判别式与根与系数的关系总复习

1、根 的 判 别 式 根与系数的关系,学习目标：【典型问题一】：判别式的作用 1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； 2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； 3、运用配方法，并根据一元二次方程的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的情况。 【典型问题二】：不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值。 【综合应用问题】 “存在性”问题）,1.判别式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)根的判别式为：=b2-4ac 作用:不解方程判断根的情况,解决与根的情况有关的所有问题. 主要内容

2、: 判别式的值 根的情况 0 有两个不相等的实根 0 有两个相等的实根 0 没 有 实 数 根,2.根与系数的关系（韦达定理） （1）方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根为x1, x2，则x1+ x2= - ， x1 x2= 特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 , x1+ x2= -p, x1 x2=q （2） 以x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2 (x1+ x2)x+ x1 x2=0,判别式与韦达道理课堂练习 一、基础练习 1、一元二次方程2x2+3x-4=0的根的判别式= . 2、不解方程，判断2y2-6y+5=0的根的情况是 . 3、设x1、 x2是方程2

3、x2-4x-7=0的两个根， 则x1+ x2= ， x1 x2 = - . 4、已知方程5x2+mx-6=0的一个根为3，则它的另一个根 是- ， m的值为 . 5、以-1和3为两个根的一元二次方程是 .,41,没有实数根,2,-13,X2-2x-3=0,6、两个实数根的和是3，积是-4的一元二次方程是 . 7、方程x2+3x+k=0有两个互为倒数的实数根则k= . 8、方程x-(m+1)x-6=0有两个互为相反数的实数根， 则m= . 9、下列方程没有实数根的是（ ） A. x2+5= x B. 3x2-2x+2=0 C. x2-2=3x D. 2x= x2-1 10、若一元二次方程x2-a

4、x-2a=0的两根之和为4a-3，则 两根之积是（ ） A. 2 B. -2 C.-6或2 D.6或-2,X2-3x-4=0,1,-1,B,B,例一（98中考题）m分别是满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,(1)有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根。,解：=（4m+1）2-42（2m2-1）=8m+9 （1）当=8m+9=0，即m= - 时，方程有两个相等的实根； （2）当=8m+90，即m - 时，方程有两个不等的实根； （3）当=8m+90，即m - 时，方程没有实根。,例二 求证关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。,分

5、析：要证方程有两个不相等的实数根，就是要证 明判别式0而证0，需把变成“完全平方数+正数”。,证明： = -(m+2) 2-(2m-1)=m2-4m+8 =m2-4m+4-4+8= (m-2) 2+4 不论m为任何数， (m-2) 2 0， (m-2) 2+4一定是正数，即0 方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。,典型问题二：不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值。,例三（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为 x1 ，x2，求 的值。,（2） 已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且 ，求m的值； x12+x12的值。,解：, x1 ，

6、x2 为方程的两根, x1 +x2 = ， x1 x2= -,又,即,解的 m=-2, x1 +x2 = -, x2+x2=(x1 +x2 )2-2 x1 x2=,（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为 x1 ，x2，求 的值。,（2） 已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且 ，求m的值； x12+x12的值。,归纳总结：,1、求方程两根所组成的代数式的值，关键在于：,把所求代数式化成两根的和与两根的积的形式。,2、常见的形式：,(1)(x1 -x2 )2=,(2) x13+x23=,(3) x1 -x2 =,(x1+x2)2-4x1x2,(x1+x2)3-3

7、x1x2(x1+x2),综合应用：,例四、（2000年四川省中考试题） 若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ABC的A、B、C的对边，C=90，且cosB=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.（“存在性”问题）,解：假设整数m存在， 在RtABC中，C=90.cosB= 设a=3k,c=5k, 则由勾股定理有b=4k. b-a=3, 4k-3k=3 k=3 a=9, b=12, c=15 设一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0的两个实数根为x1,x2 则有 x1+x2=3(m+1), x1x2= m2-9m+20 x12+x22=( x1+x2)-2 x1x2=3(m+1)2-2(m2-9m+20) =7m2+36