高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（1）学案 新人教A版必修5

1、2.4 等比数列（1）学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点1,2,4,8,16，；1，；1,1,1,1，；1,1，1,1，.答案从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数梳理等比数列的概念和特点(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)(2)递推公式形式的定义：q(n1)(或q，nN*)(3)等比数列各项均不能为0.知识点二等比

2、中项的概念思考在2,8之间插入一个数，使之成等比数列这样的实数有几个？答案设这个数为G.则，G216，G4.所以这样的数有2个梳理等比中项与等比中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式AabA公式AG个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab0时，a与b才有等比中项知识点三等比数列的通项公式思考等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？答案等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项

3、，等比数列则可用累乘根据等比数列的定义得q，q，q，q(n2)将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，得qn1，化简得qn1，即ana1qn1(n2)当n1时，上面的等式也成立ana1qn1(nN*)梳理等比数列an首项为a1，公比为q，则ana1qn1.类型一证明等比数列例1已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列证明由题意知f(an)42(n1)2n2logman，anm2n2，m2，m0且m1，m2为非零常数，数列an是等比数列反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即q(与n无关的常

4、数)跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn(an1)(nN*)(1)求a1，a2；(2)证明：数列an是等比数列(1)解a1S1(a11)，a1.又a1a2S2(a21)，a2.(2)证明Sn(an1)，Sn1(an11)，两式相减得an1an1an，即an1an，数列an是首项为，公比为的等比数列类型二等比数列通项公式的应用命题角度1方程思想例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么，得q，将q代入，得a1.因此，a2a1q8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.反思与感悟已知等比数列an的某两项的值，求

5、该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项跟踪训练2在等比数列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.解(1)由等比数列的通项公式得，a63(2)6196.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以ana1qn152n1.命题角度2等比数列的实际应用例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由条件可得，数列

6、an是一个等比数列其中a10.84，q0.84，设an0.5，则0.84n0.5.两边取对数，得nlg 0.84lg 0.5，用计算器算得n4.答这种物质的半衰期大约为4年反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义跟踪训练3某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 60.778，lg 1.20.079)解记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，an，.则依题意可得a15，1.2(n2且nN*)，从而an5

7、1.2n1，这里an30，故1.2n16，即n1log1.269.85.故n11.答从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨类型三等比中项例4若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为()A B.C1 D1答案D解析1，a,3成等差数列，a2，1，b,4成等比数列，b214，b2，1.反思与感悟(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个跟踪训练41与1的等比中项是()A1 B1C1 D.答案C解析设x为1与1的等比中项，则x2(1)(1)1.x1.1在等比数列an中，a18，a464，则a3等于()A16 B16或16C

8、32 D32或32答案C解析由a4a1q3，得q38，即q2，所以a332.2若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A4 B8 C6 D32答案C解析由等比数列的通项公式得，12842n1,2n132，所以n6.3已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于()A64 B81C128 D243答案A解析an为等比数列，q2.又a1a23，a11，故a712664.445和80的等比中项为_答案60或60解析设45和80的等比中项为G，则G24580，G60.1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q(与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2(nN*

9、)2两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方3等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量40分钟课时作业一、选择题1在等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4 B8C16 D32答案C解析由于aa2a6，所以a2a616.2在等比数列an中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为()A16 B27C36 D81答案B解析a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍去)，a4a5(a3a4)q27.3等比数列x,3x3,6x6，的第4项等于()A24 B0C12 D24答

10、案A解析由x,3x3,6x6成等比数列得，(3x3)2x(6x6)，解得x13或x21(不合题意，舍去)故数列的第四项为24.4如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9答案B解析b2(1)(9)9且b与首项1同号，b3，且a，c必同号acb29.5在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10 C11 D12答案C解析在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5aq10q10.ama1qm1qm1，m110，m11.6已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c

11、)，则ad等于()A3 B2C1 D2答案B解析y(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.二、填空题7在等比数列an中，若a33，a10384，则公比q_.答案2解析a3a1q23，a10a1q9384，两式相除得，q7128，所以q2.8在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_答案80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q，则5160q5，q5，q.这4个数依次为80,40,20,10.9已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则abcd_.答案90解析6，a，b,48成等差数列，则ab64854

12、；6，c，d,48成等比数列，设其公比为q，则q38，q2，故c12，d24，从而abcd90.10数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.答案1解析设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.三、解答题11若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求pq的值解依题意得abp0，abq0，a0，b0，2，b22a，a22b，解得或pqabab1449.12已知an为等比数列，a32，a2a4，求an的通项公式解设等比数列an的公比为q，则q0.a2，a4a3q2q，2q，解得q1，q23.当q时，a118，an18n1233n.当q3时，a1，an3n123n3.综上，当q时，a