高等数学第三章-要求与练习

1、第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。二、练习1.在区间上满足罗尔定理条件的函数是( C ). A. B. C. D. .2. 函数在上满足拉格郎日中值定理的值是( A).A. B. C. D. .3.设函数，则方程有 2 个零点，这些零点所在的范围是 （1，2）， （2，3） .4.函数在内的零点的个数为 2 .解：；又，；，.所以，函数在内有2个的零点.5.曲线的拐点，凹区间，凸区间.解：，6.函数的单调递增 区间.7.曲线的渐

2、近线为x=-1,y=0.8.（1）（2）（3）（4）； （5）； （6）；（7）；（8）；（9）.解：（1） （2）（3）（4）； （5）； （6）；改为：（7）；（8）（9）9.证明.证明：设，令，则，所以.10.证明方程在区间内有且只有一个实根.证明在内连续，由零点定理，得至少存在一点使；但，单调递增，函数与x轴只有一个交点.所以方程在区间内有且只有一个实根.11. 证明多项式在上不可能有两个零点.证明：设在上有两个零点，即.不妨设，由罗尔罗定理得至少存在一点使，；即，这与矛盾.所以在上不可能有两个零点.12.证明：当时，证明：设，则.所以，在上单调递增.因此，当时，有，即. ， 为凸函数

3、，又，所以，即.解二：(只写后一半)设，则考虑，由于，所以，在上是单调递减的.因此，当时，有.由此得，故在上是单调递减的.从而，当时，即.综上，当时，.13.证明：当时，.证明：设，则在内连续可导，根据拉氏定理，至少存在一点，使得；又，.14. 设在处有极值-2，试确定系数，使的所有极值点与拐点.解：由在处有极值-2，得，所以，得， ，拐点.的所有极值点为：15.求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.解一：设内接于椭圆的矩形各边长分别为，矩形的面积为，则，又 所以，令，根据实际问题，最值一定存在，所以驻点唯一，即为面积最大值点.当，时，面积为最大.解二：设内接于椭圆的矩形各边长分别为，矩形的

4、面积为，则，又 所以，由得.当，时，面积为最大.解三：设内接于椭圆的矩形各边长分别为，矩形的面积为.由，得，即所以，当时，面积为最大.此时，.16.由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线及所围成的三角形面积最大.解： 由得，过上任一点的切线方程为 ，且，切线与x轴的交点为，与交点为，切线与直线及所围成的三角形面积为，则，令，得驻点唯一，所围成的角形面积最大.此时，即所求的点为.17.描绘.(1) ，(2)的图形.解： (1) 函数的定义域为; 令,得：;，令=0，得： 列表：12-+0-0+单调下降，凸单调上升，凸极大值单调下降，凸，拐点单调下降，凹，

5、函数有铅直渐近线和水平渐近线画图 . （2）定义域为； ，令得；令得；列表000单减、凸拐点（-1/2,-17/9）单减、凹极小值-2单增、凹单减、凹由，曲线有水平渐近线；由，曲线有铅直渐近线； 作图： 18.要做一个容积为的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？解：由，得罐头筒表面积为，即 ，令，得又，在取极小值，即有最小值. 此时 .则, 筒高时所用材料最省.19要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米，底面为正方形。设底面与四壁所使用材料的单位造价相同，问底边和高为多少米时，才能使所用材料费最省？解：设长方体高为，底面边长为，则，所用材料多少取决于表面积，依题意得，令，.根据实际意义，唯一驻点即为最值点， 则；所以，当高为5米、底面边长为10米时，所用材料费最省.20.选做题：若函数有并且当时, , 否则 当时, , 否则则(1) 函数的单调区间(注明增减)是增：，减：.