高中数学 学业分层测评14（含解析）北师大版选修2-1

1、学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若点P(a,1)在椭圆1的外部，则a的取值范围为() 【导学号：32550071】A.B.C.D.【解析】因为点P在椭圆1的外部，所以1，解得a或a.【答案】B2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是()A.BC.D【解析】如图，由题意得OPFB，2，即.e.【答案】D3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.1B1C.1D1【解析】由题意设椭圆G的方程为1(ab0)，因为椭圆

2、G上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以a6.由离心率为，得，解得c3.所以b2a2c236279，则椭圆G的方程为1.【答案】A4椭圆(1m)x2my21的长轴长为()A.BCD【解析】椭圆标准方程为1，m0.此时1mm0，.a2，b2，2a2.【答案】C5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.BC.D【解析】根据椭圆的对称性可求得a的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得b的取值范围，代入离心率公式即可得答案根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到

3、椭圆左、右焦点的距离为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e.因为1b2，所以0e，故选A.【答案】A二、填空题6已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_【解析】由已知得a216，b24.标准方程为1.【答案】17椭圆1和k(k0，a0，b0)具有_相同的顶点；相同的离心率；相同的焦点；相同的长轴和短轴【解析】不妨设ab，则椭圆k的离心率e2.而椭圆1的离心率e1，故正确【答案】8焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为_【导学号

4、：32550072】【解析】|F1F2|2c8，e，a5，|MF1|MF2|2a10，|MF1|2，|MF2|8.又O，N分别为F1F2，MF1的中点，ON是F1F2M的中位线，|ON|MF2|4.【答案】4三、解答题9已知椭圆mx2(m3)y2m(m3)(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标【解】椭圆方程可化为1，则a2m3，b2m，c.所以e，解得m1，则a2，b1，c.所以椭圆的标准方程为y21，椭圆的长轴长为4；短轴长为2；焦点坐标分别为(，0)，(，0)；顶点坐标分别为(2,0)，(2,0)，(0,1)，(0，1)10已知椭圆1(ab0)的离心率为，短

5、轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意，且a2，得c，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设P(x，y)，由(1)知F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x23x22，x2,2，当x0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.能力提升1若直线axby40和圆x2y24没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆1的公共点个数为()A0B1C2D需根据a，b的取值来确定【解析】直线axby40与圆x2y24

6、没有公共点，即相离，2，a2b24，1，1，(a，b)在椭圆1的内部故有2个公共点【答案】C2设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为()A.BC.D【解析】设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为PF1F2的中位线，所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.由于PF1F230，所以PF12PF2，由勾股定理得F1F2PF2，由椭圆定义得2aPF1PF23PF2a，2cF1F2PF2c，所以椭圆的离心率为e.故选D.【答案】D3如图312，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A

7、2，B1，B2，焦点分别为 F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_图312【解析】设椭圆方程为1，建立如图所示的坐标系则A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F2(c,0)，(c，b)，(a，b)，(c，b)(a，b)acb20，又a2b2c2，aca2c20, 又0e1，eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.图313(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.【解】(1)由椭圆的定义，有2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故

8、a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2.即c，从而b1，故所求椭圆的标准方程为y21.(2)法一：连接F1Q，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|，又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.法二：如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a