失效形式：这类压杆容易发生弹性失稳，属于弹性屈曲。 临界压力或临界应力计算公式：由欧拉公式计算,欧拉公式只适用于大柔度压杆。,2、中柔度杆（中长杆） 柔度,s是指压杆在临界应力cr=s时的柔度。 失效形式 这类压杆可能发生失稳，但临界应力超过比例极限，局部呈塑性，属于弹塑性屈曲。,式中a、b为与材料有关的常数,查表10.2 。,（1）直线型经验公式,令,得,临界应力计算公式,（2

15、）抛物线经验公式,式中a1,b1为与材料有关的常数.,3、小柔度杆（粗短杆） 柔度,失效形式 不存在稳定性问题，在压力作用下发生屈服,属于强度问题。 临界应力计算公式：,四、临界应力总图,欧拉临界应力,随着柔度的增大，压杆的破坏性质由强度破坏逐渐向稳定性破坏转化。,五、影响压杆承载力的因素,1、大柔度杆（细长杆） 其临界载荷为：,杆的长度l,抵抗变形的能力越小,容易失稳,Fcr越小,抗弯刚度EI,抵抗变形的能力越强,不易失稳,Fcr越大,杆端支承,越不容易发生弯曲变形,不易失稳,Fcr越大,2、中柔度杆(中长杆) 其临界载荷为：,影响Fcr 的主要因素： （1）与材料有关的常数a、b； （2）

16、压杆的长细比； （3）压杆的横截面面积A。,3、小柔度杆（粗短杆） 其临界载荷为：,影响Fcr 的主要因素： （1）材料的屈服极限或强度极限； （2）压杆的横截面面积A。,B,例 10.4 图示a、b 2根压杆的直径、横截面和材料均相同。哪根杆容易失稳？若l=3.5m, 直径d=80mm , 材料均为Q235钢，其p100， s57，E=200GPa, 问二杆的临界压力Fcr是否可由欧拉公式计算？求其临界压力。,a,b,2根杆的直径、横截面和材料均相同。哪根杆容易失稳？若l=3.5m, 直径d=80mm, p100，s57， E=200GPa,解（1） 判断稳定性,a杆：=1,b杆：=0.5,

17、故a杆最易失稳，其临界压力Fcr最小,显然：,（2）,只有a杆的Fcr才能由欧拉公式计算。,a,b,（2）,a杆：,b杆：,查表10.2Q235钢：a=304MPa，b=1.12MPa,2根杆的直径、横截面和材料均相同。哪根杆容易失稳？若l=3.5m, 直径d=80mm, p100，s57， E=200GPa,例10.5 Q235钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情况如图所示，其中图 （a）为正视图，图 （b）为俯视图。在A、B两处用螺栓夹紧。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa,p=200Mpa。试求此杆的临界载荷。,分析： 压杆绕z轴弯曲失稳时，A、

18、B相当于铰链约束。 绕y轴弯曲失稳时，A、B两处不能转动，相当于固定约束。因此，压杆在两个平面内失稳时，其柔度不同。,b,h,z,y,取,例题10.5 已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa。试求此杆的临界载荷。,解：（1）判断失稳方向 压杆绕z轴弯曲失稳时，A、B相当于铰链约束。：=1.0,显然：,绕y轴弯曲失稳时，A、B两处相当于固定约束：=0.5,因此压杆将绕z轴弯曲失稳。,例题10.5 已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa，p=200Mpa。试求此杆的临界载荷。,用欧拉公式计算临界压力：,（2）判断压杆类型,

19、（3）计算临界压力,大柔度压杆,10.5 压杆稳定性计算,式中， F 压杆的工作压力 压杆的工作应力 A压杆的横截面积 st稳定许用应力 nst 规定的稳定安全系数,一、压杆稳定条件（设计准则）,压杆的工作应力 应小于或等于稳定许用应力st,二、压杆稳定性设计的安全因数法,工作安全因数n,压杆稳定条件 工作安全因数 n 应大于规定的稳定安全因数 nst 。,nst按设计手册和规范中查取。,nst稳定安全因素一般大于强度安全因素n。,杆件初弯曲 压力偏心 材料不均匀 等 支座缺陷,即,令,压杆临界压力Fcr 与工作压力F 之比，称为压杆的工作安全因数。,三、压杆稳定性设计的稳定因数法,稳定许用应

20、力st 用强度许用应力表示：,稳定条件：,稳定因数（折减系数），=（），一般1，查表10.3,用上式进行稳定性计算时，只需根据压杆的柔度确定与它对应的稳定因数，而不必判断压杆的种类，也不需要用欧拉公式或经验公式计算临界压力。,只与材料有关,st与材料和柔度有关,四、压杆的稳定性设计内容,稳定校核,3.确定稳定许用荷载,2.设计截面,或,五、压杆稳定性设计过程,1、根据材料的弹性模量E与参数a、b值及p 、s计算出柔度p、 s； 2、根据压杆的 l、A、I和支撑条件计算出实际的； 3、根据与 p 、s 值判断属于哪类压杆，选择相应的临界应力公式，确定临界载荷； 4、计算压杆的工作安全因素n； 5

21、、验算是否满足稳定条件。,例题10.6 活塞杆由45钢(优质碳钢）制成，s = 350MPa ， p = 280MPa, E=210GPa. 长度 l = 703mm ，直径 d=45mm. 最大压力 Fmax = 41.6kN. 规定稳定安全系数为 nst = 810 . 试校核其稳定性.,活塞杆两端简化成铰支,解：, = 1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算临界压力.,活塞杆的柔度：,如用直线公式，需查表得：,a= 461MPa,b= 2.568 MPa,临界压力是,活塞的工作安全因数,所以满足稳定性要求.,F=Fmax = 41.6kN,例题10.7 油管托架如图所示。杆AB直径d=15m

22、m，长l=400 mm，材料为Q235钢， p =200MPa ,E=200GPa。如果取稳定安全因数nst=3，试根据AB杆的稳定性确定托架D端的许用载荷P的大小。,解：杆AB为两端铰支的压杆,以杆CD为研究对象，由平衡方程：,FAB,AB杆的柔度为,临界载荷为：,根据稳定条件：,则,于是得,可见托架D端的许用载荷不应超过6.1 kN。,d=15mm，l=400 mm， p =200MPa ,E=200GPa。nst=3,例题10.8 图示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20 mm，二者材料均为Q235钢，A、C、D三处均为球铰约束。已知F=25 k

23、N，l1=1.25 m，l2=0.55 m, E=206GPa ， p=200 MPa，s=235 MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数nst=1.8。试校核此结构是否安全?,分析：杆AB主要产生拉伸与弯曲变形，主要是强度问题。杆CD产生压缩变形，是压杆，因此，首先应确定其柔度，根据柔度确定是属于强度问题还是属于稳定性问题。,例题10.8 No.14工字钢，d=20 mm，F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，s=235 MPa。ns=1.45， nst=1.8。,解：（1）梁AB的强度校核,查表No.14工字钢,轴力和最大弯矩：,最大工作应力：,弯矩图,轴力图,

24、Q235钢的许用应力,工程上仍认为是安全的。,例题10.8 No.14工字钢，d=20 mm，F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，s=235 MPa。ns=1.45， nst=1.8。,例题10.8 No.14工字钢，d=20 mm，F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，p=200 MPa, E=206GPa,ns=1.45， nst=1.8。,CD杆的柔度,（2）校核压杆CD的稳定性,由平衡方程求得压杆CD的轴向压力,故需采用欧拉公式计算其临界力,（2）校核压杆CD的稳定性,压杆的稳定性是安全的,No.14工字钢，d=20 mm，F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，s=235 MPa。ns=1.45， nst=1.8。,结论：结构是安全的。,欧拉公式,越大越稳定,减小压杆长度 l,减小长度系数（增强约束）,合理选择截面形状,增大弹性模量 E（合理选择材料）,10.6 提高压杆稳定性的措施,一、减小压杆的长度,从柔度计算式,压杆越细长，稳定性越差，因此，应尽可能减小杆的长度，以提高压杆的稳定性。（必要时设置中间支承，减小相当长度）,二、改善支