高中数学 第三章 不等式 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域学案（含解析）新人教A版必修5

1、33.1二元一次不等式(组)与平面区域二元一次不等式(组)提出问题给出以下两个方程：2x3y60；x4y40.问题1：这两个方程是什么类型的方程？它们的解有多少个？它们对应的几何图形是什么？提示：都是二元一次方程；都有无穷多解；对应的几何图形是直线问题2：若将上述方程变为2x3y60；x4y40，将得到什么？又有何特点？提示：得到两个不等式，它们都含有2个未知数，且未知数的次数都是1.问题3：满足问题2中不等式的实数x，y存在吗？若存在，试写出两组提示：都存在，满足的(2,2)，(2,4)，满足的(1,2)，(1,3)导入新知1二元一次不等式含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元

2、一次不等式2二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组3二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集化解疑难二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组成的不等式组，其中的不等式个数可以是二个、三个，当然也可以是多个.二元一次不等式表示平面区域提出问题已知直线l：xy10.问题1：点A(1,0)，B(1,1)，C(1,2)，D(0，2)，E(1，2)与直线l有何位置关系？提示：点A在直线l上，点B，C，D，E均不在直线l

3、上问题2：通过作图可以发现，点B，C，D，E分别在直线l的哪个方向的区域内？提示：点B，C在直线l的左上方，点D，E在直线l的右下方问题3：点B，C，D，E的坐标分别满足下列哪个不等式？(1)xy10.提示：点B，C的坐标满足(1)，D，E的坐标满足(2)问题4：满足这两个不等式的解有多少个？这些解对应的平面直角坐标系中的点在相应的直线上吗？若不在直线上，它们在这条直线的同一侧吗？提示：这两个不等式的解有无穷多个；它们对应的点不在直线上，而是在这条直线的同一侧导入新知1二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC 0表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，把直

4、线画成虚线以表示区域不包括边界不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线2二元一次不等式表示的平面区域的确定(1)直线AxByC0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同(2)在直线AxByC0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域化解疑难确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C0).二元一次不等式(组)表示的平面区域例1画出下列不等式(组)表示的平面区域(1)2xy60；(2)解(1)如图，先画出直线2xy60，取原点O(

5、0,0)代入2xy6中，2010660，与点O在直线2xy60同一侧的所有点(x，y)都满足2xy60，因此2xy60表示直线下方的区域(包含边界)(2)先画出直线xy50(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入xy5，00550，原点在xy50表示的平面区域内，即xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合同理可得，xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域类题通法1在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤为：画线；定侧；求“交”；表示2要判断一个二元一次

6、不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，根据Ax0By0C的正负判定活学活用画出不等式组表示的平面区域解：不等式xy5表示直线xy50上及其左下方的区域不等式x2y3表示直线x2y30右下方的区域不等式x2y0表示直线x2y0上及其右上方的区域所以不等式组表示的平面区域如图所示二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积 例2(重庆高考)若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3B1C. D3解析作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1m，1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|

7、AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)答案B类题通法求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解活学活用求由不等式组 确定的平面区域的面积S阴影部分解：由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)过P点作y轴的垂线，垂足为C.则AC|54|1，PC|10|1，OC4，OB3，得SACPACPC，S梯形COBP(CPOB)OC8.所以S阴影部分SACPS梯形

8、COBP.用二元一次不等式组表示实际问题例3投资生产A产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求解设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，则用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)类题通法用二元一次不等式组表示实际问题的方法用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时：(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示；(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来；(3)

9、由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式；(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来活学活用有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：货物轮船运输量飞机运输量粮食/t300150石油/t250100现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系解：设需要x艘轮船，y架飞机，代数关系式和几何描述(如图)分别为典例画出不等式(x2y1)(xy4)0表示的区域解原不等式等价于或分别画出不等式组和表示的平面区域取并即可(如图阴影部分)易错防范1由(x

10、2y1)(xy4)0不能正确转化为两个不等式组2未注意不包括边界，而把边界画成实线成功破障画出不等式(xy)(xy1)0表示的平面区域解：不等式(xy)(xy1)0等价于不等式组或而不等式组无解，故(xy)(xy1)0表示的平面区域如图所示(阴影部分)随堂即时演练1在直角坐标系中，不等式y2x20表示的平面区域是()解析：选C原不等式等价于(xy)(xy)0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.2不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.解析：选C作出平面区域如图所示为ABC，由可得A(1,1)，又B(0,4)，C，SABC|BC|xA|1，故选C.3用不等式

11、表示直线y3x1左上方的平面区域为_答案：y3x14已知点P(1，2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2xby10表示的平面区域内，则b的取值范围是_解析：设P(1，2)关于原点的对称点为P(1，2)，因为点P与点P有且只有一个适合不等式，所以 或得b或b.答案：5如图，请写出表示阴影部分区域的不等式组解：由于直线BC的方程为y1，直线AC的方程为x0，直线AB的方程为2xy20，因此表示该区域的不等式组是课时达标检测一、选择题一、选择题1不等式组表示的区域为D，点P1(0，2)，点P2(0,0)，则()AP1D，P2DBP1D，P2DCP1D，P2DDP1D，P2D解析：选A点P1

12、不满足y3，点P2不满足yx.故选A.2设点P(x，y)，其中x，yN，满足xy3的点P 的个数为()A10B9C3 D无数个解析：选A作的平面区域，如图所示，符合要求的点P的个数为10，故选A.3已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是()Aa1或a24B24a7C7a24Da24或a7解析：选C要使点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，必须且只需(3321a)3(4)26a0即可，由此解得7a24.4不等式组表示的平面区域是一个()A三角形 B直角梯形C梯形 D矩形解析：选C不等式组等价于或分别画出其平面区域，可知选C.5完成一项装修工程，木工和瓦

13、工的比例为23，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是()A.B.C.D.解析：选C排除法：x，yN*，排除B，D.又x与y的比例为23，排除A.故选C.二、填空题6如图，其中可以表示图中阴影部分所表示的平面区域的不等式组为_解析：由已知条件和阴影区域可以得出：两条垂直于坐标轴的直线分别为x，y，且斜线过点，则该直线方程为xy0.再利用三个特殊点(0,0)，(0,1)，(1,0)中的不在直线上的一个点进行验证，从而可以分析出阴影区域所对应的部分是在直线的哪一侧，进而可以列出一个满足条件的不等式组：答案：7若不等式

14、组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域如图所示当ya过A(0，5)时表示的平面区域为三角形，即ABC；当5a7时，表示的平面区域为三角形综上，当5a7时，表示的平面区域为三角形答案：5,7)8若不等式组表示的平面区域为I，则当a从2连续变化到1时，动直线xya0扫过I中的那部分区域的面积为_解析：如图所示，I为BOE所表示的区域，而动直线xya扫过I中的那部分区域为四边形BOCD，而B(2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，CDE为直角三角形S四边形BOCD221.答案：三、解答题9某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两

15、道工序完成已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域解：设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件10一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域解：不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是对应的平面区域如图阴影部分所示11设不等式组表示的平面区域是Q.(1)求Q的面积S；(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)由解得A(4，4)；由解得B(4,12)；由解得C(4,4)于是可得|AB|16，AB边上的高d8.S16864.(2)由已