不等式与线性规划重点剖析

1、不等式与线性规划重点、难点、易错点分析1、 不等式的概念与性质 1、由基本性质比较大小、证明不等式 （1）作差 （2）作商 （3）分析比较 （4）取平方 （5）分子或分母有理化 （6）图像 （7）单调性 2、根据均值不等式比较大小、证明不等式2、 范围问题 1、解方程法 2、待定系数法 3、确定平面区域法3、 利用均值不等式求值域与最值 1、凑项法 2、凑系数法 3、分离系数 4、换元法 5、双勾曲线 6、整体代换 7、取平方4、 解不等式 1、一元二次不等式 2、含参不等式（分类讨论） 3、分式不等式（分式化整式） 4、高次不等式（穿根法） 5、绝对值不等式 （1）分段讨论 （2）数形结合

2、（3）取平方5、 不等式成立问题 1、恒成立问题 2、能成立问题 3、恰成立问题6、 不等式的实际应用 1、基本不等式在实际应用题中的应用 2、二次不等式解集的简单应用 3、一元二次不等式在实际中的应用 4、均值不等式的应用7、 二元一次方程组与线性规划 1、求线性目标函数的取值范围 2、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 3、已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题 4、已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题 5、求线性目标函数中所含参数的取值范围 6、已知最优解，探求目标函数参数问题 7、已知最优解，探求约束条件函数参数问题 8、求可行域中整点个数 （1)平移找解法 （2)整点

3、调整法 （3）逐一检验法 9、求非线性目标函数的最值 10、比值问题八、线性规划实际应用题型：1、 不等式的概念与性质 1、比较大小 （1）作差法例1：已知-1a0,A=1+a2,B=1-a2,C=，是比较A,B,C的大小 （2）作商法 例1：比较aabb与abba（a，b为不相等的正数）的大小 （3）均值不等式法例1：已知a，bR，则，的大小顺序是例2：已知a，bR，ab，且a+b=2，则（ ）A.ab1 B. 1abC. ab1 D. ab1y，求证： （2）利用均值不等式证明不等式例1已知为两两不相等的实数，求证：例2. 正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc

4、例3. 已知a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。二、范围问题例1：设f(x)=ax2+bx且1f(-1）2,3f(1）4，求f(-2）的取值范围。 【分析】此题有三种解法：利用解方程的思想 待定系数法 确定平面区域例2：（1）已知-/2/2，求的取值范围 （2）已知-1a+b3，且2a-b0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方1、已知x，y为正实数，3x2y10，

5、求函数W的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 2解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。4、 解不等式 1、一元二次不等式例1：求解下列不等式 （1）

6、2x2+4x+30 （2）-3x2-2x+80 (3)例2：解不等式3/2(-x2+5/3)1/2(x2-9)-3x 2、含参不等式例1：若，则的取值范围是_（答：或）；例2：解不等式（答：时，；时，或；时，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为_（答：（1,2）例3：解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+20的解集为？例2：解下列不等式：（1）2x3-x2-15x0 (2) (x+4)(x+5)2(2-x)30的解集为x|-1/2x1/3，求不

7、等式cx2+bx+a0的解集。例2：已知关于x的不等式x2+ax+b0 3、一元二次不等式在实际中的应用例1：政府收购某种农产品的原价格是100元/担，其中征税标准为每100元征10元（叫税率为10个百分点，即10%），计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的范围。例2：一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下关系：y=-2x2+220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期

8、内大约应该生产多少辆摩托车？ 4、均值不等式在实际问题中的应用例1：某小区欲建一面积为640平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5m，短边外小路宽8m。求怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小？例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？8、 二元一次方程组与线性规划 1、求线性目标函数的取值范围例1、 若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5xyO22x=2y =2x + y =2BA解：

9、如图，作出可行域，作直线l：x+2y0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A2、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为。解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。3、已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题例.求的取值范围.4、已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题2x + y 6=

10、0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =2例、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B5、求线性目标函数中参数的取值范围x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=3例、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、3B、3C、1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y5重合，故a=1，选D6、已知最优解，探求目标函

11、数参数问题例.已知目标函数（其中）仅在（3,4）取得最大值，求的取值范围.7、已知最优解，探求约束条件参数问题例1.设变量x、y满足约束条件，目标函数在（4,6）取得最大值，求.O2x y = 0y2x y + 3 = 0例2.已知|2xym|3表示的平面区域包含点（0,0）和（1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等价于由右图可知 ,故0m3，选C8、 求可行域中整点个数（1）平移找解法 例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和

12、一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位m3)第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么 而z=6x+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值。解方程组,得M点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个

13、,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。 （2）整点调整法例3已知满足不等式组，求使取最大值的整数解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ；当时，得或， 或；当时， ，故的最大整数解为或（3）逐一检验法 例1： 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率 解：设甲种毛

14、坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材的利用率为 P ，则 ，目标函数为 ，线性约束条件表示的可行域是图中阴影部分的整点表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐标如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入进行校验，可知当x=5,y=2时， 答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65% 解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考

15、虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解 9、求线性目标函数的最值2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA例1、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1 B、13，2C、13， D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2xy2=0的距离的平方，即为，选C图2例2、已知则的最小值是 .解析：如图2，只要画

16、出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。10、 比值问题例 已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是（ ）.（A），6 （B）（，6，）（C）（，36，） （D）3，6解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A9、 线性规划实际应用例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌

17、可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位m3)第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么 而z=6x+10y.如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组,得M点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如

18、何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,那么,而z=0.28x+0.9y如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y =t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000和直线的交点,即,时,饲料费用最低.所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一. (例3图) (例4图)例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本:甲乙丙维生素A(单位/千克)维生素B(单位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时