高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理学案（含解析）新人教A版选修4-1

1、一 平行线等分线段定理1平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)用符号语言表述：已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A，B，C(如图)，如果ABBC，那么ABBC.(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等2平行线等分线段定理的推论(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的

2、倍数问题平行线等分线段定理如图，已知直线l1l2l3l4，l，l分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，ABBCCD.求证：A1B1B1C1C1D1.直接利用平行线等分线段定理即可直线l1l2l3，且ABBC，A1B1B1C1.直线l2l3l4，且BCCD，B1C1C1D1，A1B1B1C1C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明1如图，ABCDEF，且AOODDF，OE6，则BE等于() A9 B10 C11 D12解析：选A过O作一直线与AB，CD，E

3、F平行，因为AOODDF，由平行线等分线段定理知，BOOCCE，又OE6，所以BE9.2如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A，B，C，D，O.求证：ADBC.证明：ABCD的对角线AC，BD交于O点，OAOC，OBOD. AAa，OOa，CCa，AAOOCC.OAOC.同理，ODOB.ADBC.平行线等分线段定理推论1的运用如图，在ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于点G，CEFB交AD的延长线于点E.求证：AG2DE.在AEC中，AFFC，GFEC，AGGE.CEFB，GBDECD，BGDE.又BDDC，BDGCDE.故D

4、GDE，即GE2DE，AG2DE.此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果3.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD6，求BE的长解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OAOC，BCAD.因为ABDC，OEAB，所以DCOEAB.因为AD6，所以BEECBCAD3.4已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AFAC.证明：如图，过D作DGBF交AC于点G.在BCF中，D是BC的中点，DGBF，G为CF的中点，即

5、CGGF.在ADG中，E是AD的中点，EFDG，F是AG的中点，即AFFG.AFAC.平行线等分线段定理推论2的运用如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，M是CD的中点求证：AMBM.解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件过点M作MEBC交AB于点E.ADBC，ADEMBC.又M是CD的中点，E是AB的中点ABC90，ME垂直平分AB.AMBM.有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算5若将本例中“M是CD的中点”与“AMBM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明解：结论成立证明如下：过点M作MEAB于点E，

6、ADBC，ABC90，ADAB，BCAB.MEAB，MEBCAD.AMBM，且MEAB，E为AB的中点，M为CD的中点6如图所示，E，F是ABCD的边AD，BC上的点，过AB的中点M作MNBC，分别交EF，CD于点P，N，则EP_，CD2_2_2_2_.答案：EFDNNCAMMB课时跟踪检测(一)一、选择题1在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD2，BC4，则MN等于()A2.5 B3 C3.5 D不确定解析：选B由梯形中位线定理知选B.2如图，AD是ABC的高，E为AB的中点，EFBC于F，如果DCBD，那么FC是BF的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍解析：选AEFBC

7、，ADBC，EFAD.又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，即BFFD.又DCBD，DCBF.FCFDDCBFDCBF.3梯形的中位线长为15 cm，一条对角线把中位线分成32两段，那么梯形的两底长分别为()A12 cm18 cm B20 cm10 cmC14 cm16 cm D6 cm9 cm解析：选A如图，设MPPN23，则MP6 cm，PN9 cm.MN为梯形ABCD的中位线，在BAD中，MP为其中位线，AD2MP12 cm.同理可得BC2PN18 cm.4梯形的一腰长为10 cm，该腰和底边所形成的角为30，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为()A30 cm2 B40 cm2

8、 C50 cm2 D60 cm2解析：选D如图，过A作AEBC，在RtABE中，AEABsin 305 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，ADBC21224(cm)梯形的面积S(ADBC)AE52460 (cm2)二、填空题5如图，在AD两旁作ABCD且ABCD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，则把AD分成四条线段的长度_(填“相等”或“不相等”)解析：如图，过A作直线AM平行于A1C，过D作直线DN平行于BC2，由ABCD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C

9、1C2B为平行四边形，所以A1CA2C1C2B，所以AMA1CA2C1C2BDN，因为AA1A1A2A2BCC1C1C2C2D，由平行线等分线段定理知，A1C，A2C1，BC2把AD分成四条线段的长度相等答案：相等6如图，在ABC中，E是AB的中点，EFBD，EGAC交BD于G，CDAD，若EG2 cm，则AC_；若BD10 cm，则EF_.解析：由E是AB的中点，EFBD，得F为AD的中点由EGAC，得EGADFD2 cm，结合CDAD，可以得到F，D是AC的三等分点，则AC3EG6 cm.由EFBD，得EFBD5 cm.答案：6 cm5 cm7如图，ABAC，ADBC于点D，M是AD的中点

10、，CM交AB于点P，DNCP.若AB6 cm，则AP_；若PM1 cm，则PC_.解析：由ADBC，ABAC，知BDCD，又DNCP，BNNP，又AMMD，PMDN，知APPN，APAB2 cm.易知PMDN，DNPC，PC4PM4 cm.答案：2 cm4 cm三、解答题8已知ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BECE)，AE，CD交于点F.求证：F是CD的中点证明：如图，过D作DGAE交BC于G，在ABE中，ADBD，DGAE，BGGE.E是BC的三等分点，BGGEEC.在CDG中，GECE，DGEF，DFCF，即F是CD的中点9.如图，在等腰梯形中，ABCD，AD12 cm，AC交梯形中位线EG于点F，若EF4 cm，FG10 cm.求此梯形的面积解：作高DM，CN，则四边形DMNC为矩形EG是梯形ABCD的中位线，EGDCAB.F是AC的中点DC2EF8，AB2FG20，MNDC8.在RtADM和RtBCN中，ADBC，DAMCBN，AMDBNC，ADMBCN.AMBN(208)6.DM6.S梯形EGDM14684 (cm2)10.已知：梯形ABCD中，ADBC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EFFC.证明：法一：如图，连接BE交AF于点O.四边形ABDE是平行四边形，BOO